第1章 矢量分析

1、第第1 1章章 矢量分析矢量分析 矢量代数矢量代数1.1矢量场的散度矢量场的散度1.2矢量场的旋度矢量场的旋度1.3标量场的梯度标量场的梯度1.4亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理1.5常用坐标系常用坐标系 1.6 如果在空间的一个区域中，每一点都如果在空间的一个区域中，每一点都有一个物理量的确定值与之对应，有一个物理量的确定值与之对应， 则在这则在这个区域中就构成了该物理量的场。场的一个区域中就构成了该物理量的场。场的一个重要属性是它占有一个空间，它把物理个重要属性是它占有一个空间，它把物理量用空间和时间的数学函数来描述。量用空间和时间的数学函数来描述。 标量标量场在数学上只用一个代数变量描述，只有场

2、在数学上只用一个代数变量描述，只有大小，没有方向。大小，没有方向。 矢量场不仅需要定出大矢量场不仅需要定出大小，而且需要定出方向。小，而且需要定出方向。 矢量既有大小，又有方向。矢量矢量既有大小，又有方向。矢量 A A 可以表示为可以表示为 A =e A =e A AA A， 其中其中 A A 表示表示矢量矢量 A A 的大小，的大小， e eA A表示矢量表示矢量 A A 的方的方向。向。 A = exAx + eyAy + ezAz (1.1)(1.1) 由式由式(1.1)(1.1)可以看出，一个矢量场对应可以看出，一个矢量场对应三个标量场。三个标量场。 1.1.1 1.1.1 矢量的加法

3、和减法矢量的加法和减法 两个矢量相加，等于两个矢量相应的两个矢量相加，等于两个矢量相应的分量分别相加，它们的和还是一个矢量。分量分别相加，它们的和还是一个矢量。如图如图1.1(b)1.1(b)所示。所示。A+B =ex(Ax+Bx)+ey(Ay+By)+ez(Az+Bz) (1.4) 两个矢量相减，等于两个矢量相应的两个矢量相减，等于两个矢量相应的分量分别相减，它们的差依旧是一个矢量。分量分别相减，它们的差依旧是一个矢量。如图如图1.1(c)所示。所示。A-B=A+(-B)=ex(Ax-Bx)+ey(Ay-By)+ez(Az-Bz) (1.5) 1.1.2 1.1.2 标量与矢量相乘标量与矢量

4、相乘 标量标量k k与矢量与矢量A A相乘，结果是相乘，结果是A A的方向未的方向未变，大小改变了变，大小改变了k k倍，倍， kA=eAkA=exkAx+eykAy+ezkAz (1.6) 1.1.3 矢量的点积矢量的点积 矢量矢量A A与矢量与矢量B B的点积，写成的点积，写成A B A B ，它的结果是一个标量，其大小等于两个矢它的结果是一个标量，其大小等于两个矢量的大小与它们夹角量的大小与它们夹角余弦的乘积，如图余弦的乘积，如图1.21.2所示，表示为所示，表示为 A B = AB cos (1 .7a) AB=AxBx+AyBy+AzBz (1.7b)图图1.2 点积的图示点积的图示

5、 1.1.4 1.1.4 矢量的叉积矢量的叉积 矢量矢量 A A 矢量矢量 B B 的叉积，写成的叉积，写成 A AB B ，它的结果是一个矢量，其大小等于两个矢它的结果是一个矢量，其大小等于两个矢量的大小与它们夹角量的大小与它们夹角正弦的乘积，其方正弦的乘积，其方向垂直于矢量向垂直于矢量 A A 与矢量与矢量 B B 组成的平面组成的平面( (符符合右手螺旋法则合右手螺旋法则) )，如图，如图1.31.3所示，表示为所示，表示为 AB = enAB sin (1.8a) 图图1.3 叉积的图示及右手螺旋叉积的图示及右手螺旋 ex ey ez AB = Ax Ay Az (1.8c)(1.8c

6、) Bx By Az 例例1.1 1.1 已知已知A=ex3+ey4+ez2,B=ex2+ey4+ez7,A=ex3+ey4+ez2,B=ex2+ey4+ez7,求求: :（1 1）A B; (2)AA B; (2)A与与B B的夹角的夹角; (3)A; (3)AB B。解（解（1 1）A B = AxBx+AyBy+AzBz = 32+4+4+27 = 36(2) A B 36cos= = 0.80 A B 32+42+22 22+42+72 (3) ex ey ez AB = Ax Ay Az Bx By Az= ex(4724) + ey(22 37) + ez(34 42)= ex20

7、 ey17 + ez4 1.2.1 1.2.1 矢量场的矢量线矢量场的矢量线 矢量场矢量场A A可以用画图的方式描述，称为可以用画图的方式描述，称为矢量场的矢量线（也叫做力线、流线、通矢量场的矢量线（也叫做力线、流线、通量线等）图。矢量线图上每一点处的切线量线等）图。矢量线图上每一点处的切线应当是该点矢量场的方向，如图应当是该点矢量场的方向，如图1.41.4（a a）所示。所示。图图1.4 1.4 矢量场的矢量线图矢量场的矢量线图 1.2.2 1.2.2 矢量场的通量矢量场的通量 面元矢量面元矢量dS定义为定义为 dS = en dS (1.12)图图1.5 矢量的通量图矢量的通量图 1.2.

8、3 1.2.3 矢量场的散度矢量场的散度 散度的定义散度的定义 设有矢量场设有矢量场A A，在场中任，在场中任一点一点P P处做一个包含该点的闭合面处做一个包含该点的闭合面S S，设闭，设闭合面合面S S所包围的体积为所包围的体积为。当体积。当体积以以任意方式缩向点任意方式缩向点P P时，每单位体积由闭合面时，每单位体积由闭合面S S向外穿出的净通量为矢量场向外穿出的净通量为矢量场A A在该点的散在该点的散度，即度，即 SA dSdivA= lim (1.16) 0 于是得到于是得到A A的散度在直角坐标系中的计的散度在直角坐标系中的计算公式为算公式为 n的取向有两种情形：一种是面元的取向有两

9、种情形：一种是面元dS 为开表面，这个开表面由一条闭合曲线为开表面，这个开表面由一条闭合曲线C围成，选择围成，选择C的环行方向后，按右手螺旋的环行方向后，按右手螺旋法则，螺旋前进的方向为法则，螺旋前进的方向为en的方向；另一的方向；另一种是面元种是面元dS为闭合面上的一个面元，则为闭合面上的一个面元，则en 取闭合面的外法线方向。取闭合面的外法线方向。通量通量=S |A|cosdS=SAdS (1.13)在直角坐标系中，在直角坐标系中，S dS =S(exAx+eyAy+ezAz)(exdSx+eydSy+ezdSz) =S(AxdSx+AydSy+AzdSz)散度的定义：设有矢量场散度的定义

10、：设有矢量场A，在场中任一，在场中任一点点P处作一个包含该点的闭合面处作一个包含该点的闭合面S，设，设闭合面闭合面S所包围的体积为所包围的体积为 。当体积。当体积 以任意方式缩向点以任意方式缩向点P时，每单位体积由时，每单位体积由闭合面闭合面S向外穿出的净通量为矢量场向外穿出的净通量为矢量场A在该点的散度，即在该点的散度，即 1.2.3 1.2.3 矢量场的散度矢量场的散度 (1.16) SS SA AA Adlimdiv0 于是得到于是得到A的散度在直角坐标系中的的散度在直角坐标系中的计算公式为计算公式为 (1.17)zAyAxAzyxA Adiv 为了方便，我们引入一个矢量微分算为了方便，

11、我们引入一个矢量微分算子，称为哈密顿算子，它在直角坐标系表子，称为哈密顿算子，它在直角坐标系表示为示为 (1.18)zyxzyxe ee ee e (1.19)zAyAxAzyxA AA Adiv例例.已知矢量场已知矢量场 求：（求：（1） （2）计算通量。积分区域为闭）计算通量。积分区域为闭合面合面，为一个球心在原点、半径为为一个球心在原点、半径为 的球面。的球面。 zyxzyxe ee ee er rr rA AA ASS SA Ada解解 （1） （2） 的方向与的方向相同，所以有：的方向与的方向相同，所以有： 3zzyyxxzAyAxAzyxA Ar rS Sd34aSaSaSSSSd

12、dddS Sr rS SA A 1.2.4 1.2.4散度定理散度定理 散度定理也称高斯散度定理，表示为散度定理也称高斯散度定理，表示为 (1.20) 式中积分区域式中积分区域 为闭合面为闭合面S所包围的体所包围的体积，并假设积，并假设A及其一阶导数连续。及其一阶导数连续。 ddA AS SA AS例例1.3 1.3 已知已知 现有一个边长为现有一个边长为1 1的单位立方体，它的一的单位立方体，它的一个顶点在原点，如图个顶点在原点，如图1.71.7所示。所示。 zyyxxzyxzyxe ee ee eA A2, 图图1.7 1.7 例例1.31.3图图 求：求：（1）矢量场的散度；）矢量场的散

13、度； （2）计算通量）计算通量 ，积分区域为如，积分区域为如图所示的单位立方体；图所示的单位立方体；（3）验证高斯散度定理。）验证高斯散度定理。 SS SA Ad解解 （1） yxzyzyxyxxzAyAxAzyx32A A （2） A从单位立方体内穿出的通量为从单位立方体内穿出的通量为 分三对面分别计算。分三对面分别计算。SS SA Ad21210010101010 zxxzxdddd 101010101010 zyzydddd21021010101010 yxyxydddd221121SS SA Ad （3） 因此，因此， ，高斯散度定理成立。高斯散度定理成立。23101010 zyxyx

14、ddddA A2SS SA AA Add 1.3.1 1.3.1 矢量场的环流矢量场的环流 设某矢量场设某矢量场A绕着场中某闭合路径绕着场中某闭合路径C的的线积分为线积分为 (1.21)上述线积分称为该矢量场上述线积分称为该矢量场A的环流。的环流。CClAddcoslA A 称为线元矢量，线元矢量既有大小，称为线元矢量，线元矢量既有大小，也有方向。也有方向。 ldzyxzyxdddde ee ee elCzyxzyxCzzyyxxCzAyAxAzyxAAAddddddde ee ee ee ee ee eA Al 1.3.2 1.3.2矢量场的旋度矢量场的旋度 A的旋度，记为的旋度，记为 或或

15、 。 (1.22)式中式中 为矢量为矢量 在面元矢量上在面元矢量上的投影，如图的投影，如图1.8所示。所示。A ArotA AcurlA AA AnrotdlimSCSl0A AnrotA Arot 图图1.8 1.8 在面元上的投影在面元上的投影 A Arot (1.24) 旋度有一个重要的性质，就是它的散旋度有一个重要的性质，就是它的散度恒等于度恒等于0。 (1.25)zyxzyxAAAzyxe ee ee eA AA Arot0A A 1.3.3 1.3.3斯托克斯定理斯托克斯定理 在矢量分析中，除散度定理外，另一在矢量分析中，除散度定理外，另一个重要的定理是斯托克斯定理，即个重要的定理

16、是斯托克斯定理，即 (1.26)式中积分区域面式中积分区域面S的外围线为的外围线为C。 CSlddA AS SA A例例1.4 1.4 已知已知 。现有。现有一个在一个在 面内的闭合路径面内的闭合路径C C，此闭合路，此闭合路径由径由 和和 之间的一段抛物线之间的一段抛物线 和两段平行于坐标轴的直线组成，和两段平行于坐标轴的直线组成，如图如图1.91.9所示。所示。 22,yxxyxyxe ee eA Ayx0 , 02, 2xy2 图图1.9 1.9 例例1.41.4图图 求：求： （1）矢量场的）矢量场的A旋度；旋度； （2）计算环流）计算环流 。积分区域为。积分区域为如图所示的闭合路径如

17、图所示的闭合路径C； （3）验证斯托克斯定理。）验证斯托克斯定理。CldA A解解 （1） 2220yyxxzyxzzyxe ee ee ee eA A （2） yyxxxyxyxxyxyxddddd2222e ee ee ee eA Al21585332322022/5023203203022202202xxyxxxxxyyxxCddddlA A（3）斯托克斯定理成立。斯托克斯定理成立。 21585322205203202220222yyyyyyyxySddddS SA A 标量场是仅用大小就能完全表征的场。标量场是仅用大小就能完全表征的场。为了研究标量场的空间分布和变化规律，为了研究标量场

18、的空间分布和变化规律，引入等值面、梯度和方向导数的概念。引入等值面、梯度和方向导数的概念。 1.4.1 1.4.1标量场的等值面标量场的等值面 等值面就是标量函数等值面就是标量函数 相等的相等的点构成的曲面，如图点构成的曲面，如图1.10（a）所示。等值）所示。等值面画在二维平面上就成为等值线，例如在面画在二维平面上就成为等值线，例如在地图上的等高线就是等值线，如图地图上的等高线就是等值线，如图1.10（b）所示。所示。 zyxu,图图1.101.10标量场图标量场图 1.4.2 1.4.2标量场的梯度标量场的梯度 (1.27)而矢量而矢量 为为 (1.28)称为标量场称为标量场 的梯度，也可

19、用的梯度，也可用 表示。表示。梯度是与等值面垂直的一个矢量，是沿等梯度是与等值面垂直的一个矢量，是沿等值面法向值面法向 的变化率。的变化率。ldduuuzuyuxuuzyxe ee ee euu gradu 为为 沿沿 方向的变化率，称为标量场方向的变化率，称为标量场 沿沿 方向的方向导数。方向的方向导数。 (1.29) luuldullluulue e例例1.5 1.5 已知标量场已知标量场 。求空间一点求空间一点A A（1,0,11,0,1）的梯度和）的梯度和沿方向沿方向 的方向导数。的方向导数。 2/1222,zyxzyxu212zyxe ee ee el解解 由梯度公式由梯度公式(1.

20、28)有有21211 ,0, 12/12222/12222/12221 ,0, 11 ,0, 1zxzyxzyxzyxzzyxyzyxxzuyuxuue ee ee ee ee ee ee ee e方向的单位矢量为方向的单位矢量为 l21231212212222zyxzyxle ee ee ee ee ee ee ell故沿故沿 方向的方向导数为方向的方向导数为l3222123121211 ,0,11 ,0,1 zyxzxlulue ee ee ee ee ee e梯度有一个重要的性质，就是它的旋度恒梯度有一个重要的性质，就是它的旋度恒等于等于0。 (1.30)在直角坐标系中在直角坐标系中 (1.31)0u2222222zuyuxuu 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理 在空间有限区域内有在空间有限区域内有一矢量场一矢量场F F，若已知它的散度、旋度和边界，若已知它的散度、旋度和边界条件，则该矢量场就唯一确定了。换言之，条件，则该矢量场就唯一确定了。换言之，一个矢量场所具有的特性完全由它的散度一个矢量场所具有的特性完全由它的散度和旋度确定。和旋度确定。 如果一个矢量场的旋度为如果一个矢量场的旋度为0 0，则称为无，则称为无旋场；如果一个矢量场的散度为旋场；如果一个矢量场的散度为0 0，