第3讲不等式及其应用

1、第3讲不等式及其应用 1. 理解并掌握不等式的基本性质及解法2. 掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并能灵活运用其解决问题1. 已知集合A，集合Bx|ylg(x2x2)，则AB_2. 设0<a<b，ab1，则，b，2ab，a2b2中的最大的是_3. 已知f(x)log2(x2)，若实数m、n满足f(m)f(2n)3，则mn的最小值是_4. 若正数a、b满足2ab1，则4a2b2的最大值为_题型一 三个“二次”之间的关系应用问题例1 设函数f(x)ax2bxc(a、b、cR)(1) 已知f(1)， 若f(x)<1的解集为(0，3)，求f(x)

2、的表达式； 若a>0，求证：函数f(x)在区间(0，2)内至少有一个零点(2) 已知a1，若x1、x2是方程f(x)0的两个根，且x1、x2(m，m1)，其中mR，求f(m)f(m1)的最大值 已知f(x)x2xk，kZ，若方程f(x)2在上有两个不相等的实数根(1) 确定k的值；(2) 求的最小值及对应的x值题型二 含参数的不等式的解集问题例2 已知函数f(x)(x0，a>0)，当x1，3时的取值范围恰为.(1) 求函数f(x)的解析式；(2) 若向量m，n(k2k2，3k1)(k>1)，解关于x的不等式f(x)<m·n.已知函数f(x)x2kxm(kR，m

3、0且m为常数)(1) 当m4，k>0时，解不等式f(x)>0；(2) 若f(x)>0对一切正数x恒成立，求实数k的取值范围题型三 利用不等式解应用题例3 (2013·南通二模)为稳定房价，某地政府决定建造一批保障房供给社会计划用1 600万元购得一块土地，在该土地上建造10幢楼房的住宅小区，每幢楼的楼层数相同，且每层建筑面积均为1 000 m2，每平方米的建筑费用与楼层有关，第x层楼房每平方米的建筑费用为(kx800)元(其中k为常数)经测算，若每幢楼为5层，则该小区每平方米的平均综合费用为1 270元(每平方米平均综合费用)(1) 求k的值；(2) 问要使该小区楼

4、房每平方米的平均综合费用最低，应将这10幢楼房建成多少层？此时每平方米的平均综合费用为多少元？题型四 不等式的综合应用例4 设a为实数，函数f(x)2x2(xa)|xa|. (1) 若f(0)1，求a的取值范围； (2) 求f(x)的最小值； (3) 设函数h(x)f(x)，x(a，)，直接写出不等式h(x)1的解集(不需给出演算步骤)已知函数f(x)ax2ax4(aR)(1) 若函数f(x)恰有一个零点，求a的值；(2) 若对任意a1，2，f(x)0恒成立，求x的取值范围；(3) 设函数g(x)(a1)x22ax2a5，是否存在实数a，使得当x(2，1)时，函数g(x)的图象始终在f(x)图

5、象的上方？若存在，试求出a的取值范围；若不存在，请说明理由1. (2013·北京卷)设D为不等式组表示的平面区域，区域D上的点与点(1，0)之间的距离的最小值为_2. (2014·江苏卷)已知函数f(x)x2mx1，若对于任意的xm，m1都有f(x)<0，则实数m的取值范围为_3. (2013·江苏卷)抛物线yx2在x1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D(包含三角形内部与边界)若点P(x，y)是区域D内的任意一点，则x2y的取值范围是_4. (2013·天津卷)设ab2，b>0，则的最小值为_5. 已知正数a，b，c满足：5c3ab4ca，

6、clnbaclnc，则的取值范围是_6. 设各项均为正数的数列an的前n项和为Sn.已知2a2a1a3，数列是公差为d的等差数列(1) 求数列an的通项公式(用n、d表示)；(2) 设c为实数，对满足mn3k且mn的任意正整数m、n、k，不等式SmSn>cSk都成立求证：c的最大值为.(本题模拟高考评分标准，满分14分)(2013·无锡一模)要制作一个如图的框架，要求所围成的总面积为19.5m2，其中ABCD是一个矩形，EFCD是一个等腰梯形，梯形高hAB，tanFED，设ABx m，BCy m.(1) 求y关于x的表达式；(2) 如何设计x、y的长度，才能使所用材料最少？1.

7、 若函数f(x)则不等式|f(x)|的解集为_2. 设函数f(x)x33bx23cx有两个极值点x1、x2，且x11，0，x21，2(1) 求b、c满足的约束条件，并在坐标平面内画出满足这些条件的点(b，c)的区域；(2) 求证：10f(x2).第5讲不等式及其应用 1. 理解并掌握不等式的基本性质及解法2. 掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并能灵活运用其解决问题1. 已知集合A，集合Bx|ylg(x2x2)，则AB_答案：(1，2)解析：A(1，2)，B(，2)(1，)， AB(1，2)2. 设0<a<b，ab1，则，b，2ab，a2b2中的

8、最大的是_答案：b解析：由0ab，ab1，得0a，b1，则b(a2b2)bb2(1b)2(2b1)(1b)0.3. 已知f(x)log2(x2)，若实数m、n满足f(m)f(2n)3，则mn的最小值是_答案：7解析：由log2(m2)log2(2n2)3，得(m2)(n1)4，则m2，所以mn2n(n1)3237(当且仅当“n3”时，取等号)，故mn的最小值为7.4. 若正数a、b满足2ab1，则4a2b2的最大值为_答案：解析：12ab2，.设t，则0t，所以4a2b214t2t4.题型一 三个“二次”之间的关系应用问题例1 设函数f(x)ax2bxc(a、b、cR)(1) 已知f(1)，

9、若f(x)<1的解集为(0，3)，求f(x)的表达式； 若a>0，求证：函数f(x)在区间(0，2)内至少有一个零点(2) 已知a1，若x1、x2是方程f(x)0的两个根，且x1、x2(m，m1)，其中mR，求f(m)f(m1)的最大值(1)解： f(x)x22x1. 证明：abc，f(0)c，f(1)0，f(2)4a2bcac，若c0，则f(0)0，f(1)0，函数f(x)在(0，1)上连续，则f(x)在(0，1)内必有一实根；若c0，a0, 则f(2)ac0，f(1)0，函数f(x)在(1，2)上连续， f(x)在(1，2)内必有一实根综上，函数f(x)在区间(0，2)内至少有

10、一个零点(2) 解：f(x)(xx1)(xx2)，x1、x2(m，m1)，mx10，mx20，m1x10，m1x20, f(m)·f(m1)(mx1)(mx2)(m1x1)(m1x2)(x1m)(m1x1)(x2m)(m1x2)·，当且仅当x1x2时取等号， f(m)f(m1)的最大值为. 已知f(x)x2xk，kZ，若方程f(x)2在上有两个不相等的实数根(1) 确定k的值；(2) 求的最小值及对应的x值解： (1) 设g(x)f(x)2x2xk2，由题设有k.又kZ， k2.(2) k2， f(x)x2x20， f(x)24，当且仅当f(x)，即f(x)24时取等号 f

11、(x)0， f(x)2时取等号，即x2x22，解得x0或1.故当x0或1时，取最小值4.题型二 含参数的不等式的解集问题例2 已知函数f(x)(x0，a>0)，当x1，3时的取值范围恰为.(1) 求函数f(x)的解析式；(2) 若向量m，n(k2k2，3k1)(k>1)，解关于x的不等式f(x)<m·n.解：(1) 若c0，则x1，3时f(x)>0；若c<0，f(x)在1，3上单调递增，所以得故f(x).(2) 由题意，<，即x(x2k)x(k1)<0. 当1<k<0时，不等式的解集是(，2k)(0，k1)； 当0k<1时，

12、不等式的解集是(，0)(2k，k1)；当k1时，不等式的解集是(，0)；当k>1时，不等式的解集是(，0)(k1，2k)已知函数f(x)x2kxm(kR，m0且m为常数)(1) 当m4，k>0时，解不等式f(x)>0；(2) 若f(x)>0对一切正数x恒成立，求实数k的取值范围解：(1) k216，因为k>0，所以当0<k<4时，<0，不等式解为一切实数；当k4时，0，x2；当k>4时，>0，x>或x<. 当0<k<4时，解集为R；当k4时，解集为(，2)(2，)；当k>4时，解集为(，)(，)(2) 因

13、为x>0，由x2kxm>0得k<x.当m>0时，因为x2，所以k<2；当m0时，因为xx>0，所以k0.题型三 利用不等式解应用题例3 (2013·南通二模)为稳定房价，某地政府决定建造一批保障房供给社会计划用1 600万元购得一块土地，在该土地上建造10幢楼房的住宅小区，每幢楼的楼层数相同，且每层建筑面积均为1 000 m2，每平方米的建筑费用与楼层有关，第x层楼房每平方米的建筑费用为(kx800)元(其中k为常数)经测算，若每幢楼为5层，则该小区每平方米的平均综合费用为1 270元(每平方米平均综合费用)(1) 求k的值；(2) 问要使该小区楼

14、房每平方米的平均综合费用最低，应将这10幢楼房建成多少层？此时每平方米的平均综合费用为多少元？解：(1) 如果每幢楼为5层，那么所有建筑面积为10×1 000×5 m2，所有建筑费用为(k800)(2k800)(3k800)(4k800)(5k800)×1 000×10，所以1 27016 000 000(k800)(2k800)(3k800)(4k800)(5k800)×1 000×10/(10×1 000×5)，解得k50.(2) 设小区每幢为n(nN*)层时，每平方米平均综合费用为f(n)，由题设可知f(n)

15、16 000 000(50800)(100800)(50n800)×1 000×10/(10×1 000×n)25n82528251 225(元)当且仅当25n，即n8时等号成立答：该小区每幢建8层时，每平方米平均综合费用最低，此时每平方米平均综合费用为1 225元某建筑的金属支架如图所示，根据要求AB至少长2.8 m，C为AB的中点，B到D的距离比CD的长小0.5 m，BCD60°，已知建筑支架的材料每米的价格一定，问怎样设计AB、CD的长，可使建造这个支架的成本最低？解：设BCa m(a1.4)，CDb m，连结BD.则在CDB中，b2a2

16、2abcos60°. b. b2a2a.设ta1，t10.4，则b2a2(t1)3t47，等号成立时t0.50.4，a1.5，b4. 当AB3 m，CD4 m时，建造这个支架的成本最低题型四 不等式的综合应用例4 设a为实数，函数f(x)2x2(xa)|xa|. (1) 若f(0)1，求a的取值范围； (2) 求f(x)的最小值； (3) 设函数h(x)f(x)，x(a，)，直接写出不等式h(x)1的解集(不需给出演算步骤)解：(1) 若f(0)1，则a|a|1a1. a的取值范围是(，1(2) 当xa时，f(x)3x22axa2，f(x)min当xa时，f(x)x22axa2，f(

17、x)min综上，f(x)min(3) x(a，)时，h(x)1得3x22axa210，4a212(a21)128a2.当a或a时，0，x(a，)；当a时，0，得讨论得：当a时，解集为(a，)；当a时，解集为；当a时，解集为.综上，当a时，解集为(a，)；当a时，解集为，)；当a时，解集为(a，)已知函数f(x)ax2ax4(aR)(1) 若函数f(x)恰有一个零点，求a的值；(2) 若对任意a1，2，f(x)0恒成立，求x的取值范围；(3) 设函数g(x)(a1)x22ax2a5，是否存在实数a，使得当x(2，1)时，函数g(x)的图象始终在f(x)图象的上方？若存在，试求出a的取值范围；若不

18、存在，请说明理由解：(1) 当a0时，f(x)4 无零点，舍去；当a0时，有a216a0，解得 a16或a0(舍去)；综上得a 16.(2) 由题意得，因为任意a1，2，f(x)0恒成立， 令H(a)ax2ax4(x2x)a4，所以，本题等价于H(a)0在a1，2上恒成立 . 又H(0)4.所以H(2)2(x2x)40，即x2x20.又 x0，解得2x1且x0.(3) 令F(x)g(x)f(x)x2ax2a1，假设存在这样的实数a，则必有F(x)x2ax2a1>0 在区间(2，1)上恒成立因为F(x)对称轴方程为x，所以有 解得所以 a4. 解得 所以0a2. 解得所以2<a<

19、;4.综上，得a0所以，存在这样的实数a，当实数a0时，函数g(x)的图象始终在f(x)图象的上方1. (2013·北京卷)设D为不等式组表示的平面区域，区域D上的点与点(1，0)之间的距离的最小值为_答案：解析：画出区域，最小距离即为点(1，0)到直线2xy0的距离，由点到直线的距离公式得到2. (2014·江苏卷)已知函数f(x)x2mx1，若对于任意的xm，m1都有f(x)<0，则实数m的取值范围为_答案：解析：据题意解得<m<0.3. (2013·江苏卷)抛物线yx2在x1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D(包含三角形内部与边界)若点P

20、(x，y)是区域D内的任意一点，则x2y的取值范围是_答案：解析：抛物线yx2在x1处的切线方程为y2x1，围成的区域D为目标函数zx2y的取值范围是.4. (2013·天津卷)设ab2，b>0，则的最小值为_答案：解析：211，当且仅当，a<0，即a2，b4时取等号，故最小值为.5. 已知正数a，b，c满足：5c3ab4ca，clnbaclnc，则的取值范围是_答案：e，7解析：条件5c3ab4ca，clnbaclnc，可化为设x，y，则题目转化为：已知x，y满足求的取值范围作出(x，y)所在平面区域(如图)求出yex的切线的斜率e，设过切点P(x0，y0)的切线为ye

21、xm(m0)，则e，要使它最小，须m0. 的最小值P(x0，y0)处，为e.此时，点P(x0，y0)在yex上A、B之间当(x，y)对应点C时，y7x7， 的最大值在C处，为7. 的取值范围为e，7，即的取值范围是e，76. 设各项均为正数的数列an的前n项和为Sn.已知2a2a1a3，数列是公差为d的等差数列(1) 求数列an的通项公式(用n、d表示)；(2) 设c为实数，对满足mn3k且mn的任意正整数m、n、k，不等式SmSn>cSk都成立求证：c的最大值为.(1)解：由题意知d0，(n1)d(n1)d，2a2a1a33a2S33(S2S1)S3，即3(d)2a1(2d)2，化简得a12·dd20，即d，则a1d2，d(n1)dnd，Snn2d2，当n2时，anSnSn1n2d2(n1)2d2(2n1)d2，适合n1情形故所求an(2n1)d2(nN*)(2) 证明：SmSncSkm2d2n2d2c·k2d2m2n2c·k2，即c恒成立又mn3k且mn，2(m2n2)(mn)29k2，故c，即c的最大值为.(本题模拟高考评分标准，满分14分)(2013·无锡一模)要制作一个如图的框架，要求所围成的总面积为19