西工大、西交大自动控制原理 4.2 根轨迹绘制的基本法则2

1、4.2 根轨迹绘制的基本法则内容回顾内容回顾开始本节开始本节4.2 根轨迹绘制的基本法则根轨迹绘制的基本法则根轨迹示例1j0j0j0j0j0j00j0j0jj00j晕了？晕了？ bsassKsG 1ss3s2sKsG 42s1s3sKsG2 42s1sKsG2 11ssKsG2 12s41sKsG224.2 根轨迹绘制的基本法则根轨迹绘制的基本法则概述1、根据绘制根轨迹的基本法则，由一些简单的运 算，画出根轨迹的大致图形(称为概略根轨迹)；2、再利用根轨迹方程进行修正，就得到根轨迹的准 确图形。 以系统开环根轨迹增益为可变参数为例介绍绘制根轨迹的基本法则。对系统其它参数变化时的根轨迹，经过适当

2、变换，这些法则仍可应用。基本过程：思路：4.2 根轨迹绘制的基本法则根轨迹绘制的基本法则1绘制根轨迹的基本法则根轨迹的分支数、连续性和对称性(1)根轨迹分支数取决于闭环系统的特征方程式中 s 的最高次项，即为max(n,m)条，亦即与开环零点数m和极点数n中的大者相等，或者说与系统的闭环极点数相同。根轨迹是连续的。根轨迹是对称于实轴的。4.2 根轨迹绘制的基本法则根轨迹绘制的基本法则1绘制根轨迹的基本法则起点：当 时，系统闭环特征根(闭环极点)在s平面上的分布位置；终点：当 时，闭环特征根在s平面 上的分布位置。根轨迹方程可写成如下形式：根轨迹的起点和终点(2)0*K*K1*11+0mjjni

3、iszKsp01*1mjjniizsKps或者4.2 根轨迹绘制的基本法则根轨迹绘制的基本法则1绘制根轨迹的基本法则当 时，必须有 ，此时闭环特征根与开环极点重合。 所以根轨迹起始于开环极点。根轨迹的起点和终点(2)0*Knipsi， 2101*1mjjniizsKps4.2 根轨迹绘制的基本法则根轨迹绘制的基本法则1绘制根轨迹的基本法则当 时，必须有 ，此时闭环特征根与开环零点重合。根轨迹中止于开环零点。根轨迹的起点和终点(2)0111mjjnii*zspsK*Km， 21jzsj若 nm ，那么剩余的 n-m 个终点在哪里呢？由根轨迹方程知：当 时，系统的幅值条件又可改写为smnsmjjn

4、iis*szspsKlimlim114.2 根轨迹绘制的基本法则根轨迹绘制的基本法则1绘制根轨迹的基本法则 所以：n-m条根轨迹终止于无穷远处。如果把有限数值的零点称为有限零点，而把无穷远处的零点叫做无限零点，则根轨迹终止于开环零点。根轨迹的起点和终点(2) 某些特殊情况下，可能会出现n=2 时，时，闭环特征根闭环特征根(闭环极点闭环极点)之和之和等于等于开开环极点之和环极点之和且为且为常数常数。即：。即：111nniiniiaps此式表明，随着此式表明，随着 的增大的增大(或减小或减小)，若一些闭环特，若一些闭环特征根征根(闭环极点闭环极点)在在 s平面上平面上向右向右移动，则另一些闭环移动

5、，则另一些闭环特征根特征根(闭环极点闭环极点)必向左必向左移动，且在任一移动，且在任一 下，闭环下，闭环特征根特征根(闭环极点闭环极点)之和保持常数之和保持常数 不变。不变。*K*K1na4.2 根轨迹绘制的基本法则根轨迹绘制的基本法则1绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则闭环特征根(闭环极点)的和与积(8)闭环特征根之积与开环零、极点有如下关系：闭环特征根之积与开环零、极点有如下关系：00111bKazKps*mjj*niinii0*1*1bKzKsmjjnii当开环系统有等于零的极点时当开环系统有等于零的极点时(即即 ) 有有00a即此时闭环特征根即此时闭环特征根(闭环极点闭环极点)之

6、积与开环零点之积、之积与开环零点之积、开环根轨迹增益开环根轨迹增益 成正比。成正比。*K4.2 根轨迹绘制的基本法则根轨迹绘制的基本法则1绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则闭环特征根(闭环极点)的和与积(8)利用上述结论，对应于某一 值，若已知某些闭环特征根，有助于求出其它闭环特征根。也可估计当变化时，根轨迹的走向。*K*K4.2 根轨迹绘制的基本法则根轨迹绘制的基本法则1绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则开环根轨迹增益 (或开环增益 )的求取(9)*KK根轨迹上任意点的根轨迹上任意点的 值，可由根轨迹方程的幅值条值，可由根轨迹方程的幅值条件在根轨迹上图解求取。件在根轨迹上图解求取

7、。*K111*niimjjpszsK由此可得：由此可得：mnmjjniizszszspspspszspsK212111*mjznipji，21214.2 根轨迹绘制的基本法则根轨迹绘制的基本法则1绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则开环根轨迹增益 (或开环增益 )的求取(9)*KK因为因为 为已知，为已知，而而 s 为根轨迹上的考察点。所以利用上式，在根轨迹为根轨迹上的考察点。所以利用上式，在根轨迹上用图解法可求出任意点的上用图解法可求出任意点的 值。值。mjznipji，2121*K4.2 根轨迹绘制的基本法则根轨迹绘制的基本法则2绘制根轨迹的一般步骤基本过程：1已知系统的开环零、极点(

8、开环传递函数)； 2利用基本法则，确定根轨迹的主要特征和 大致图形； 3如果需要，再根据根轨迹方程的相角条 件，利用试探法确定若干点； 4绘制出准确的根轨迹。4.2 根轨迹绘制的基本法则根轨迹绘制的基本法则2绘制根轨迹的一般步骤1根据给定的开环传递函数，求出开环零、极 点；并将它们标在复平面上，纵横坐标用相同 的比例尺； 2确定根轨迹的分支数及趋于无穷远处根轨迹 的条数、渐近线的交点和倾角； 3确定实轴上的根轨迹； 4确定根轨迹的分离点(会合点)，并计算分离角； 5计算根轨迹的出射角和入射角； 6确定根轨迹与虚轴的交点；一般步骤4.2 根轨迹绘制的基本法则根轨迹绘制的基本法则2绘制根轨迹的一般

9、步骤7大体绘出根轨迹的概略形状； (1) 利用闭环特征根之和、之积的性质估计根轨迹 的走向； (2)利用相角条件试探确定根轨迹上某些点； (3)某些系统在复平面上的根轨迹为圆或圆的一部分 时，求出圆心和半径。 (4) 利用对称性画出上、下复平面的根轨迹； 8必要时对根轨迹进行修正，以画出系统精确根轨迹。一般步骤4.2 根轨迹绘制的基本法则根轨迹绘制的基本法则2绘制根轨迹的一般步骤例8 若已知系统的结构图为： 试绘制系统的概略根轨迹。15201ss.sK)(sR)(sC 20120115201.sss*K.sssKss.sKsGK解：系统开环传递函数为：KK *4.2 根轨迹绘制的基本法则根轨迹

10、绘制的基本法则2绘制根轨迹的一般步骤开环零点： ，开环极点：将它们标注于复平面上；11z2 . 0021pp，实轴上的根轨迹：12 . 00，渐近线：2-1=1 条，负实轴方向上；分离点：由开环传递函数可知： 由 得： 2 . 022 . 011ssNsssNsMssM； ssssNMMN4.2 根轨迹绘制的基本法则根轨迹绘制的基本法则2绘制根轨迹的一般步骤ssss2 . 012 . 0228 . 012, 1s分离角：2/画出根轨迹所示，在复平面上，有一部分根轨迹为一圆，其圆心为 ，半径为 。0, 1 j8 . 0R4.2 根轨迹绘制的基本法则根轨迹绘制的基本法则2绘制根轨迹的一般步骤-0.

11、2-1sj-21z1p2p4.2 根轨迹绘制的基本法则根轨迹绘制的基本法则可以证明：由两个实数极点或复数极点和一个有限零点组成的开环系统，只要该零点没有位于两个实数极点之间，闭环根轨迹的复数部分是以该零点为圆心，以该零点到分离点的距离为半径的圆或圆的一部分。在此仅证明此例：2绘制根轨迹的一般步骤4.2 根轨迹绘制的基本法则根轨迹绘制的基本法则由相角条件可得：在复平面上有 ，上式又可写为：利用反正切公式： 180201.sssKsHsG10.2180sss js1802 . 01jjj11110.2tgtgtg1111XYYXtgYtgXtg2绘制根轨迹的一般步骤4.2 根轨迹绘制的基本法则根轨

12、迹绘制的基本法则上式变为：两边取正切得：整理后得：这是一个圆心为 ，半径为 的圆。1110.211tgtg2 . 01112228 . 08 . 010, 1 j8 . 02绘制根轨迹的一般步骤4.2 根轨迹绘制的基本法则根轨迹绘制的基本法则例9 单位负反馈系统的开环传递函数为：试绘制系统的根轨迹。解：由系统的开环传递函数得：12113115 . 0)(2sssssKsG 2232223232*2sssssKsssssKsG2绘制根轨迹的一般步骤4.2 根轨迹绘制的基本法则根轨迹绘制的基本法则故：开环零点： ，开环极点：将它们标注于复平面上；实轴上的根轨迹：渐近线： 条21zjppp1304,

13、 321，320，314 1142113011jjmnzpmjjniia31212kmnkaKK3*2绘制根轨迹的一般步骤4.2 根轨迹绘制的基本法则根轨迹绘制的基本法则 时， 时， 时，起始角：根轨迹与虚轴的交点：0k603/a1k2k180a603/5a6 .26906 .2613545180180431113343jjppjpzppjj2绘制根轨迹的一般步骤4.2 根轨迹绘制的基本法则根轨迹绘制的基本法则系统的闭环特征方程式为：将 代入上式，整理可得：联立求解得：02685*234KsKsssjs 028*24jK065028*3*24KK00*LK66. 12*LK2绘制根轨迹的一般步

14、骤4.2 根轨迹绘制的基本法则根轨迹绘制的基本法则 画出概略根轨迹如图所示：2绘制根轨迹的一般步骤-1sj-21z1p2p-33p4pa4.2 根轨迹绘制的基本法则根轨迹绘制的基本法则小结小结 需掌握绘制根轨迹的九个准则需掌握绘制根轨迹的九个准则q 根轨迹的连续性和对称性；根轨迹的连续性和对称性；q 根轨迹的支数、起始点和渐进线；根轨迹的支数、起始点和渐进线；q 根轨迹实轴上的点和根轨迹的分离点，会合点；根轨迹实轴上的点和根轨迹的分离点，会合点；q 根轨迹的出射角、入射角和虚轴的交点；根轨迹的出射角、入射角和虚轴的交点；q 闭环极点之积和之和。闭环极点之积和之和。4.2 根轨迹绘制的基本法则根轨迹绘制的基本法则