有限长数字滤波器的设计

1、 7-1 引言引言7-2 线性相位线性相位FIR DF的特点的特点7-3 窗函数设计法窗函数设计法7-4 凯泽（凯泽（Kaiser）窗及其滤波器设计）窗及其滤波器设计7-5 频率取样设计法频率取样设计法 7-1引言引言一、一、IIR DF的特点的特点 1、DF的设计依托的设计依托AF的设计，有图表可查，方便简单。的设计，有图表可查，方便简单。 2、相位的非线性、相位的非线性 H（Z）的频响：）的频响： 其中，其中， 是幅度函数，是幅度函数， 是相位函数。是相位函数。 通常，通常， 与与 不是呈线性的，这是不是呈线性的，这是IIR filter （无限长响应滤波器）的一大缺点。因此限制了（无限长

2、响应滤波器）的一大缺点。因此限制了 它的应用，如图象处理，数据传输都要求信道它的应用，如图象处理，数据传输都要求信道 具有线性相位特性。具有线性相位特性。 3、用全通网络进行相位校正，可以得线性特性。、用全通网络进行相位校正，可以得线性特性。,e)e (H)Z(H)e (H)(jjeZjj)e (Hj)()(review二、二、FIR DF的特点的特点 1、单位抽样响应、单位抽样响应h（n）是有限长的，）是有限长的， 因此因此FIR DF一定是稳定的。一定是稳定的。 2、经延时移位，、经延时移位，h（n）总可变成因果序列，）总可变成因果序列， 所以所以FIRDF总可以由因果系统实现。总可以由因

3、果系统实现。 3、h（n）为有限长，可以用）为有限长，可以用FFT实现实现FIRDF。 4、FIR的系统函数是的系统函数是Z-1的多项式，是全零点系的多项式，是全零点系统，故统，故IIR的设计方法不适用。的设计方法不适用。 5、FIR的相位特性可以是线性的，因此，它有更的相位特性可以是线性的，因此，它有更 广泛的广泛的 应用，非线性的应用，非线性的FIR一般不作研究一般不作研究。return7-2 线性相位线性相位FIR DF的特点的特点一、线性相位的条件一、线性相位的条件 如果如果FIR DF的单位抽样响应的单位抽样响应 h(n) 为实数，而且为实数，而且满足偶对称满足偶对称 h(n)=h(

4、N-1-n)，或满足奇对称，或满足奇对称H(n)=-h(N-1-n)，其对称中心在，其对称中心在 处，可证处，可证明明filter就具有严格的线性相位。就具有严格的线性相位。 N又分为偶数和奇数两种情况，所以有又分为偶数和奇数两种情况，所以有4种线性相种线性相位位FIR DF，如下所述。，如下所述。21Nnreturn1、N为奇数的偶对称为奇数的偶对称例如例如 N=11，对称中心为，对称中心为)n10(h)n(h, 52111nn012345678910return2、N为偶数时的偶对称为偶数时的偶对称例如例如 N=10，对称中心为，对称中心为)n9(h)n(h, 5 . 42110nn012

5、3456789return3、N为奇数时的奇对称为奇数时的奇对称例如，例如，N=11，对称中心为，对称中心为 )n10(h)n(h, 5nn012345678910return4、N为偶数时的奇对称为偶数时的奇对称例如，例如，N=10，对称中心为，对称中心为4.5， )n9(h)n(hn012 3456789return二、线性相位的特点二、线性相位的特点)(jje )(H)e (H 为幅度函数，为幅度函数， ，是一个纯实数，是一个纯实数， 是相位函数，下面分是相位函数，下面分为为奇奇、偶对称偶对称两种情况讨论两种情况讨论)(H )e (H)(Hj)()(return1、h（n）为偶对称情况）

6、为偶对称情况1N0nn1N0nnZ)n1N(hZ)n(h)Z(H)n1N(h)n(h1N0m)m1N(Z)m(h)1,1(mNnnNm1N0mm)1N(Z)m(hZ也就是)Z(HZ)Z(H1)1N(return上式两边同时加上式两边同时加H（Z），再用），再用2去除得：去除得：10) 1(1) 1()(21)()(21)(NnnNnNZZZnhZHZZHZH2ZZ )n(hZ)21Nn()21Nn(1N0n)(21N)Z(HZ)Z(H1)1N(由return10)21()21()21()(2)()(NnNnjNnjNjeZjnheeeZHeHj1N0n)21N( j)21Nncos()n(he

7、1N0n)21N( j)n21Ncos()n(he2ZZ )n(hZ)21Nn()21Nn(1N0n)(21NH(Z)return所以，这时的幅度函数和相位函数如下所示所以，这时的幅度函数和相位函数如下所示:幅度函数为幅度函数为相位函数为相位函数为)n21Ncos()n(h)(H1N0n)21N()(显然显然 与与 呈正比，是呈正比，是严格严格的的线性线性相位相位。)(return)1N()(,2)21N()(,)21N() 1N(0)(2)21N()(return2、h（n）为奇对称的情况）为奇对称的情况 当当h(n)= -h(N-1-n)时，可以通过类似的推导，得到时，可以通过类似的推导，

8、得到)n21N(sin)n(he)e (H1N0n2j)21N( jj所以，其幅度函数和相位函数分别为所以，其幅度函数和相位函数分别为)n21Nsin()n(h)(H1N0n2)21N()(return 可见，其相位特性是线性相位，而且还产生一个可见，其相位特性是线性相位，而且还产生一个900相移，相移，这样同一个信号通过这样同一个信号通过h(n)奇、偶的奇、偶的FIR滤波器的输出，在所有滤波器的输出，在所有频率都有频率都有900相差，因此称它为相差，因此称它为正交变换网络正交变换网络。（相移。（相移900的信的信号与原信号为正交的号与原信号为正交的回顾回顾信号与系统信号与系统中函数正交的定义

9、）。中函数正交的定义）。)23N()(,2)12N()(,2)(,0)23( N) 12(N)(2022)21N()(return1、N为奇数，为奇数，h（n）为偶对称的情况）为偶对称的情况三、幅度函数的特点三、幅度函数的特点(分四种情况讨论分四种情况讨论) 呈偶对称，也对2/ ) 1()21cos()1(21cos()21(cos)21cos()21cos()()(10NnNnNNNnnNnNnhHNn偶对称定义：偶对称定义：h(nh(n)=h(N-1-n)=h(N-1-n)return可表为。因此，项是奇数，故留下中间一项。由于并等等，共合并为项合项与第合并；把第项项与第相等；可把第项项与

10、第内的第因此，)(2/ ) 1(:2/ ) 1(2110)1(HNnNNNnnNnnnNnreturnnNmmmNhNhnNnhNhHNmNn21)cos()21(2)21()21cos()(2)21()(2/ ) 1(12/ ) 3(0其中，return21, 2 , 1),21(2)()21()0()cos()()(2/ )1(0 NnnNhnaNhannaHNn可见， 对 呈现偶对称。)(H,2 , 0进一步表为)(H理解思路：理解思路：代入代入推导出推导出H(k- )= H(k+)课堂板书推导证明：结合课堂板书推导证明：结合cos的偶对称性的偶对称性。return2、N为偶数，为偶数，

11、h（n）为偶对称的情况）为偶对称的情况2N, 2 , 1n),n2N(h2)n(b)21ncos()n(b)(H2/N1n 可见， 对 呈奇对称。)(H, 0)(H理解思路：理解思路：代入推导出代入推导出H(- )= H(+)return3、N为奇数，为奇数，h（n）为奇对称的情况）为奇对称的情况21N, 2 , 1n),n21N(h2)n( c)nsin()n( c)(H2/ )1N(1n 可见， 时， 对 呈奇对称。2 , 0; 0)(H)(H 2 , 0理解思路：理解思路：代入推导出代入推导出H(k- )= H(k+)return4、N为偶数，为偶数，h（n）为奇对称的情况）为奇对称的情

12、况2N, 2 , 1n),n2N(h2)n(d)21nsin()n(d)(H2/N1n 可见，可见， 时，时， 对对呈奇对称，而对呈奇对称，而对 呈偶对称。呈偶对称。这四种线性相位这四种线性相位FIR filter的特性归纳的特性归纳在表在表7-1中中（P331）。）。2 , 0; 0)(H)(H 2 , 0理解思路：理解思路：代入推导出代入推导出H(- )= H(+)； H(- )= H()return四、系统函数四、系统函数H（Z）的零点分布情况）的零点分布情况 1、零点的分布原则、零点的分布原则)Z(HZ)Z(H1)1N(所以，如果所以，如果 是零点，则是零点，则 也一也一定是定是H（Z

13、） 的零点，的零点，h（n）为实数时，）为实数时，H（Z）的零点必成共轭对出现，即的零点必成共轭对出现，即 也一定是也一定是H（Z）的零点，）的零点， 也一定是也一定是H（Z）的零）的零点。点。iZZ iZ/1Z *iZZ *iZ/1Z return2、零点的位置、零点的位置（1） 既不在实轴上，也不在单位圆上，则零既不在实轴上，也不在单位圆上，则零 点是互为倒数的两组点是互为倒数的两组共轭对共轭对，22/1 , 22/1jZjZiiiZ,41j41Z,41j41Z*ii*iZ/1ZjImZiiZiZ/1ZRe10return(2) 不在实轴上，但在单位圆上，共轭对的不在实轴上，但在单位圆上，

14、共轭对的倒数就是它们本身，如倒数就是它们本身，如iZ22j22Z/1 ,22j22Z/122j22Z,22j22Z*ii*ii*iiZ/1Z i*iZ1Z 01return（3） 在实轴上，不在单位圆上，实数零点，在实轴上，不在单位圆上，实数零点，没复共轭；只有倒数。没复共轭；只有倒数。例如，例如，iZ2Z/1 , 2/1ZiiiZiZ/121201return（4） 既在实轴上也在单位圆上。此时，既在实轴上也在单位圆上。此时，有两种可能，或位于有两种可能，或位于Z=1，或位于，或位于Z=-1。iZN为偶数时的偶对称为偶数时的偶对称 为其零点；为其零点；N为偶数奇对称为偶数奇对称H（0）=0，

15、有，有Z=1零点；零点；N为奇数奇对称为奇数奇对称有零点有零点Z=1，和，和Z= -1。1Z, 0)(H, 0)(H)0(H1Zi1iZ参考参考P331表表7-1四种四种FIR幅频特性得出：幅频特性得出：return)(H的零点是的零点是H(Z)的零点的子集的零点的子集7-3 窗函数设计法窗函数设计法一、设计方法一、设计方法 1、设计思想、设计思想 先给定理想先给定理想filter的频响的频响 ，所要求设计一个，所要求设计一个FIR的的filter的频响为的频响为 ，使，使 逼近逼近 2、设计过程、设计过程 设计是在时域进行的，先用傅氏反变换求出理设计是在时域进行的，先用傅氏反变换求出理想想f

16、ilter的单位抽样响应的单位抽样响应 ，然后加时间窗，然后加时间窗对对 截断，以求得截断，以求得FIR filter的单位抽样响应的单位抽样响应h(n)。)e (Hjd)e (Hj)e (Hj)e (Hjd)n(hd)(nw)n(hd)()()()(21)(nhnwnhdeeHnhdnjjddreturn例如，低通例如，低通filter)(Hd0cc 是矩形的，则是矩形的，则 是是 sin(n)/n,为无限长为无限长的且是非因果的。的且是非因果的。)e (Hjd)n(hd)n(hdreturn二、窗函数对频响的影响二、窗函数对频响的影响 1、理想、理想LPF的单位抽样响应的单位抽样响应理想低

17、通理想低通filter的频响的频响 为为)(nhd)(jdeH)e (Hjdcccje, 0,0)(为群延时-加时间窗的原因加时间窗的原因return10)e (Hjdcc因为其相位 ，所以 是偶对称，其对称中心为 ，这是因为 时，即 为其最大，故 为其对称中心。即 是以 为其对称中心的无限长的非因果序列。)n(hdccc)n( j)n( jnjjjd1)n()nsin(e)n(2 j11de21dee21)e (HFccccc)(nhd)(n/)(cdh)(nhdreturn)n(hd2/ ) 1N(1Nn)n(RN1Nn0.1可将可将 乘以一个窗函数，变为有限长的因果序列。乘以一个窗函数，

18、变为有限长的因果序列。)(nhd-加时间窗的原因加时间窗的原因-导致原滤波器频谱变化导致原滤波器频谱变化return1N2、加矩形窗、加矩形窗 加窗就是实行加窗就是实行乘乘操作，而矩形窗就是操作，而矩形窗就是截断截断数据，这数据，这相当于通过窗口相当于通过窗口 看看 ，称，称 为窗口函数。为窗口函数。)()(nRnwNR)n(RN)n(hd)(nwR)()()(nwnhnhRd1Nn0),n(hd, 0其它n值因因h(nh(n) )是偶对称的。长度为是偶对称的。长度为N N，所以其对称中心，所以其对称中心应为应为 ，结论结论:N:N点长的点长的FIRFIR因果系统因果系统h(n)可写作可写作2

19、/ ) 1N(h（n）=10 ,)21()21sin(NnNnNnc, 0n为其它值return3、 N点长的点长的FIR因果系统因果系统h(n)的频响的频响 h（n）的频响）的频响 可通过傅式变换可通过傅式变换求得，为了便于与求得，为了便于与 的频响的频响 相比较，利相比较，利用卷积定理用卷积定理)e (Hj)()(nhFeHj)n(hd)e (HjddeWeHeHnwnhnhjRjdjRd)()(21)()()()()(1) 矩形窗的频率响应特性矩形窗的频率响应特性10)()()(NnnjRRjRenwnwFeW2/sin2Nsinee1e1e)21N(jjNj1N0nnjreturn)2

20、1()(NjReW 其中，其中， 为幅度函数，为幅度函数， 为相位函数。幅频响应如下：为相位函数。幅频响应如下：)2sin(/ )2Nsin()(WR)21()(N（2）理想）理想LPF的频率响应的频率响应)21N( jdjde )(H)e (H 其中，其中， 为幅度函数为幅度函数， 为相位函数。为相位函数。)(Hdc, 1c, 0)21()(Nreturn（3）有限长）有限长h（n）的频率响应）的频率响应)e (Hjd)(W)(H21ede )(We )(H21Rd)21N( j)(21N( jR)21N( jd其中，其中， 为幅度函数，为幅度函数， 为相位函数。为相位函数。d)(W)(H2

21、1)(HRd)21()(N4、窗函数频率响应产生的影响、窗函数频率响应产生的影响从几个特殊频率点的卷积过程就可看出其影响从几个特殊频率点的卷积过程就可看出其影响:return（1） 时，0ccd)(W21d)(W121)0(HRR也就也就 在在 到到 全部面积的积分。全部面积的积分。因此，因此，H（0）/H（0）=1（用（用H（0）归一化）归一化）。)(WR)(Hd0ccreturn)(WRN/2N/20NNWR/2/4)(边瓣宽度为的主瓣宽度的为注意：return（2） 时，时， 正好与正好与 的一半相重叠。这时有的一半相重叠。这时有 。c)(WR)(Hd5 . 0)0(/ )(HHcret

22、urn(3) 时，时， 的主瓣全部在的主瓣全部在的通带内，这时应出现正的肩峰。的通带内，这时应出现正的肩峰。Nc2)(RW)(dH（4） 时，主瓣全部在通带外，时，主瓣全部在通带外，出现负的肩峰。出现负的肩峰。Nc/2return（5）当）当 时，随时，随 增加，增加， 左边左边 旁瓣的起伏部分扫过通带，卷积旁瓣的起伏部分扫过通带，卷积 也随着也随着 的旁瓣在通带内的面积的旁瓣在通带内的面积 变化而变化，故变化而变化，故 将围绕着零值而波动。将围绕着零值而波动。Nc2)(WR)(H )(WR)(H N/2creturn(6)当当 时，时， 的右边旁瓣将进入的右边旁瓣将进入 的通带，右边旁瓣的起

23、伏造成的通带，右边旁瓣的起伏造成 值围绕值围绕 值而波动。值而波动。N2c)(WR)(Hd)(H )0(H100.5)0(H/ )(H 整个卷积过程如图整个卷积过程如图return8.95%8.95%5、几点结论、几点结论（1）加窗后，使频响产生一过渡带，其宽度正好等于）加窗后，使频响产生一过渡带，其宽度正好等于窗的频响窗的频响 的主瓣宽度的主瓣宽度（2） 在在 处出现肩峰，肩峰两侧形成处出现肩峰，肩峰两侧形成起伏振荡，其振荡幅度取决于旁瓣的相对幅度，而振起伏振荡，其振荡幅度取决于旁瓣的相对幅度，而振荡的多少则取决于旁瓣的多少。荡的多少则取决于旁瓣的多少。（3）吉布斯（）吉布斯（Gibbs）效

24、应）效应 因为窗函数的频响的幅度函数为因为窗函数的频响的幅度函数为这是一个很特殊的函数，分析表明，当改变这是一个很特殊的函数，分析表明，当改变N时仅能时仅能改变改变 的绝对值的大小，和主瓣的宽度的绝对值的大小，和主瓣的宽度 ，旁瓣的宽度旁瓣的宽度 ，但不能改变主瓣与旁瓣的相对，但不能改变主瓣与旁瓣的相对比例，也就是说，不会改变归一化频响比例，也就是说，不会改变归一化频响 的肩峰的肩峰的相对值。对于矩形窗最大相对肩峰为的相对值。对于矩形窗最大相对肩峰为8.95%，不管，不管N怎样改变，最大肩峰总是怎样改变，最大肩峰总是 8.95% ，这种现象称作，这种现象称作吉布斯效应。吉布斯效应。)(WRN4

25、)(H N2c)2sin(/ )2Nsin()(WR)(WR)N/4( )N/2( )(H return三、各种窗函数三、各种窗函数 1、基本概念、基本概念（1）窗谱：窗函数的频响的幅度函数亦称作窗谱。）窗谱：窗函数的频响的幅度函数亦称作窗谱。（2）对窗函数要求）对窗函数要求 a）希望窗谱）希望窗谱主瓣尽量窄主瓣尽量窄，以获得较陡的过渡带，这，以获得较陡的过渡带，这 是因为过渡带等于主瓣宽度。是因为过渡带等于主瓣宽度。 b）尽量减少尽量减少窗谱最大窗谱最大旁瓣旁瓣的相对的相对幅度幅度，这样可使肩峰，这样可使肩峰 和波纹减少。和波纹减少。 2、矩形窗、矩形窗 时域表达式：时域表达式： 频域表达式

26、（频谱）：频域表达式（频谱）： 幅度函数：幅度函数：)()()(nwnRnwRN)21N( jRjRe )(W)e (W)2sin(/ )2Nsin()(WRreturn3、三角形（、三角形（Bartlett）窗）窗时域表达式：时域表达式：)(nw21Nn0 ,1Nn21Nn21N,1Nn22121210 1 2 3 4 return频谱：)21N( j2je)2sin()41Nsin(1N2)e (W1N,e)2sin()4Nsin(1N2)21N( j2 第一对零点为第一对零点为 ，即，即 ，所以主瓣宽度所以主瓣宽度 ，比矩形宽一倍比矩形宽一倍。)e (Wj4NN4N/8return4、汉

27、宁窗（升余弦窗）、汉宁窗（升余弦窗）其窗谱可利用如下方法求出，将其窗谱可利用如下方法求出，将 变形为变形为又由于又由于 其中其中又考虑到又考虑到 ，这里，这里)()12cos(1 21)(nRnNnwN) 1Nn0()(nw)(41)(41)(21)()12()12(nRenRenRnwNnNjNnNjN)21()()()(NjRRjReWnwFeW)2sin(/ )2Nsin()(WR)n(xe F)e (Xnj)( j001N20return所以有)e (Wj)21()21()()12(41)12(41)(21)(NjNjRRReWeNWNWWnwF当当 时，时， ，窗谱，窗谱分析分析 可

28、知，它等于三部分之和，旁瓣较大程度地可知，它等于三部分之和，旁瓣较大程度地互相抵消，但互相抵消，但主瓣主瓣加加宽一倍宽一倍，即为，即为1N N1N)N2(W41)N2(W41)(W21)(WRRR)(W N8return)(W21R)N2(W41RN4N2N2N4)(W N4N4汉宁窗是汉宁窗是 时，时，特例特例2)n(R)1Nn(sin)n(Nreturn5、海明窗，又称作改进升余弦窗、海明窗，又称作改进升余弦窗 其窗函数为其窗函数为仿照汉宁窗的分析方法可以得其频响的幅度函数为仿照汉宁窗的分析方法可以得其频响的幅度函数为 其主瓣宽度仍为其主瓣宽度仍为 ，（旁瓣峰值，（旁瓣峰值/主瓣峰值）主瓣

29、峰值）1%有有99.963%的能量集中在主瓣内。的能量集中在主瓣内。 海明窗是下一类窗的特例海明窗是下一类窗的特例)N2(W)N2(W23. 0)(W54. 0)1N2(W)1N2(W23. 0)(W54. 0RRRRRR)()12cos(46. 054. 0)(nRNnnWN)(W N8)54. 0()()12cos()1 ()(nRNnnwNreturn6、布拉克曼窗，又称二阶余弦窗、布拉克曼窗，又称二阶余弦窗 加上余弦的二次谐波分量，可以进一步抑制旁瓣加上余弦的二次谐波分量，可以进一步抑制旁瓣相应的幅度函数为相应的幅度函数为 其主瓣宽度为其主瓣宽度为 ，是，是矩形窗的三倍矩形窗的三倍。)

30、()14cos(08. 0)12cos(5 . 042. 0)(nRNnNnnwN)(W )1N4(W)1N4(W04. 0)1N2(W)1N2(W25. 0)(W42. 0RRRRRN/12return7、五种窗函数的比较、五种窗函数的比较（1）时域窗）时域窗布拉克曼三角矩形海明21N1Nn)n(（2）各个窗的幅度函数，如）各个窗的幅度函数，如P.200，图，图6-10，注意图中，注意图中 是是dB表示的。表示的。（3）理想）理想LF加窗后的幅度函数（响应）如加窗后的幅度函数（响应）如P201， 图图6-11所示。所示。return四、窗函数法的设计四、窗函数法的设计 1、设计步骤、设计步骤

31、（1）给定频响函数）给定频响函数（2）求出单位抽样响应）求出单位抽样响应（3）根据过渡带宽度和阻带最小衰减，借助窗函数）根据过渡带宽度和阻带最小衰减，借助窗函数 基本参数表（基本参数表（P202表表3）确定窗的形式及）确定窗的形式及N的大小的大小（4）最后求）最后求 及及 2、设计举例、设计举例)e (Hjd)e (HF)n(hjd1d)()()(nwnhnhd)e (Hj例：分别利用矩形窗与汉宁窗设计具有线性相位的例：分别利用矩形窗与汉宁窗设计具有线性相位的 FIR 低通滤波器，具体要求：低通滤波器，具体要求：)e (Hjd, 0,ecj其他;rad1, s12c并画出相应的频响特性并画出相

32、应的频响特性return解：（解：（1）由于）由于 是一理想是一理想LF，所以，所以 可以得出可以得出 （2）确定）确定N 由于相位函数由于相位函数 ，所以，所以 呈呈 偶对称，其对称中心为偶对称，其对称中心为 ，因此，因此 )e (Hjd)n(hd)()(sin)(nnnhcd)()n(hd2/ ) 1N(2512N)12n()12nsin(1)n(hd（3）加矩形窗）加矩形窗)()()()()(25nRnhnwnhnhdd24, 2 , 1 , 0n),12n(/ )12nsin( 则有return可以求出可以求出h（n）的数值，注意偶对称，对称中心）的数值，注意偶对称，对称中心122/

33、) 1N(31831. 0)12(14472. 0)14()10(06022. 0)16()8(01482. 0)18()6(03936. 0)20()4(01931. 0)22()2(;01423. 012/12sin)24()0(hhhhhhhhhhhhh26785. 0)13(h)11(h01497. 0)15(h)9(h06104. 0)17(h)7(h02987. 0)19(h)5(h01457. 0)21(h)3(h02893. 011/11sin)23(h) 1 (hreturn)n(hn1224由于由于h（n）为偶对称，）为偶对称，N=25为奇数，所以为奇数，所以)(H 121

34、n2/ )1n(1n2/ )1N(0n)ncos()n12(h2)12(h)ncos()n21N(h2)21N(h)ncos()n(areturn套用套用P330页的公式页的公式例如例如 H（0）=0.94789，可以计算，可以计算 的值，的值， 画如下图画如下图)(H return（4）加汉宁窗）加汉宁窗 由于由于 可以求出序列的各点值可以求出序列的各点值240),242cos(1 21)(nnnw1)12(9330. 0)14()10(75. 0)16()8(5 . 0)18()6(25. 0)20()4(06698. 0)22()2(0)24()0(wwwwwwwwwwwww9829.

35、0)13()11(85355. 0)15()9(62940. 0)17()7(37059. 0)19()5(1464. 0)21() 3(01903. 0)23() 1 (wwwwwwwwwwww通过通过 可求出加窗后的可求出加窗后的h(n)()()(nwnhnhdreturn31831. 0)12()12()12(whhd13502. 0)14(h)10(h04516. 0)16(h)8(h00741. 0)18(h)6(h00984. 0)20(h)4(h00116. 0)22(h)2(h0)24(h)0(h26326. 0)13(h)11(h1277. 0)15(h)9(h003841.

36、 0)17(h)7(h01107. 0)19(h)5(h00213. 0)21(h)3(h00049. 0)23(h) 1 (h相应幅度函数可用下式求得：121n)ncos()n12(h2)12(h)(Hreturn如H（0）=0.98460，图如下return()()1( )2ccjnjndh neded1sinsin()1()ccnnnnn()=()cc高通滤波器全通滤波器低通滤波器()0jjcdeHe其它理想高通的频响：return1221()()1( )2jnjndh neded21211sinsin1nnnnn1221(,)=()() 带通滤波器低通滤波器低通滤波器120()0jjd

37、eHe其它12N返回返回下页下页上页上页2112()()()1( )2jnjnjndh nededed12121sinsinsin1nnnnnn1221()=()()带阻滤波器，高通滤波器+低通滤波器12N120,()0jjdeHe 其它返回返回上页上页7-4、凯泽（、凯泽（Kaiser）窗及其滤波器设计）窗及其滤波器设计 上述几种窗函数：矩形窗、汉宁窗、海明窗等，上述几种窗函数：矩形窗、汉宁窗、海明窗等，为了压制旁瓣，是以加宽主瓣为代价的。而且，每为了压制旁瓣，是以加宽主瓣为代价的。而且，每一种窗的主瓣和旁瓣之比是固定不变的，而凯泽窗一种窗的主瓣和旁瓣之比是固定不变的，而凯泽窗可以在主瓣宽度

38、与旁瓣衰减之间自由选择。可以在主瓣宽度与旁瓣衰减之间自由选择。 一、凯泽窗一、凯泽窗 凯泽在凯泽在1966发现，利用第一类零阶修正（变形）发现，利用第一类零阶修正（变形）贝赛尔函数可以构成一种近似最佳的窗贝赛尔函数可以构成一种近似最佳的窗函数。凯泽窗定义为：函数。凯泽窗定义为：1。定义。定义return其它, 010 ,)()/ )(1 ()(02/120NnInInW2/ ) 1( N)(0I为第一类零阶修正贝塞尔函数：为第一类零阶修正贝塞尔函数： ，是一个可自由选择的参数。是一个可自由选择的参数。2.特点特点return其中，其中，.) ! 3 () 2/() ! 2 () 2/() 2/

39、(1!) 2/(1)(26242120 xxxkxxIkk0可同时调整主瓣宽度与旁瓣可同时调整主瓣宽度与旁瓣;越大，越大， 窗时域越窄。频谱旁瓣越小，而主瓣窗时域越窄。频谱旁瓣越小，而主瓣相应增加；相应增加；相当于矩形窗相当于矩形窗;)(nW通常选择通常选择，它们相当于旁瓣与主，它们相当于旁瓣与主瓣幅度为瓣幅度为3.1%-0.047% ；凯泽窗随凯泽窗随 变化的曲线如下图：变化的曲线如下图：return94与其它窗函数相比的主要优点：与其它窗函数相比的主要优点：return由图可以看出由图可以看出, 为对称中心，且是偶对称为对称中心，且是偶对称,2/ ) 1( Nn即即)1()(nNWnWkk

40、1)()()2/ 1()(00IINWnWkk3. 凯泽经验公式凯泽经验公式该公式可使该公式可使filter设计人员根据设计人员根据filter的设计指标的设计指标,估算出估算出值和值和 N 值。值。且，且，return11sp1)(jeH：通带截止频率，由：通带截止频率，由 定定;：止带截止频率，由：止带截止频率，由 定定.)(jeHps过渡带宽度过渡带宽度2/ )(pscreturn1285. 2/ )8(21, 0 . 05021,07886. 0)21(5842. 050),7 . 8(1102. 0lg20. 4 . 0ANAAAAAApsreturn4.设计举例设计举例利用凯泽窗设

41、计一利用凯泽窗设计一FIR低通低通filter，要求，要求6 . 0,4 . 0,001. 0sp2 . 04 . 06 . 0ps解：解：6010lg20lg203A65326. 5)7 . 860(1102. 0return,22.3712 . 0285. 2/ )860(N取取38将将N=38, =5.653代入代入 表达式，得表达式，得)(nWk)()()653. 5() )37(3065. 0()(0000IxIInnInWkreturnnx)(nWk)()(00IxI)(0 xI0 37 0.0 1.000 0.0204 0.021 36 1.8336 2.030 0.0415 0

42、.042 35 2.5568 3.345 0.0704 0.078 29 4.6548 19.96 0.4082 0.413 34 3.086 5.251 0.1074 0.11 4 33 3.5111 7.441 0.1522 0.155 32 3.8656 10.11 0.2067 0.216 31 4.1678 13.10 0.2679 0.297 30 4.4286 16.44 0.3362 0.34return17 20 5.6350 48.03 0.9822 0.98nx)(nWk)()(00IxI)(0 xI9 28 4.8512 23.83 0.4873 0.4910 27 5

43、.0215 27.73 0.5671 0.5711 26 5.1682 31.72 0.6489 0.6512 25 5.2931 35.33 0.7225 0.72 13 24 5.3980 39.01 0.7978 0.8014 23 5.4838 41.93 0.8575 0.8615 22 5.5515 44.67 0.9135 0.9116 21 5.6017 46.74 0.9558 0.9618 19 5.6515 48.90 1.0 1.00048121618192529333721return5 . 02/ )4 . 06 . 0(2/ )(psc)(2sin)()()()(

44、sin)(00nWyyIxInnnhkcyy2sinyy2sin)(nWkn012345637363534333231-0.01220.01290.0139-0.01458-0.015590.016940.018480.020.040.010.27-0.000240.0005160.00096-0.0016-0.00230.00350.0049 yy2sin)(nhreturn 78910111213143029282726252423-0.01965-0.021520.02379-0.02659-0.03013-0.034770.041090.050220.340.4

45、10.490.570.650.720.800.86-0.0067-0.00880.0120.015-0.0196-0.0250.03290.043return1516171822212019-0.06451-0.090400.15070.45200.910.960.981.00-0.059-0.0870.1480.45)(nh的图形如下所示的图形如下所示returnreturn7-5、频率取样设计法、频率取样设计法一、设计思想一、设计思想窗函数设计法是从时域出发，把理想的窗函数设计法是从时域出发，把理想的 用一定用一定形状的窗函数截取成有限长的形状的窗函数截取成有限长的 ，以，以 来近似来近似

46、 )(nhd)(nhd)(nh)(nh)(jdeH)(jeH从而使频响从而使频响 近似理想频响近似理想频响 。频率取样法是从频域出发，对理想的频响频率取样法是从频域出发，对理想的频响 )(jdeH进行等间隔取样，以有限个频响采样去近似理想频响进行等间隔取样，以有限个频响采样去近似理想频响)(jdeH，即：，即：，return)()(2kHeHdkNjd等间隔取样等间隔取样并且并且1,.,1 , 0),()(NkkHkHd二、利用二、利用N个频域采样值重构个频域采样值重构FIR的系统函数与频响的系统函数与频响1. 重构重构FIR的的单位抽样响应的的单位抽样响应h(n)根据频域抽样理论（根据频域抽

47、样理论（p126），由），由N个频域采样点个频域采样点可以唯一确定可以唯一确定h(n) , 即对即对 H(k)进行进行IDFTreturn1,.,1 , 0,)(1)(10/2NnekHNnhNkNnkj2.重构系统函数重构系统函数H(Z)1101/21010/21010/2101011)(111)(1 )(1)(1)()(ZWZkHNZeZkHNZekHNZekHNZnhZHkNNNkNnkjNNknNnNnkjNknNkNnkjNnNnnNjNeW/2return3.FIR的频响的频响jeZ )(ZH将将 代入代入 表达式可得表达式可得)()(2/ )/2sin()2/sin()(11)1

48、)(1)(10)21(1010/2jkNkNkNjNkNkjNnkjNjjekHeNkNkHNeeekHNeH其中其中,)21(2/ )/2sin()2/sin(1)(NkNjjkeNkNNe为大家所知的内插函数为大家所知的内插函数.return11011)(1ZWZkHNkNNNk分析分析 可知，当可知，当 时（采样点）时（采样点）)(jke1,.,1 , 0,2NiiN有：有：1,.,1 , 0, 0, 1)(2NikikieNijk这说明，重构的频响这说明，重构的频响 ，在采样上严格等于，在采样上严格等于H(k),)(jeH而在采样点之间，频响则由加权的内插函数延伸叠加而成。而在采样点之

49、间，频响则由加权的内插函数延伸叠加而成。三、线性相位的约束条件三、线性相位的约束条件以以h(n)为偶对称，为偶对称，N为奇数的情况进行分析为奇数的情况进行分析.1.FIR的频响具有线性相位的一般表达式的频响具有线性相位的一般表达式return当当h(n)为偶对称，为偶对称，N为奇数时，则为奇数时，则)21()()(NjjeHeH（P330，表，表6-1）)(H而且幅度函数而且幅度函数 应为偶对称，即应为偶对称，即)2()( HH2.采样值采样值H(k)具有线性相位的约束具有线性相位的约束kkjkjkNjeHekNHeHkH)2()()(2return其中，其中， 表示采样值的模（纯标量），表示

50、采样值的模（纯标量）， 表示表示)2(kNHHkk其相角。因此，在采样点上具有线性相位的条件应为：其相角。因此，在采样点上具有线性相位的条件应为：)11 (221NkkNNk而且，而且， 必须满足偶对称，即必须满足偶对称，即kNkHHkHreturn四四. 设计步骤设计步骤1.根据指标要求，根据指标要求， 画出频率采样序列的图形；画出频率采样序列的图形；kH2.依据依据 的对称特点，可以使问题得以简化；的对称特点，可以使问题得以简化；3.根据线性相位的约束条件，求出根据线性相位的约束条件，求出 ；4.将将 代入代入FIR的频响表达式；的频响表达式；5.由由 的表达式画出实际的表达式画出实际 频

51、响。频响。kkjkeHkH)(kHreturn四四.设计举例设计举例例例 试用频率采样法，设计一个具有线性相位试用频率采样法，设计一个具有线性相位的低通的低通FIR数字数字filter，其理想频率特性为：，其理想频率特性为：5.0,05.00, 1)(jdeH5 . 0c已知已知 ，采样点，采样点N=33.return由于由于h(n)为偶对称，且为偶对称，且 N=33为奇数，所以为奇数，所以 对于对于是偶对称。所以上图可画一半（到是偶对称。所以上图可画一半（到 ）kH截止频率截止频率5 . 0c，即，即33183316c解解：return相位约束条件：相位约束条件：33/32)11 (kNkk

52、而而 为为kH258 , 03225, 80 , 1kkkHk33/32)(kjjkeeHkHk将将 代入代入FIR的频响，得的频响，得return16320)3316(3332320)21(102/ )33/2sin()2/33sin(3312/ )33/2sin()2/33sin(3312/ )/2sin()2/sin()(1)(jkkjkjkNkNjNkjekkeekeNkNkHNeH考虑到考虑到 时，时， ，所以将负频部分加进去，所以将负频部分加进去258 k有：有：0kH1681)33/2/sin()2/33sin()33/2/sin()2/33sin()2/sin()2/33sin

53、(331)(jkjekkkkeHreturn的图形如下所示：的图形如下所示：)(jeH)(jeH5 . 00returnreturn( )( )( )dapH zHzHz0( )( )( )( )dapdd 全统滤波器作为相位均衡器，校正系统的非线性相位，而不改变系统的幅度特性()()()jjjdapH eHeHe()()()()dapjjjdapHeHee22200( )( )( )apde 利用均方误差最小准则,求均衡器Hap(z)的相位参数，以调解整个数字滤波器的相位是线性的。return相位误差：形状的窗函数截取成有限长的形状的窗函数截取成有限长的 ，以，以 来近似来近似 从而使频响从

54、而使频响 近似理想频响近似理想频响 。 进行等间隔取样，以有限个频响采样去近似理想频响进行等间隔取样，以有限个频响采样去近似理想频响一、设计思想一、设计思想窗函数设计法是从时域出发，把理想的窗函数设计法是从时域出发，把理想的 用一定用一定)(nhd)(nhd)(nh)(nh)(jdeH)(jeH频率取样法是从频域出发，对理想的频响频率取样法是从频域出发，对理想的频响 )(jdeH)(jdeH，即：，即：)()(2kHeHdkNjd等间隔取样等间隔取样并且并且1,.,1 , 0),()(NkkHkHd1101( )( )1NNkkNzH kH zNWz返回返回下页下页 102NjkH eH kk

55、N12sin12( )sin2NjNeN 11(1)20sin21sin2kNNjNjjNkkNNH eeH kekNN返回返回下页下页上页上页二、线性相位的约束条件二、线性相位的约束条件 12NjjH eHe( )(2)HH 2kjkjNkH kH eH ekN kHH1 2112kNkkNN 2kN返回返回下页下页上页上页12()( )NjjH eHe( )(2)HH 2kjkjNkH kH eH ekN kHH 11kkN 2kN返回返回下页下页上页上页三、频率抽样的两种方法三、频率抽样的两种方法返回返回下页下页上页上页 2110,.,22211,.,122NNkkNkNNNkkNN 2

56、10,.,12202211 ,.,122NNkkNNkkNNNkkNN返回返回下页下页上页上页 21221210,.,21,.,12NjkNNjN kNNH k ekH kNH Nk ekN 2122120,.,12021 ,.,12NjkNNjN kNNH k ekNH kkNH Nk ekN返回返回下页下页上页上页12(0) sin2sin2NjjNHH eeN 1sinsin22sinsin22MkkkNNH kNNkkNNN 12NM12NM 返回返回下页下页上页上页*( )(1)H kHNk 又线性相位：12jNe ( )(1)kNk ( )(1)H kH Nk 12N 返回返回下页

57、下页上页上页 2110,.,1222211,.,1222NNkkNkNNNkkNN 21130,.,2221022111,.,1222NNkkNNkkNNNkkNN返回返回下页下页上页上页 21122211220,.,121,.,12NjkNNjN kNNH k ekH kNH Nk ekN 211222112230,.,2112211,.,12NjkNNjN kNNH k ekNNH kHkNH Nk ekN 返回返回下页下页上页上页 121cos22cos2NNNHHN 121021sin221sin22NMjjNkNkH kNH eeHNkN1sin221sin22NkNkN32NM当当

58、N为偶数时：为偶数时： 120NH12NM 返回返回下页下页上页上页220dB 240 54dB 260 75dB 280 95dB 102NjkH eH kkN返回返回下页下页上页上页2 / Nc/N110Int824( )10Int191622ccNNkH kNNk 100cjdHe理想低通频率特性其它按第一种频率抽样方式，N=33，得抽样点返回返回下页下页上页上页816133sin 33sin 33sin233233233sin33sin33sin2233233jjkkkH eekk2 /33返回返回下页下页上页上页4 /33返回返回下页下页上页上页6 /65返回返回下页下页上页上页 10Nj nj ndnnhn eh n e 10Nj nj nddnnhnh nehn e其它jjjdE eHeH e频率响应误差：频率响应误差：实际频响实际频响理想频响理想频响返回返回下页