2016新课标创新人教A版数学必修52.2等差数列

1、第1课时等差数列的概念及通项公式核心必知1预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P36P38，回答下列问题：观察教材P36P37中给出的4个数列：0，5，10，15，20，；48，53，58，63；18，15.5，13，10.5，8，5.5；10 072，10 144，10 216，10 288，10 360.可以看到：对于数列，从第2项起，每一项与前一项的差都等于5；对于数列，从第2项起，每一项与前一项的差都等于5；对于数列，从第2项起，每一项与前一项的差都等于2.5；对于数列，从第2项起，每一项与前一项的差都等于72也就是说，这些数列有一个共同特点：从第2项起，每一项与前一项的差都等于同

2、一个常数2归纳总结，核心必记(1)等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示(2)等差中项由三个数a，A，b组成的等差数列中，A叫做 a与b的等差中项(3)等差数列的通项公式如果等差数列an的首项是a1，公差是d，则它的通项公式为ana1(n1)d问题思考(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于常数，该数列还是等差数列吗？提示：不一定，必须是同一个常数，才能保证该数列为等差数列(2)若a是3与5的等差中项，则a为何值？提示：352a，即a4.(3)一般地，如果等

3、差数列an的首项是a1，公差是d，我们根据等差数列的定义，可以得到：a2a1d，a3a2d，a4a3d，.即a2a1d，a3a2d(a1d)da12d，a4a3d(a12d)da13d，根据以上推导过程，你认为“ana1()d”中的()应是什么？提示：n1(4)若数列an是等差数列，且首项a12，公差d3，则：a5等于何值？104是该数列的项吗？如果是，是第几项？提示：a5a14d24×314.ana1(n1)d23(n1)3n1.令3n1104，则n35.故104是该数列的第35项课前反思通过以上预习，必须掌握的几个知识点(1)等差数列的定义是：；(2)等差中项的定义是：；(3)等

4、差数列的通项公式是：思考由等差数列的通项公式可以看出，要求an，需要哪几个条件？名师指津：只要求出等差数列的首项和公差d，代入公式ana1(n1)d即可讲一讲1(1)在等差数列an中，已知数列a47，a1025，求通项公式an.(2)已知数列an为等差数列，a3，a7，求a15的值尝试解答(1)a47，a1025，则an2(n1)×33n5，通项公式为an3n5(nN*)(2)法一：由得解得a1，d.a15a1(151)d14×.法二：由a7a3(73)d，即4d，解得d.a15a3(153)d12×.应用等差数列的通项公式求a1和d，运用了方程的思想一般地，可由

5、ama，anb，得求出a1和d，从而确定通项公式练一练1在等差数列an中，a37，a5a26，求a6的值解：设等差数列an的公差为d，由题意得解得所以ana1(n1)d32(n1)2n1.所以a62×6113.思考1以下两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列(1)2，4；(2)1，5；(3)0，0.名师指津：插入的数分别为3，2，0思考2如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A应满足什么条件？名师指津：A思考3若A，则a，A，b成等差数列吗？名师指津：a，A，b成等差数列讲一讲2(1)在1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，求此

6、数列；(2)已知数列xn的首项x13，通项xn2npnq(nN*，p，q为常数)，且x1，x4，x5成等差数列求p，q的值尝试解答(1)1，a，b，c，7成等差数列，b是1与7的等差中项b3.又a是1与3的等差中项，a1.又c是3与7的等差中项，c5.该数列为1，1，3，5，7.(2)由x13，得2pq3，又x424p4q，x525p5q，且x1x52x4，得325p5q25p8q，即q1，将代入得，p1.故p1，q1.三数a，b，c成等差数列的条件是b(或2bac)，可用来进行等差数列的判定或有关等差中项的计算问题如若证an为等差数列，可证2an1anan2(nN*)练一练2若m和2n的等差

7、中项为4，2m和n的等差中项为5，求m和n的等差中项解：由m和2n的等差中项为4，得m2n8.又由2m和n的等差中项为5，得2mn10.两式相加，得mn6.m和n的等差中项为3.思考(1)在数列an中，若anan1d(常数)(n2且nN*)，则an是等差数列吗？为什么？(2)在数列an中，若有2anan1an1(n2，nN*)成立，则an是等差数列吗？为什么？名师指津：(1)是，由等差数列的意义可知；(2)是，由等差中项的定义可知讲一讲3判断下列数列是否为等差数列(1)在数列an中，an3n2；(链接教材P38例3)(2)在数列an中，ann2n.尝试解答(1)an1an3(n1)2(3n2)

8、3(nN*)，所以这个数列为等差数列(2)an1an(n1)2(n1)(n2n)2n2，不是常数，所以这个数列不是等差数列定义法是判定(或证明)数列an是等差数列的基本方法，其步骤为：(1)作差an1an; (2)对差式进行变形；(3)当an1an是一个与n无关的常数时，数列an是等差数列；当an1an不是常数，是与n有关的代数式时，数列an不是等差数列练一练3已知数列an满足a14，an4(n>1)，记bn.(1)求证：数列bn是等差数列；(2)求数列an的通项公式解：(1)证明：因为bn1bn.数列bn是等差数列(2)由(1)可知，数列bn是以b1为首项，以为公差的等差数列bn(n1

9、)×n.bn，an22.课堂归纳·感悟提升1本节课的重点是等差数列的定义、等差中项以及等差数列的通项公式，难点是等差数列的证明2掌握判断一个数列是等差数列的常用方法：(1)an1and(d为常数，nN*)an是等差数列；(见讲3)(2)2an1anan2(nN*)an是等差数列；(3)anknb(k，b为常数，nN*)an是等差数列但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可3会灵活运用等差数列的通项公式解决问题由等差数列的通项公式ana1(n1)d可以看出，只要知道首项a1和公差d，就可以求出通项公式反过来，在a1、d、n、an四个量中，只要知道其中任意三个量，

10、就可以求出另外一个量，见讲1.即时达标对点练题组1等差数列的判断1给出下列数列：(1)0，0，0，0，0，；(2)1，11，111，1 111，；(3)2，22，23，24，；(4)5，3，1，1，3，；(5)1，2，3，5，8，.其中等差数列有()A1个B2个C3个D4个解析：选B根据等差数列的定义可知(1)、(4)是等差数列，故选B.2数列an是公差为d的等差数列，则数列dan是()A公差为d的等差数列B公差为2d的等差数列C公差为d2的等差数列D公差为4d的等差数列解析：选C由于dandan1d(anan1)d2，故选C.3已知数列an满足a12，an1，则数列是否为等差数列？说明理由解

11、：数列是等差数列，理由如下：因为a12，an1，所以，所以是以为首项，为公差的等差数列题组2等差中项的应用 4等差数列的前3项依次是x1，x1，2x3，则其通项公式为()Aan2n5Ban2n3Can2n1 Dan2n1解析：选Bx1，x1，2x3是等差数列的前3项，2(x1)x12x3，解得x0.a1x11，a21，a33，d2，an12(n1)2n3.5已知1，x，y，10构成等差数列，则x，y的值分别为_解析：由已知，x是1和y的等差中项，即2x1y，y是x和10的等差中项，即2yx10，由可解得x4，y7.答案：4，76若，是等差数列，求证：a2，b2，c2成等差数列证明：，是等差数列

12、，.整理得(ab)(ca)(bc)(ca)2(ab)(bc)，即(ca)(ac2b)2(ab)(bc)，即2ac2ab2bca2c22ab2ac2bc2b2，有a2c22b2.a2，b2，c2成等差数列题组3等差数列的通项公式7在等差数列an中，a22，a34，则a10()A12B14C16D18解析：选D由题意知，da3a2422，a1a2d220.所以a10a19d18.8在等差数列an中，a25，a6a46，则a1等于()A9 B8 C7 D4解析：选B由anam(nm)d(m，nN*)，得d.d3.a1a2d8.9等差数列1，1，3，89的项数是()A45 B46 C47 D92解析：

13、选B由题意知，等差数列的首项a11，公差d2，且an89.由ana1(n1)d，解得n46.故选B.10已知等差数列an满足a2a3a418，a2a3a466.求数列an的通项公式解：在等差数列an中，a2a3a418，3a318，a36.故解得或当时，a116，d5.ana1(n1)d16(n1)·(5)5n21.当时，a14，d5.ana1(n1)d4(n1)·55n9.能力提升综合练1在等差数列an中，首项a10，公差d0，若aka1a2a3a10，则k()A45B46C47D48解析：选B因为aka1a2a3a10，所以a1(k1)d10a145d.因为a10，公差

14、d0，所以(k1)d45d.解得k46.2一个首项为23，公差为整数的等差数列，若前6项均为正数，第7项起为负数，则它的公差是()A2 B 3 C4 D6解析：选C设公差为d，则an23(n1)d.由题意知即解得<d<.又因为d为整数，故d4.3数列an中，a12，2an12an1，则a2 015的值是()A1 006 B1 007 C1 008 D1 009解析：选D由2an12an1，得an1an，所以an是等差数列，首项a12，公差d，所以an2(n1)，所以a2 0151 009.4已知xy，且两个数列x，a1，a2，am，y与x，b1，b2，bn，y各自都成等差数列，则

15、等于()A. B. C. D.解析：选D设这两个等差数列的公差分别是d1，d2，则a2a1d1，b2b1d2，第一个数列共(m2)项，d1；第二个数列共(n2)项，d2.这样可求出.5在数列an中，a13，且对于任意大于1的正整数n，点(， )都在直线xy0上，则an_解析：由题意得，所以数列是首项为，公差为的等差数列，所以n，an3n2.答案：3n26已知ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC的面积为_解析：由于三边长构成公差为4的等差数列，故可设三边长分别为x4，x，x4.由一个内角为120°，知其必是最长边x4所对的角由余弦定理得，(x

16、4)2x2(x4)22x(x4)·cos 120°，2x220x0，x0(舍去)或x10，SABC×(104)×10×sin 120°15.答案：157已知等差数列an：3，7，11，15，.(1)135，4m19(mN*)是数列an中的项吗？试说明理由；(2)若ap，aq(p，qN*)是数列an中的项，则2ap3aq是数列an中的项吗？并说明你的理由解：a13，d4，ana1(n1)d4n1.(1)令an4n1135，n34，135是数列an中的第34项令an4n14m19，则nm5N*.4m19是an中的第m5项(2)ap，aq是

17、an中的项，ap4p1，aq4q1.2ap3aq2(4p1)3(4q1)8p12q54(2p3q1)1，2p3q1N*，2ap3aq是an中的第2p3q1项8数列an满足a11，an1(n2n)an(n1，2，)，是常数(1)当a21时，求及a3的值；(2)是否存在实数使数列an为等差数列？若存在，求出及数列an的通项公式；若不存在，请说明理由解：(1)由于an1(n2n)an(n1，2，)，且a11.所以当a21时，得12，故3.从而a3(2223)×(1)3.(2)数列an不可能为等差数列，证明如下：由a11，an1(n2n)an，得a22，a3(6)(2)，a4(12)(6)(

18、2)，若存在，使an为等差数列，则a3a2a2a1，即(5)(2)1，解得3.于是a2a112，a4a3(11)(6)(2)24.这与an为等差数列矛盾所以，不存在使an是等差数列第2课时等差数列的性质思考1如何用a1和d表示an和am?名师指津：ana1(n1)d，ama1(m1)d.思考2能用am和d表示an吗？如何表示？名师指津：能anam(nm)d.讲一讲1(1)(2016·瑞安高二检测)已知等差数列an中，a39，a93，则公差d的值为()AB.C1D .1(2)已知an为等差数列，a158，a6020，求a75.尝试解答(1)a39，a93，又a9a36d，396d，即d

19、1.(2)a158，a6020，208(6015)d，即d，a75a6015d2015×24.答案(1)C在等差数列an中，已知a1，d，m，n，则d(n>1，mn)，从而有anam(nm)d.在解决与等差数列的通项有关的问题时，巧妙利用此结论，可以简化问题的计算过程练一练1(1)已知等差数列an中，a48，a84，则数列an的通项公式为_解析：设an的公差为d，则a8a44d，d1.ana8(n8)d4(n8)×(1)12n.答案：an12n(2)(2016·淄博高二检测)若xy，且两个数列x，a1，a2，y和x，b1，b2，b3，y各成等差数列，那么等于

20、_解析：数列x，a1，a2，y和x，b1，b2，b3，y均为等差数列，1，即，故.答案：思考1在等差数列an中，若m，n，p，qN*且mnpq，则amanapaq成立吗？为什么？名师指津：成立，证明：设等差数列_an的公差为d，amana1(m1)da1(n1)d2a1(mn2)d，apaqa1(p1)da1(q1)d2a1(pq2)d，因为mnpq，所以amanapaq思考2在等差数列an中，如果mn2r，那么aman2ar是否成立？反过来呢？名师指津：若mn2r(m，n，rN*)，则amana1(m1)da1(n1)d2a1(mn2)d2a1(2r2)·d2a1(r1)d2ar，

21、显然成立；在等差数列an中，若aman2ar，不一定有mn2r，如常数列思考3已知一个无穷等差数列an的首项为a1，公差为d，则：(1)若将数列中的前m项去掉，其余各项组成一个新数列，这个新数列还是等差数列吗？(2)取出数列中的所有奇数项，组成一个新的数列，这个新数列还是等差数列吗？(3)如果取出数列中所有序号为7的倍数的项，组成一个新的数列，这个新数列还是等差数列吗？名师指津：(1)、(2)、(3)中所得到的数列都还是等差数列，其中(1)中的公差为d，(2)中的公差为2d，(3)中的公差为7d.思考3若an，bn是公差分别为d1，d2的等差数列，那么数列pan±qbn仍然是等差数列

22、吗？若是等差数列，公差是多少？名师指津：是等差数列，且公差为pd1±qd2.讲一讲2(1)已知等差数列an中，a2a6a101，求a4a8的值；(2)设an是公差为正数的等差数列，若a1a2a315，a1a2a380，求a11a12a13的值尝试解答(1)法一：根据等差数列的性质a2a10a4a82a6，由a2a6a101，得3a61，解得a6，a4a82a6.法二：设公差为d，根据等差数列的通项公式，得a2a6a10(a1d)(a15d)(a19d)3a115d，由题意知，3a115d1，即a15d.a4a82a110d2(a15d).(2)设公差为d，a1a32a2，a1a2a3

23、153a2，a25.又a1a2a380，an是公差为正数的等差数列，a1a3(5d)(5d)16d3或d3(舍去)，a12a210d35，a11a12a133a12105.等差数列常用的性质(1)对称性：a1ana2an1a3an2；(2)mnpqamanapaq；(3)若m，p，n成等差数列，则am，ap，an也成等差数列；(4)anam(nm)d；(5)若数列an成等差数列，则数列anpnq(p，qR)；(6)若数列an成等差数列，则数列anb(，b为常数)仍为等差数列；(7)an和bn均为等差数列，则an±bn也是等差数列；(8)an的公差为d，且d>0an为递增数列；d

24、<0an为递减数列；d0an为常数列练一练2(1)已知等差数列an满足a1a2a3a1010，则有()Aa1a101>0Ba2a101<0Ca3a990 Da5151解析：选C根据性质得：a1a101a2a100a50a522a51，由于a1a2a1010，所以a510，又因为a3a992a510，故选C.(2)已知an、bn是两个等差数列，其中a13，b13，且a20b206，那么a10b10的值为()A6B6C0D10解析：选B由于an、bn都是等差数列，所以anbn也是等差数列，而a1b16，a20b206，所以anbn是常数列，故a10b106.故选B.讲一讲3已知四

25、个数成等差数列，它们的和为26，中间两项的积为40，求这四个数尝试解答法一：设这四个数分别为a，b，c，d，根据题意，得解得或这四个数分别为2，5，8，11或11，8，5，2.法二：设此等差数列的首项为a1，公差为d，根据题意，得化简，得解得或这四个数分别为2，5，8，11或11，8，5，2.法三：设这四个数分别为a3d，ad，ad，a3d，根据题意，得化简，得解得这四个数分别为2，5，8，11或11，8，5，2.对于项数有限的等差数列，用“对称设项”的方法来设项能达到化多为少的目的(特别是在已知其和时)，三个数的“对称设项”是xd，x，xd；五个数是x2d，xd，x，xd，x2d；四个数则是

26、x3d，xd，xd，x3d.练一练3已知五个数成等差数列，它们的和为5，平方和为，求这5个数解：设第三个数为a，公差为d，则这5个数分别为a2d，ad，a，ad，a2d.由已知有整理得解得a1，d±.d时，这5个分数分别是，1，；d时，这5个数分别是，1，.综上，这5个数分别是，1，或，1，.讲一讲4某公司经销一种数码产品，第1年获利200万元，从第2年起由于市场竞争等方面的原因，利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？尝试解答由题意可知，设第1年获利为a1，第n年获利为an，则anan120(n2，nN

27、*)，每年获利构成等差数列an，且首项a1200，公差d20，所以ana1(n1)d200(n1)×(20)20n220.若an<0，则该公司经销这一产品将亏损，由an20n220<0，解得n>11，即从第12年起，该公司经销这一产品将亏损(1)在实际问题中，若涉及一组与顺序有关的数的问题，可考虑利用数列方法解决，若这组数依次成直线上升或下降，则可考虑利用等差数列方法解决(2)在利用数列方法解决实际问题时，一定要分清首项、项数等关键量练一练4九章算术“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节

28、的容积为()A1升B. 升C. 升D. 升解析：选B设所构成的等差数列an的首项为a1，公差为d，则有即解得则a5a14d，故第5节的容积为 升课堂归纳·感悟提升1本节课的重点是等差数列性质的应用2要重点掌握等差数列的如下性质：(1)在等差数列an中，当mn时，d为公差公式，利用这个公式很容易求出公差，还可变形为aman(mn)d.(2)等差数列an中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列(3)等差数列an中，若mnpq，则anamapaq(n，m，p，qN*)，特别地，若mn2p，则anam2ap.3等差数列an中，首项a1与公差d是两个最基本的元素

29、；有关等差数列的问题，如果条件与结论间的了解不明显，则均可化成有关a1、d的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量即时达标对点练题组1等差数列的性质1在等差数列an中，a25，a633，则a3a5等于()A36B37C38D39解析：选Ca3a5a2a653338.2已知等差数列an中，a1a7a134，则tan(a2a12)的值为()A. B± C D解析：选Da1a7a134，a7，a2a122a7，tan(a2a12)tan.3设数列an，bn都是等差数列，且a125，b175，a2b2100，则a37b37等于()A0 B37 C100 D37解析：

30、选Can，bn都是等差数列，anbn也是等差数列又a1b1100，a2b2100，anbn100，故a37b37100.4已知等差数列an中，a1a4a715，a2a4a645，求此数列的通项公式解：a1a72a4，a1a4a73a415，a45.又a2a4a645，a2a69，即(a42d)(a42d)9，(52d)(52d)9，解得d±2.若d2，ana4(n4)d2n3；若d2，ana4(n4)d132n.题组2等差数列性质的综合应用5等差数列an中，若a1，a2 011为方程x210x60的两根，则a2a1 006a2 010()A10 B15 C20 D40解析：选B由等差

31、数列的性质，得a1a2 011a2a2 0102a1 006.因为a1，a2 011是方程x210x160的两根，所以a1a2 01110.所以a2a1 006a2 010×1015.6已知等差数列an的公差为d(d0)，且a3a6a10a1332，若am8，则m等于()A8 B4 C6 D12解析：选A因为a3a6a10a134a832，所以a88，即m8.7四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为8，求这四个数解：法一：设这四个数为a3d，ad，ad，a3d(公差为2d)，依题意，2a2，且(a3d)(a3d)8，即a1，a29d28，即d21，即d1或d1.又四个

32、数成递增等差数列，d>0，d1，故所求的四个数为2，0，2，4.法二：设这四个数为a，ad，a2d，a3d(公差为d)，依题意，2a3d2，且a(a3d)8，把a1d代入a(a3d)8，得8，即1d28，化简得d24，所以d2或2.又四个数成递增等差数列，d>0，d2，从而a2.故所求的四个数为2，0，2，4.能力提升综合练1下面是关于公差d>0的等差数列an的四个命题：p1：数列an是递增数列；p2：数列nan是递增数列；p3：数列是递增数列；p4：数列an3nd是递增数列其中的真命题为()Ap1，p2Bp3，p4Cp2，p3Dp1，p4解析：选Dana1(n1)d，d&g

33、t;0，anan1d>0，命题p1正确；nanna1n(n1)d，nan(n1)an1a12(n1)d与0的大小关系和a1的取值情况有关故数列nan不一定递增，命题p2不正确；对于p3：d，当da1>0，即d>a1时，数列递增，但d>a1不一定成立，则p3不正确；对于p4：设bnan3nd，则bn1bnan1an3d4d>0.数列an3nd是递增数列，p4正确综上，正确的命题为p1，p4.2在等差数列an中，若a2a4a6a8a1080，则a7a8的值为()A4B6C8D10解析：选C由a2a4a6a8a105a680，a616，a7a8(2a7a8)(a6a8a8)a68.3若a，b，c成等差数列，则二次函数yax22bxc的图象与x轴的交点的个数为()A0 B1 C2 D1或2解析：选Da，b，c成等差数列，2bac，4b24ac(ac)24ac(ac)20.二次函数yax22bxc的图象与x轴的