自适应信号处理7

1、第7章 RLS算法Chap.7 The RLS AlgorithmRLS：Recursive Least Square递归最小二乘算法递归最小二乘算法用于自适应横向滤波器设计用于自适应横向滤波器设计LS算法的一个递归实现，在线性自适应滤波器中应用算法的一个递归实现，在线性自适应滤波器中应用非常广非常广 思路：思路：给定给定k-1次迭代滤波器上的权向量，利用新接次迭代滤波器上的权向量，利用新接收的数据，由该向量估计出第收的数据，由该向量估计出第k次迭代上的权次迭代上的权向量向量.均方误差均方误差观测数据的长度是变化的，均方误差是观测数据的长度是变化的，均方误差是 k 的函数的函数knnnkk12

2、)(),()(0( , )1,1,2,.,k nnk也称作也称作遗忘因子遗忘因子其中其中 是加权因子，满足是加权因子，满足( , )k n 作用：作用：使很多次迭代之前的数据被遗忘掉。使很多次迭代之前的数据被遗忘掉。 当滤波器工作在非平稳环境中时，观测当滤波器工作在非平稳环境中时，观测数据仍可能服从统计变化的一些特性。数据仍可能服从统计变化的一些特性。 常用形式：常用形式：指数加权因子（遗忘因子）指数加权因子（遗忘因子）knnknk,.,2 , 1,),(的数。但小于是一个接近式中，11.1“遗忘”无限记忆，没有数据被时 均方误差均方误差knnknk12)()( )k*( )( )( )kkk

3、Rwp达到最小时，存在关系：达到最小时，存在关系：( ), ( )kkRp1*1( )( )( )( )( )( )kk nHnkk nnknnkn d nRxxpx.平均不同，与通常意义上的时间使用了的新定义的新定义把当前的瞬时估计分离出来把当前的瞬时估计分离出来111( )( )( )( )( )(1)( )( )kknHHnHknnknkkn RxxxxRxx相关矩阵的一个值相关矩阵的一个值在更新过程中起修正项的作用在更新过程中起修正项的作用类似地，有：类似地，有：( )(1)( )( )kkkd kppx*1( )( )( )( ), ( )kkkkkRwpwR由确定需要用到实际中：实

4、际中： 要避免求逆操作，特别是当要避免求逆操作，特别是当 L 较大时。较大时。矩阵逆定理矩阵逆定理(Matrix Inversion Lemma)令令A和和B是两个是两个MM 的正定矩阵，存在关系：的正定矩阵，存在关系：11HABC DC其中：其中： C是一个是一个MN 的的矩阵矩阵D是一个是一个NN 的正定矩阵的正定矩阵11()HABB C DCB C则有：则有：很容易证明：很容易证明：MIL1A AIMIL可以用来得到一个计算权向量的可以用来得到一个计算权向量的LS解的递归公式。解的递归公式。RLS算法算法以以R为例对照为例对照MIL( )(1)( )( )HkkkkRRxx111( )(

5、1)(1)( )1kkkkARBRBRCxD代入代入式得到：式得到：11111111(1)( )( )(1)( )(1)1( )(1)( )HHkkkkkkkkk RxxRRRxRx如果记：如果记：11(1)( )( )1( )(1)( )HkkkkkkQxrxQx逆相关矩阵逆相关矩阵增益向量增益向量1( )( )kkQR则有：则有：11( )(1)( )( )(1)HkkkkkQQrxQ由由式，还可以得到如下关系：式，还可以得到如下关系：1111( )(1)( )( )( )(1)( )(1)( )( )(1)( )( )( )HHkkkkkkkkkkkkkkrQxrxQxQrxQxQx式式

6、1(k)( )( )kkrRx所以有：所以有：权向量的更新（迭代关系）权向量的更新（迭代关系）1*( )( )( )( )( )( )(1)( )( )( )kkkkkkkkkdkwRpQpQpQx将将式代入式代入式右端的第一项，整理可得：式右端的第一项，整理可得：*( )(1)( )( )kkkkwwr( )( )(1)( )Hkd kkkwx先验估计误差先验估计误差用用k-1时刻的权向量，对当前的期望做一个估计时刻的权向量，对当前的期望做一个估计( )( )( )( )Hkd kkkwx后验估计误差后验估计误差式中式中( ), ( )kk一般是不相同的。一般是不相同的。11*111(1)( )( )1( )(1)( )( )( )(1)( )( )(1)(1)( )( )(1)( )( )(1)( )( )HHHkkkkkkkd kkkkkkkkkkkkkk