等腰三角形性质 (2)

1、13.3.1 等腰三角形等腰三角形 创设情境创设情境等腰三角形你知道什么是等腰三角形吗?ABC等腰三角形等腰三角形: :有两条边相等的三角形有两条边相等的三角形, , 叫做等腰三角形叫做等腰三角形. .相等的两条边叫做相等的两条边叫做腰腰, ,另一条边叫做另一条边叫做底边底边, ,底边与腰的夹角叫做底边与腰的夹角叫做底角底角. .两腰所夹的角叫做两腰所夹的角叫做顶角顶角, ,腰腰腰腰底边底边顶角顶角底角底角回顾回顾如图如图, ,把一张长方形的纸按图中虚线对折把一张长方形的纸按图中虚线对折, , 并剪去绿色部分并剪去绿色部分,再把它展开再把它展开, ,得到的得到的ABCABC有什么特点有什么特点

2、? ?ABCAB=AC等腰三角形等腰三角形活动（一）：动手操作活动（一）：动手操作ABCD把剪出的等腰三角形把剪出的等腰三角形ABCABC沿折痕对折，沿折痕对折，找出其中重合的线段和角，填入下表：找出其中重合的线段和角，填入下表：重合的线段重合的线段重合的角重合的角AB=ACAB=ACBD=CDBD=CDAD=AD=ADADB=B=C CADB=ADB=ADCADCBAD=BAD=CADCAD活动（二）活动（二）：细心观察细心观察 大胆猜想大胆猜想等腰等腰ABC有哪些性质？有哪些性质？ 角角: B = C BAD=CAD ADC= ADB=900边边: BD = CD 两个底角相等两个底角相等

3、 AD为顶角为顶角BAC的平分线的平分线 AD为底边为底边BC上的高上的高 AD为底边为底边BC上的中线上的中线结论: 等腰三角形是轴对称图形等腰三角形是轴对称图形；等腰三角形性质等腰三角形性质:性质性质1 等腰三角形的等腰三角形的两个两个底角相等底角相等. （简写成简写成“等边对等角等边对等角”）性质性质2 等腰三角形的等腰三角形的顶角顶角平分线平分线、底边底边上的中线上的中线、底、底 边边上上的高的高互相重合互相重合. （可简记为可简记为“三线合一三线合一”）猜想与论证等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的两个底角相等。已知：ABC中，AB=AC求证：B=C分析：分析：1.如何证明两个角相等

4、？如何证明两个角相等？ 2 2.如何构造两个全等的三如何构造两个全等的三角形？角形？猜想ABCD证明：证明： 作顶角的平分作顶角的平分线线AD,则则有有12AB=AC 1= 2AD=AD BAD CAD (SAS). B= C (全等三角形的对应角相等全等三角形的对应角相等).已知：已知： ABC中，中，AB=AC.求证：求证： B= C.ABC1 2证明：等腰三角形的两个证明：等腰三角形的两个底角相等底角相等.作顶角的平分线作顶角的平分线D在在BAD和和CAD中，中，证明：证明：AB=ACBD=CDAD=AD BAD CAD (SSS). B= C (全等三角形的对应角相等全等三角形的对应角

5、相等).已知：已知： ABC中，中，AB=AC.求证：求证： B= C.ABCD证明：等腰三角形的两个证明：等腰三角形的两个底角相等底角相等.作底边中线作底边中线 作底边中线作底边中线AD,则则BD=CD在在BAD和和CAD中，中，证明：证明： 作底边高线作底边高线AD. 则有则有 ADBADC 90 AB=ACAD=AD Rt BAD Rt CAD (HL). B= C (全等三角形的对应角相等全等三角形的对应角相等).已知：已知： ABC中，中，AB=AC.求证：求证： B= C.ABCD证明：等腰三角形的两个证明：等腰三角形的两个底角相等底角相等.作底边的高线作底边的高线在在RtBAD和

6、和RtCAD中，中，D如图，作ABC的中线AD.D如图， 作ABC的高AD.D如图，作顶角的平分线AD.ABCABCABC等腰三角形常见辅助线归纳总结归纳总结等腰三角形的性质等腰三角形的性质等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的两个底角相等。性质1(等边对等角)ABCD结论 符号语言 在ABC中 AB=AC B=C例例1 在三角形在三角形ABC中中，已知，已知AB=AC，且且B=80 ，则，则C= _，A=_？AB=AC（已知）（已知）B=C（等边对等角）（等边对等角）B=80 （已知）（已知）C=80又又A+B+C=180 （三角形内角和为（三角形内角和为180 ）A=180 BCA=20BC

7、A练习练习 1.在三角形在三角形ABC中，已知中，已知AB=AC，且且 A=50 ，则，则B= ，C= ？CBAAB=AC（已知）（已知）B=C（等边对等角）（等边对等角）又又A+B+C=180 （三角形内角和为（三角形内角和为180 ）A=50 （已知）（已知）B=65 C=652.2.等腰三角形一个底角为等腰三角形一个底角为7070, ,它的顶角为它的顶角为_._.3.3.等腰三角形一个角为等腰三角形一个角为7070, ,它的另外两个角为它的另外两个角为 _. _.4.等腰三角形一个角为等腰三角形一个角为110110, ,它的另外两个角为它的另外两个角为 _._.40 35 ，35 70,

8、40或或55,55结论结论: : 在等腰三角形中在等腰三角形中, , 顶角度数顶角度数+2+2底角度数底角度数=180=180 0 0顶角度数顶角度数180180 0 0底角度数底角度数90904(中考中考广西广西)如图，在如图，在ABC中，中，ABAC，BAC100，AB的垂直平分线的垂直平分线DE分别交分别交AB、BC于点于点D、E，则，则BAE() A80 B60 C50 D40知知1 1练练D性质性质2：等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合。上的高互相重合。（通常说成等腰三角形的通常说成等腰三角形的“三线合一三线合一”）性质

9、性质2可分解成下面三个命题来理解：可分解成下面三个命题来理解：1、等腰三角形的顶角的平分线，既是底边上的中线，又是底边上的高。、等腰三角形的顶角的平分线，既是底边上的中线，又是底边上的高。2、等腰三角形的底边上中线，既是底边上的高，又是顶角平分线。、等腰三角形的底边上中线，既是底边上的高，又是顶角平分线。3、等腰三角形的底边上的高，既是底边上的中线，又是顶角平分线。、等腰三角形的底边上的高，既是底边上的中线，又是顶角平分线。ABCD21 BD=CD,ADB=ADC=90ADBCABCD1 2证明： AD是BAC的平分线 1=2, 在BAD和CAD中, AB=AC, 1=2, AD=AD, BA

10、D CAD (SAS) 等腰三角形的顶角的平分线，既是底边上的中线，又是等腰三角形的顶角的平分线，既是底边上的中线，又是底边上的高。底边上的高。已知：如图，ABC 中，AB =AC，AD 是BAC的平分线求证：BD=CD，ADBC等腰三角形的性质性质2ABCD结论等腰三角形等腰三角形的的顶角平分线、顶角平分线、底边底边上上的中线、底边的中线、底边上的上的高高互相重合互相重合。（等腰三角形的等腰三角形的“三线合三线合一一”） 符号语言：(1)AB=AC ADBC, = , = ; (2)AB=AC BD=CD， ， = ；(3) AB=AC BAD=CAD ， = 。ABCDBADCADBDCD

11、BADCADADBCADBCBDCD 知一线得二线知一线得二线 “三线合一三线合一”可以帮助我可以帮助我们解决线段的垂直、相等们解决线段的垂直、相等以及角的相等问题。以及角的相等问题。在ABC中， 例例2 如图，在如图，在ABC中，中，ABAC，AD是是BC边上边上 的中线，的中线，ABC的平分线的平分线BG交交AC于点于点G，交，交 AD于点于点E，EFAB，垂足为，垂足为F. (1)若若BAD25，求，求C的度数；的度数； (2)求证：求证：EFED.知知2 2讲讲(1)解：解：ABAC，AD是是BC边上的中线，边上的中线， BADCAD，BAC2BAD50. ABAC， CABC (18

12、0 A) (18050)65.(2)证明：证明：ABAC，AD是是BC边上的中线，边上的中线， EDBC， 又又BG平分平分ABC，EFAB， EFED.知知2 2讲讲1212建筑工人在盖房子时，用一块等腰三角建筑工人在盖房子时，用一块等腰三角板放在梁上，从顶点系一重物，如果系重板放在梁上，从顶点系一重物，如果系重物的绳子正好经过三角板底边中点，就说物的绳子正好经过三角板底边中点，就说房梁是水平的，你现在知道为什么吗房梁是水平的，你现在知道为什么吗? ? 小结归纳小结归纳2.等腰三角形等腰三角形的的性质定理性质定理:(1)等腰三角形等腰三角形的两个的两个底角相等底角相等.（简写成“等边对等角等

13、边对等角”） (2)等腰三角形等腰三角形的的顶角顶角平分线平分线、底边底边上的中上的中线、线、 底边底边上的高互相重合上的高互相重合.（简写成“三线合一三线合一”） 1.等腰三角形是轴对称图形等腰三角形是轴对称图形. （底边上的中线、顶角的平分线、底边上的高底边上的中线、顶角的平分线、底边上的高所在直线是对称轴所在直线是对称轴） 例例2、如图，在、如图，在ABC中中 ，AB=AC，点，点D在在AC上，且上，且BD=BC=AD，求，求ABC各角的度数。各角的度数。1、图中有哪几个等腰三角形、图中有哪几个等腰三角形？ABCDx2x2x2xABC ABD BDC2 2、有哪些相等的角？、有哪些相等的

14、角？ABC=ABC=ACB=ACB=BDC BDC A=A=ABDABD3 3、这两组相等的角之间还有什么关系？、这两组相等的角之间还有什么关系？BDC=2BDC=2 A A ABC+ACB+ A=180 例2、如图，在ABC中 ，AB=AC，点D在AC上，且 BD=BC=AD，求ABC各角的度数。ABCD解：解：AB=ACAB=AC，BD=BC=ADBD=BC=AD，ABC=ABC=C=BDC，A=ABD （等边对等角（等边对等角)设设A=x,则则BDC=A+ABD=2x,从而从而ABC= C= BDC=2x,于是在于是在ABC中，有中，有A+ABC+C=x+2x+2x=180，解得解得x=

15、36，A=36，ABC=C=72x2x2x2x 随堂练习随堂练习1. 在三角形在三角形ABC中，中，AB=AC，且，且AD BC，已，已知知BD=2cm,求求DC=_cm, BC=_cm？CBDA12 AB=AC ,AD BC（已知）（已知）BD=CD（等腰三角形的高与（等腰三角形的高与底边上的中线重合）底边上的中线重合）即（等腰三角形三线合一）即（等腰三角形三线合一）BD=2cm（已知）（已知）CD=2cm BC=4cm2等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 60，则这个等腰三角形的顶角为（，则这个等腰三角形的顶角为（ ） A30 B150 C30或150

16、 D120C3. 如图，在等腰三角形如图，在等腰三角形ABC中，中，AB=AC，D为为BC的的 中点，则点中点，则点D到到AB，AC的距离相等。说明理由。的距离相等。说明理由。AEFB D C解：相等，理由如下：解：相等，理由如下：连接连接AD在在ABC中，中，AB=AC，D为为C中点中点AD平分平分BACDEAB，DFACDE=DF(E)(E)B B 等腰三角形底边中点到两腰的距离等腰三角形底边中点到两腰的距离相等吗相等吗? ?如如图图,DEAB,DFAC,DEAB,DFAC,垂足分别为垂足分别为E E、F.将等腰三角形将等腰三角形ABCABC沿对称轴沿对称轴ADAD翻折翻折, ,观观察察D

17、EDE与与DFDF的关系的关系. .E EB BE EB BA AD DC CF FDE=DFDE=DF1 (中考中考苏州苏州)如图，在如图，在ABC中，中，ABAC，D为为 BC的中点，的中点，BAD35，则，则C的度数的度数 为为() A35 B45 C55 D60知知2 2练练C知知2 2练练2 如图，在如图，在ABC中，中，ABAC，点，点D是是BC边的中边的中 点，点点，点E在在AD上，那么下列结论不一定正确的上，那么下列结论不一定正确的 是是 () AADBC BEBCECB CABEACE DAEBED3 如图，在如图，在ABC中，中，ABAC，点，点D、E在在 BC上，连接上，连接AD、AE，如果只添加一个条件使，如果只添加一个条件使 DABEAC，则添加