第七章FORECAST

1、F 第一节第一节 预测的概念预测的概念F 定性分析预测法定性分析预测法F 时间序列预测法时间序列预测法F 回归分析预测法回归分析预测法第七章第七章 预测方法预测方法7 Forecasting Theory7 Forecasting TheoryA time series is a sequence of observations of a periodic random variable. Examples are the monthly demand for a product, the annual freshman enrollment in a department of the un

2、iversity and the daily flows in a river. Time series are important for operations research because they are often the drivers of decision models. An inventory model requires estimates of future demands, a course scheduling and staffing model for a university department requires estimates of future s

3、tudent inflow, and a model for providing warnings to the population in a river basin requires estimates of river flows for the immediate future.7.1.1 基本概念基本概念 可以把预测（可以把预测（forecasting）解释为由过去推测未来。预测是为）解释为由过去推测未来。预测是为决策提供作为依据的信息，预测值是对未来数据值的无偏估计，而决策提供作为依据的信息，预测值是对未来数据值的无偏估计，而对未来数据值的主观估计则称为对未来数据值的主观估计则称为

4、“预言预言”。尽管如此，当主观估计。尽管如此，当主观估计确实可靠时，也应该对无偏估计进行修正，因为一个无偏估计值未确实可靠时，也应该对无偏估计进行修正，因为一个无偏估计值未必有效地预测到将来发生的意外事件。必有效地预测到将来发生的意外事件。 要想提高预测的可信性，最重要的条件是掌握足够的能真正反要想提高预测的可信性，最重要的条件是掌握足够的能真正反映事物发展规律的资料、数据、信息等，这是预测的基础和前提。映事物发展规律的资料、数据、信息等，这是预测的基础和前提。 人们对所研究事物的深刻了解，丰富的实践经验，敏锐的观察力和人们对所研究事物的深刻了解，丰富的实践经验，敏锐的观察力和卓越的判断能力对

5、于科学的预测也是非常重要的。卓越的判断能力对于科学的预测也是非常重要的。 自六十年代初以来，工商企业使用预测技术的比例一直在稳步自六十年代初以来，工商企业使用预测技术的比例一直在稳步增长。没有任何一项其它技术得到预测技术这样广泛的应用，这已增长。没有任何一项其它技术得到预测技术这样广泛的应用，这已成为公认的事实。成为公认的事实。 随着预测技术应用的发展，理论学家同时也提供了多种多样可随着预测技术应用的发展，理论学家同时也提供了多种多样可供选择的预测模型。供选择的预测模型。 7.1.2 预测的分类预测的分类按照预测的对象，可把预测分为：按照预测的对象，可把预测分为：1. 社会、经济发展预测社会、

6、经济发展预测如人口增长，社会就业，教育发展等，宏观经济如人口增长，社会就业，教育发展等，宏观经济,如国民经济发展如国民经济发展速度，工业总产值，社会消费水平等；微观经济，主要是企业或速度，工业总产值，社会消费水平等；微观经济，主要是企业或局部经济问题方面的预测。局部经济问题方面的预测。2. 科学技术预测科学技术预测 科学技术发展趋势，可能出现的科技成果，应用范围的预测。科学技术发展趋势，可能出现的科技成果，应用范围的预测。 3. 市场需求预测市场需求预测 是技术经济预测的一个重要方面，主要是预测国内外市场对产是技术经济预测的一个重要方面，主要是预测国内外市场对产品品种、质量和数量的需求，以便决

7、定产品的生产数量、产品的品品种、质量和数量的需求，以便决定产品的生产数量、产品的寿命周期和品种的更新换代等。寿命周期和品种的更新换代等。4. 军事预测军事预测 武器装备发展趋势，未来战争的规模和特点，参战各方的战略武器装备发展趋势，未来战争的规模和特点，参战各方的战略目标和兵力部署，爆发战争的可能性和时间、地区，未来战争的目标和兵力部署，爆发战争的可能性和时间、地区，未来战争的可能结果，给人类或国家带来的影响等方面的预测。可能结果，给人类或国家带来的影响等方面的预测。按照预测的性质，可把预测分为：按照预测的性质，可把预测分为：1. 定性预测定性预测 一般用于数据资料不足，或不完全依靠数据资料的

8、预测，如对技一般用于数据资料不足，或不完全依靠数据资料的预测，如对技术发展和经济发展趋势等宏观题预测，常用方法有专家调查法等。术发展和经济发展趋势等宏观题预测，常用方法有专家调查法等。2. 定量预测定量预测它是建立在历史数据资料基础上的预测，不直接依靠人的主观判它是建立在历史数据资料基础上的预测，不直接依靠人的主观判断，故一般定量预测的结果比定性预测的结果更可靠。定量预测常断，故一般定量预测的结果比定性预测的结果更可靠。定量预测常用的方法有：时间序列法、因果分析法等。用的方法有：时间序列法、因果分析法等。3. 综合预测综合预测它是兼用定性预测和定量预测，以便使预测的结果更全面、更准它是兼用定性

9、预测和定量预测，以便使预测的结果更全面、更准确。因为任何一种方法都有一定的适用范围和局限性。确。因为任何一种方法都有一定的适用范围和局限性。预测按时间的长短分为短期预测、中期预测和长期预测。对于不预测按时间的长短分为短期预测、中期预测和长期预测。对于不同的预测对象，预测期限的划分不一样。一般地，经济预测年内为同的预测对象，预测期限的划分不一样。一般地，经济预测年内为短期；短期；13年为中期；年为中期；35年以上为长期。再比如，能源预测，以常年以上为长期。再比如，能源预测，以常规能源被新能源接替来估计，则规能源被新能源接替来估计，则15年为短期；年为短期；1020年为中期；年为中期；4050年为

10、长期。年为长期。7.2.1 专家调查法专家调查法 预测的准确性主要取决于专家的知识和经验。专家预测法分为预测的准确性主要取决于专家的知识和经验。专家预测法分为个人预测和集体预测。专家的人数根据预测的问题而定。人数过少个人预测和集体预测。专家的人数根据预测的问题而定。人数过少容易片面，人数过多意见不易集中。容易片面，人数过多意见不易集中。1. 专家个人预测专家个人预测 首先向专家们提问，同时提供有关信息。然后由专家们独自分首先向专家们提问，同时提供有关信息。然后由专家们独自分析，不开会讨论；最后把专家们的意见整理归纳，形成预测结论。析，不开会讨论；最后把专家们的意见整理归纳，形成预测结论。 专家

11、个人预测的优点是，能充分发挥专家个人的能力，容易集专家个人预测的优点是，能充分发挥专家个人的能力，容易集中意见。缺点是预测的结果可能出现片面性。中意见。缺点是预测的结果可能出现片面性。2. 专家集体预测专家集体预测 专家们根据提出的预测问题和所提供有关信息，先做准备；然专家们根据提出的预测问题和所提供有关信息，先做准备；然后在会议期间提出自己的预测意见，通过讨论，互相启发和补充，后在会议期间提出自己的预测意见，通过讨论，互相启发和补充，最后经过修正，形成预测结论。最后经过修正，形成预测结论。 优点是，通过讨论，能够集思广益，分析问题比较全面。缺点优点是，通过讨论，能够集思广益，分析问题比较全面

12、。缺点是少数人的正确意见容易受是少数人的正确意见容易受“权威人士权威人士”或多数人意见的影响，降或多数人意见的影响，降低预测的可靠性。低预测的可靠性。7.2.2 德尔菲法德尔菲法 德尔菲（德尔菲（Delphi）法是）法是60年代由美国著名的咨询机构兰德公司年代由美国著名的咨询机构兰德公司所创造的。名称所创造的。名称“德尔菲德尔菲”是以古西腊预言神殿所在地的历史名城是以古西腊预言神殿所在地的历史名城所命名的。它也是一种专家调查方法。所命名的。它也是一种专家调查方法。 这种方法是主持预测的机构给参加预测的专家们发调查表，用这种方法是主持预测的机构给参加预测的专家们发调查表，用书面联系，不开会讨论。

13、根据专家们的初步预测意见，经综合整理书面联系，不开会讨论。根据专家们的初步预测意见，经综合整理，不记名再反馈给各个专家，请专家再次提出意见。如此经过多次，不记名再反馈给各个专家，请专家再次提出意见。如此经过多次反复，将渐趋一致的意见作为预测结论。反复，将渐趋一致的意见作为预测结论。 不记名反馈预测意见不会有约束作用；专家们可根据每次提供不记名反馈预测意见不会有约束作用；专家们可根据每次提供的信息，修正自己的意见。的信息，修正自己的意见。 兼有专家个人预测和专家集体预测的优点，这种方法在国外应兼有专家个人预测和专家集体预测的优点，这种方法在国外应用甚广，效果显著。用甚广，效果显著。 进行预测时，

14、对专家们所提出的预测意见要进行综合归纳和处进行预测时，对专家们所提出的预测意见要进行综合归纳和处理，从而得出预测结论。采用的方法有算术平均法和加权平均法。理，从而得出预测结论。采用的方法有算术平均法和加权平均法。加权平均法的基本原则是，认为各个专家的预测结果的重要性不同加权平均法的基本原则是，认为各个专家的预测结果的重要性不同，不应同等看待，给予不同的权重，因为专家的知识和经验不同。，不应同等看待，给予不同的权重，因为专家的知识和经验不同。 v德尔菲法是在20世纪40年代由赫尔默(Helmer)和戈登(Gordon)首创，1946年，美国兰德公司为避免集体讨论存在的屈从于权威或盲目服从多数的缺

15、陷，首次用这种方法用来进行定性预测，后来该方法被迅速广泛采用。20世纪中期，当美国政府执意发动朝鲜战争的时候，兰德公司又提交了一份预测报告，预告这场战争必败。政府完全没有采纳，结果一败涂地。从此以后，德尔菲法得到广泛认可。v德尔菲是古希腊地名。相传太阳神阿波罗(Apollo)在德尔菲杀死了一条巨蟒，成了德尔菲主人。在德尔菲有座阿波罗神殿，是一个预卜未来的神谕之地，于是人们就借用此名，作为这种方法的名字。德尔菲法最初产生于科技领域，后来逐渐被应用于任何领域的预测，如军事预测、人口预测、医疗保健预测、经营和需求预测、教育预测等。此外，还用来进行评价、决策、管理沟通和规划工作。7.2.3 经济寿命周

16、期法经济寿命周期法 从产品开始投入市场试销时起，到被市场淘汰时止称为产品的从产品开始投入市场试销时起，到被市场淘汰时止称为产品的经济寿命周期。经济寿命周期。 分为试销期，畅销期（或称成长期），饱和期（或称成熟期）分为试销期，畅销期（或称成长期），饱和期（或称成熟期），滞销期（或称衰老期），滞销期（或称衰老期），E点为淘汰终点。点为淘汰终点。 周期曲线说明产品的经济生命由畅销到淘汰的规律，用于对产周期曲线说明产品的经济生命由畅销到淘汰的规律，用于对产品的研制、生产、销售、停产等进行科学的预测和决策。品的研制、生产、销售、停产等进行科学的预测和决策。 产品处于经济寿命周期不同的阶段，应采取不同的生

17、产和销售产品处于经济寿命周期不同的阶段，应采取不同的生产和销售策略。如产品处于策略。如产品处于畅销期畅销期，就要挖掘潜力扩大生产，同时研制新产，就要挖掘潜力扩大生产，同时研制新产品；当产品销售已进入品；当产品销售已进入饱和期饱和期时，就应控制该产品的产量，开始研时，就应控制该产品的产量，开始研制新产品和试销，开辟新市场；当产品销售已进入制新产品和试销，开辟新市场；当产品销售已进入滞销期滞销期时，就要时，就要通过调整销售价格清除存货，减少损失并迅速转产，生产新产品。通过调整销售价格清除存货，减少损失并迅速转产，生产新产品。这样可使新技术不断得到开发和应用，产品不断更新换代，达到不这样可使新技术不

18、断得到开发和应用，产品不断更新换代，达到不断提高经济效益的目的。断提高经济效益的目的。 定性分析预测法定性分析预测法第七章 预测方法0时间经济指标ABCDE图图7-1 产品经济寿命周期产品经济寿命周期 Our primary purpose in this section is to present the equations for three forecasting methods moving average, exponential smoothing, and regression.This simplest forecasting method is the moving aver

19、age forecast. The method simply averages of the last m observations. It is useful for time series with a slowly changing mean. 时间序列预测法，它的基本原理是，从过去按时间顺序排列的时间序列预测法，它的基本原理是，从过去按时间顺序排列的数据中找出事物随时间发展的变化规律，以及推算出演变的趋势。数据中找出事物随时间发展的变化规律，以及推算出演变的趋势。因此，它也叫趋势外推法。它的数学模式是预测目标与时间的函数因此，它也叫趋势外推法。它的数学模式是预测目标与时间的函数关系：

20、关系： y = f (t)式中式中 y 预测目标；预测目标；t 时间。时间。时间序列预测常用的方法有移动平均法和指数平滑法等。时间序列预测常用的方法有移动平均法和指数平滑法等。7.3.1 移动平均法移动平均法(Simple moving average method) 移动平均法数据处理目的是消除短期偶然因素的干扰，平滑数移动平均法数据处理目的是消除短期偶然因素的干扰，平滑数据，借此显示出某一阶段中预测对象的长期发展趋势。据，借此显示出某一阶段中预测对象的长期发展趋势。计算公式：计算公式：式中：式中：ft 第第t期的预测值；期的预测值；xt 第第t期的实际值；期的实际值；n 分段平均中数据的个

21、数。分段平均中数据的个数。)(11211ntttnttiitxxxnxnf7.3.2 指数平滑法指数平滑法(Exponential smoothing method )7.3.2.1 指数平滑预测模型指数平滑预测模型 克服移动平均法需要存储大量数据和等权的缺陷，应用广泛克服移动平均法需要存储大量数据和等权的缺陷，应用广泛 若用一个其值随时间依指数递减的权数序列，此权数序列可若用一个其值随时间依指数递减的权数序列，此权数序列可定义为：定义为： +(1) +(1)2 +(1)3 +(1) n 显然，上式为一个几何级数，当显然，上式为一个几何级数，当0 1，n时，此级数收敛，时，此级数收敛，极限为极

22、限为1。第七章 预测方法可见，此序列不仅接近单位和可见，此序列不仅接近单位和1，且具有随时间递减的权数。，且具有随时间递减的权数。如果我们利用一个指数加权序列，构造一个指数加权平均数如果我们利用一个指数加权序列，构造一个指数加权平均数ut：ut =dt+(1) dt1+(1)2 dt2+(1)3 dt3+ (1)其中其中 dt 第第t期的实际值；期的实际值； ut 第第t期对下一期的预测值。期对下一期的预测值。公式（公式（1）也可写作）也可写作ut =dt+ (1)dt1+(1) dt2+(1)2 dt3+ （2）第七章 预测方法ut =dt+(1) dt1+(1)2 dt2+(1)3 dt3

23、+ (1)ut =dt+ (1)dt1+(1) dt2+(1)2 dt3+ (2)将（将（1）式中的）式中的ut用用ut1代替，把式中每一个下标都减代替，把式中每一个下标都减1则得到则得到ut1=dt1+(1) dt2+(1)2 dt3+(1)3 dt4显见，显见，ut1就是（就是（2）式方括号中的内容。将其代入，则得到）式方括号中的内容。将其代入，则得到指数加权平均的基本方程指数加权平均的基本方程 ut =dt+ (1) ut1 （3）指数平滑法较传统的移动平均法有明显优越之处：指数平滑法较传统的移动平均法有明显优越之处：1. 指数平滑法，权数值随时间递减，而不象移动平均法那样，数指数平滑法

24、，权数值随时间递减，而不象移动平均法那样，数据在某一点被突然截断不用；据在某一点被突然截断不用；2. 只需保留少量数据便可计算出指数加权平均值只需保留少量数据便可计算出指数加权平均值ut。这两个必需。这两个必需的数值是上期的平均值的数值是上期的平均值ut1，以及本期的实际值，以及本期的实际值dt。第七章 预测方法例例 2 用指数平滑法预测，分别取用指数平滑法预测，分别取值为值为0.2和和0.4，以第，以第1期的实际值期的实际值d1作为第作为第1期对第期对第2期的预测值期的预测值u1，即令，即令u1 = d1= 50。 指数平滑法预测结果表指数平滑法预测结果表 表表7-4 实际运量实际运量（万吨

25、）（万吨） 预测值预测值 ut 绝对误差绝对误差dt +1ut = 0.2 = 0.4 = 0.2 = 0.4 d1=50 d2=45 u1= 50.00 50.00 60 49.00 48.00 11.00 12.00 52 51.20 52.80 0.80 0.80 62 51.36 52.48 10.64 9.52 67 53.49 56.29 13.51 10.71 58 56.19 60.57 1.81 2.57 70 56.55 59.54 13.45 10.46 73 59.24 63.73 13.76 9.27 75 61.99 67.44 13.00 7.56 64.60 7

26、0.46 平均绝对误差平均绝对误差 9.75 7.86 工商业预测中使用的典型工商业预测中使用的典型值在值在0.05到到0.3之间，具有相似之间，具有相似灵敏度的移动平均法要求的时间周期数目应满足于下表。灵敏度的移动平均法要求的时间周期数目应满足于下表。 值对应时间周期数值对应时间周期数 表表7-3 n 0.05 39 0.1 19 0.2 9 0.3 67.3.2.2 预测误差（标准差）的简便算法预测误差（标准差）的简便算法 ut =dt+ (1) ut1 （3） 注意到（注意到（dtut1）是本期预测值的误差）是本期预测值的误差et，可将（3）式化成更加简单的形式: ut = ut1 +（

27、dtut1）= ut1 +et 第七章 预测方法 误差的绝对离差均值（MAD，the mean absolute deviation of errors）。绝对离差均值是误差的绝对值的平均数。由公式（3）可知，指数加权平均值ut是平均值的真实形式，因而可用类似计类似计算指数加权平均值的方法算指数加权平均值的方法来求绝对离差均值。 MADt =et+ (1) MADt1 标准差比绝对离差均值稍大一些并与之成正比。不同的统计分布之间比例常数稍有变化，但总是在1.21.3之间取值（对于正态分布为1.2533），因此通常采用折衷值1.25。第七章 预测方法 标准差是对预测精度的基本度量，这是计算它的标

28、准差是对预测精度的基本度量，这是计算它的主要原因（标准差在库存控制中估计安全存储量时也主要原因（标准差在库存控制中估计安全存储量时也曾用到）。对于相对比较短期的预测，可以很有把握曾用到）。对于相对比较短期的预测，可以很有把握地估计未来的数据值将落在预测值两侧加减两倍标准地估计未来的数据值将落在预测值两侧加减两倍标准差的包络线中。我们不能过分强调预测总得伴随标准差的包络线中。我们不能过分强调预测总得伴随标准差给出，但也应看到它的意义。差给出，但也应看到它的意义。第七章 预测方法RegressionThe regression forecast is based on the assumption

29、 of a model consisting of a constant and a linear trend.Using these n observations, we find the linear equation that minimize the sum of squares of the difference of the observations from the fitted line. The values of the indices, xi, are the independent variables for the simple regression. The val

30、ues of the observations, yi, are the dependent variables. The following parameter estimates are based on the least squares normal equations for fitting a linear equation. 7.4.1.1一元线性回归分析模型一元线性回归分析模型 其中：其中： 是因变量，是因变量，x是自变量，是自变量，a是常数（又称截距，是常数（又称截距，intercept），），b是回归系数（又称斜率）。是回归系数（又称斜率）。a，b都是待定参数都是待定参数

31、。例例1 已知某企业最近7年产品销售额，应用回归分析法预测该企业今、明两年的销售额各为多少。 产品销售额表 （单位：万元） 表7-57.4.1 一元线性回归分析一元线性回归分析bxaYxbyaxnxyxnyxbiii,22年序号 1 2 3 4 5 6 7销售额3500400039005000450055006500第七章 预测方法Y 销售额 7000600050004000300020001000 0 1 2 3 4 5 6 7 年份序号x 图7-2销售额y随时间x变化趋势* y = 2900 + 450 x将年份序号8（即今年）、9（明年）分别代入方程，即得 y8 = 2900 + 450

32、 8 = 6500 y9 = 2900 + 450 9 = 6950问题是，预测结果的可靠性如何度量，它的波动范围如何？问题是，预测结果的可靠性如何度量，它的波动范围如何？第七章 预测方法7.4.1.2 回归分析中的偏差回归分析中的偏差要确定一个回归分析的有效性，必须检验由回归解释的偏差与Y的总偏差相比较所占的比例为多少。1. 1 总偏差总偏差一个观测值序列的偏差可由各个观测值与观测均值之差的平方和来度量。因而，Y的总偏差由下式给出 总偏差 = （1）1. 2. 归咎于回归的偏差归咎于回归的偏差归咎于回归的偏差 = 2)( yyi第七章 预测方法2)( yyi1. 3 残差残差 残差 = （2

33、） 残差 =总偏差归咎于回归的偏差 7.4.1.3 相关系数相关系数r和相关性检验和相关性检验 相关系数反映了变量y与x之间线性相关的密切程度。r越接近于1，就说明y与x之间线性相关程度越密切。 判定指标r2（即相关系数的平方）是归咎于回归的偏差相对于总偏差的百分比，即 2)(iiyy 第七章 预测方法nyynxxbiiii/)(/)(22222总偏差归咎于回归的偏差r2 = 相关系数表（95%的置信度） 表7-6观 测 值数 目5 7 9 15 25 35 45 60 80相 关系 数 r0.58 0.52 0.48 0.39 0.310.27 0.23 0.20 0.18第七章 预测方法置

34、信度和置信区间置信度和置信区间 在通过实验研究随机现象时，获得的是总体分布的近似值，所在通过实验研究随机现象时，获得的是总体分布的近似值，所以还要估计出一个以区间的形式给出的范围。并且希望知道该范围以还要估计出一个以区间的形式给出的范围。并且希望知道该范围包含参数真值的可靠程度，这涉及置信度和置信区间的概念。包含参数真值的可靠程度，这涉及置信度和置信区间的概念。 可根据样本观测值计算样本期望值可根据样本观测值计算样本期望值，根据总体分布的概率密，根据总体分布的概率密度函数，可求出度函数，可求出落入任意两个值落入任意两个值t1和和t2之间的概率。对于某一特定之间的概率。对于某一特定概率（概率（1

35、-）若有）若有 p(t1 t2) = （1-） 则称则称t1，t2为为的置信区间，的置信区间， t1，t2为置信上、下限。对应于为置信上、下限。对应于置信区间的特定概率（置信区间的特定概率（1-）称为置信度，）称为置信度， 称为显著性水平。称为显著性水平。 例如，正态分布观测值例如，正态分布观测值95.45%可能落入（可能落入（2）范围内。）范围内。2)(2nyySiiryy和7.4.1.4 预测值置信度检验预测值置信度检验 在回归分析中，置信区间的宽度在样本数据平均值处最小，在回归分析中，置信区间的宽度在样本数据平均值处最小，即精确度最高，随着计算值离开平均值点，置信区间增大。即精确度最高，

36、随着计算值离开平均值点，置信区间增大。为了估计任何具体预测的置信区间，首先必须知道回归的标为了估计任何具体预测的置信区间，首先必须知道回归的标准差准差Sr。回归的标准差定义为实际观测值。回归的标准差定义为实际观测值yi与回归值之差的平与回归值之差的平方均值的平方根。即方均值的平方根。即 ： （注：上式中除数（注：上式中除数n2是由于建立回归方程计算是由于建立回归方程计算 时，时，从理论上失去两个自由度。）从理论上失去两个自由度。）第七章 预测方法建立了回归的标准差建立了回归的标准差Sr的计算式后，预测的标准差的计算式后，预测的标准差 可由下可由下 式给出式给出220)()(11xxxxnSSi

37、ryiiyS 确定了预测的标准差之后，确定了预测的标准差之后，99%、95%和和68%的置信区间分别的置信区间分别 定义为：定义为：3 ，2 和和 。 线性回归分析（趋势分析）不仅产生预测值，而且能检验线性回归分析（趋势分析）不仅产生预测值，而且能检验预测的有效性。预测的有效性。 线性回归技术能够在预测值周围确定一个范围，未来真值线性回归技术能够在预测值周围确定一个范围，未来真值将以一定置信度出现在这个区域内。将以一定置信度出现在这个区域内。 除此而外，回归分析也是更一般的曲线拟合的基础。除此而外，回归分析也是更一般的曲线拟合的基础。 0 yS0 yS0 yS第七章 预测方法7.4.1.5 综

38、合实例综合实例例例 2 地方政府道路建设经费支出预测。地方政府道路建设经费支出预测。 道路建设经费支出基础数据计算表道路建设经费支出基础数据计算表 表表7-7 年序号xi xi2 经费支出yi yi2 xiyi1 1 560 313600 5602 4 608 369664 12163 9 685 496225 20554 16 807 651249 32285 25 839 703921 41956 36 914 835396 5484 7 49 1100 1210000 77008 64 1196 1430416 95689 81 1499 2247001 1349110 100 1574

39、 2477476 1574011 121 1513 2289169 16643xi=66 xi2=506 yi=11295 yi2=12997117 xiyi=79880 解解 （1）求回归方程）求回归方程 首先计算回归方程参数：首先计算回归方程参数：得回归方程：得回归方程：将将x=12代入回归方程，即得今年经费支出的预测值：代入回归方程，即得今年经费支出的预测值：27.36611)66(09.11011295nxbyxbyaiixbxaY09.11027.36609.11066)506(11)11295(66)79880(11)(222 iiiiiixxnyxyxnb 必须注意，所有的回归直

40、线都是穿过均值点的，例中的均值点必须注意，所有的回归直线都是穿过均值点的，例中的均值点为（为（6，1026.81）。）。 35.1687)12(09.11027.3661212bxaY（2）计算偏差）计算偏差 归咎于回归的偏差归咎于回归的偏差 = =110.092(506662/11) =1333179 残差残差 =总偏差归咎于回归的偏差总偏差归咎于回归的偏差 = 13992061333179 =66027 残差也可由公式（残差也可由公式（2）求得）求得（3）相关系数）相关系数r 由由r2 = 得到得到 r = 0.98由于回归系数由于回归系数b为正值，相关系数为正值，相关系数r也为正值。也为正值。139920611/1129512997117)(222nyyii总偏差)(222nxxbii95. 013992061333179总偏差归咎于回归的偏差（4）置信区间）置信区间 回归的标准差回归的标准差 = 85.64由于由于n = 11， = 6，对今年经费支出预测时，对今年经费支出预测时x0 =12，所以，所以预测的标准差预测的标准差 =101.91 由此可以推断，对于今年的预测量的由此可以推断，对于今年的预测量的95%的置信度，可以由的置信度，可以由1687.352（101.91）来定义其置