三进制霍夫曼编码

1、精选优质文档-倾情为你奉上题目：将霍夫曼编码推广至三进制编码，并证明它能产生最优编码。将霍夫曼编码推广至三进制编码 设一个数据文件包含Q个字符：A1，A2，Aq，每个字符出现的频度对应为P：P1，P2，Pq。 1.将字符按频度从大到小顺序排列，记此时的排列为排列1。2.用一个新的符号(设为S1)代替排列1中频度值最小的Q-2k(k为(Q-1)/2取整)个字符，并记其频度值为排列1中最小的Q-2k个频度值相加，再重新按频度从大到小顺序排列字符，记为排列2。(注：若Q-2k=0，则取其值为2，若Q-2k=1，则取其值为3.)3.对排列2重复上述步骤2，直至最后剩下3个概率值。4.从最后一个排列开始

2、编码，根据3个概率大小，分别赋予与3个字符对应的值：0、1、2，如此得到最后一个排列3个频度的一位编码。5.此时的3个频度中有一个频度是由前一个排列的3个相加而来，这3个频度就取它的一位编码后面再延长一位编码，得到二位编码，其它不变。6.如此一直往前，直到排列1所有的频度值都被编码为止。举例说明如下（假设Q=9）：字符A1A2A3A4A5A6A7A8A9频度0.220.180.150.130.100.070.070.050.03字符频度编码频度编码频度编码频度编码A10.2220.2220.3010.480A20.18000.18000.2220.301A30.15020.15010.1800

3、0.222A40.13100.15020.1501A50.10110.13100.1502A60.07120.1011A70.070100.0712A80.05011A90.03012频度中的黑体为前一频度列表中斜体频度相加而得。编码后字符A1A9的码字依次为：2,00,02,10,11,12,010,011,012。构造三进制霍夫曼编码伪码程序如下：HUFFMAN(C)1 n C 2 Q C 3 for i 1 to n-14 do allocate a new node s5 lefts x EXTRACT-MIN(Q)6 middles y EXTRACT-MIN(Q)7 rights

4、z EXTRACT-MIN(Q)8 fs fx+fy+fz9 INSERT(Q，z)10 return EXTRACT-MIN(Q)霍夫曼编码（三进制）最优性证明 在二进制霍夫曼编码中，文件的最优编码由一棵满二叉树表示，树中每个非叶子结点都有两个子结点。在此与之相对应，构造一棵满三叉树来表示三进制的霍夫曼编码，树中每个非叶子结点都有三个子结点。对文件中A中的每个字符a，设f(a)表示a在文件中出现的频度，dT(a)表示字符a的编码长度，亦即a的叶子在树中的深度。这样，编码一个文件所需的位数就是B(T)=f(a)dT(a)设A为一给定文件，其中每个字符都定义有频度fa。设x，y和z是A中具有最低

5、频度的两个字符。并设A'为文件A中移去x，y和z，再加上新的字符s后的文件，亦即A'=A-x,y,zs；如A一样为A'定义f，其中fs=fx+fy+fz。设T'为文件A'上最优前缀编码的任意一棵树，那么，将T'中叶子节点s换成具有x，y和z孩子的内部节点所得到的树T，表示文件A上的一个最优前缀编码。证明：对每一个aA-x,y,z，有dT(a)=dT'(a)，故fadT(a)=fadT'(a)。又dT'(x)=dT'(y)=dT'(z)=dT''(s)+1，从而有：fxdT'(x)+f

6、ydT'(y)+fzdT'(z)=(fx+fy+fz)(dT''(s)+1)=fsdT''(s)+(fx+fy+fz)由此可得：B(T)=B(T')+fx+fy+fz假设T不表示A的最优前缀编码，那么存在一棵树T''，有B(T'')<B(T)。设T'''是由T''中将x，y和z的父亲结点替换为叶子结点s而得，其中频度fs=fx+fy+fz。则有B(T''')=B(T'')-fx-fy-fz<B(T)-fx-fy-fz

7、=B(T')与之前假设的T'表示A'上的最优前缀编码矛盾，故T必定表示文件A上的最优前缀码，证毕。构造三进制霍夫曼编码程序代码及运行结果如下：程序源码：#include <stdio.h>#include <string.h>#include <stdlib.h>int Sorting(int *x,int n)/排序int *a,b,i,j,r=0;a=x;for(j=0;j<n;j+)for(i=0;i<n-j-1;i+)if(*(a+i+1)<=(*(a+i)b=*(a+i);*(a+i)=*(a+i+1);*

8、(a+i+1)=b;if(i=r) r+;return r;char *strcatzp(char *str1,const char *str2)/字符串拼接/ASSERT(str1!=NULL)&&(str2!=NULL);char *addr=(char *)malloc(strlen(str1)+strlen(str2)+1)*sizeof(char);char *des=addr;/ASSERT(addr!=NULL);while(*str1)*addr=*str1;str1+;addr+;while(*str2)*addr=*str2;str2+;addr+;*add

9、r='0'return des;void main(void)char character100=""char *code100=""char *temp=NULL;char InputChar;float Input_p;int p100100=0;int count=6,i,j,m,tc=0;int *k;int i_charinput=0,i_pinput=1;/数据输入printf("请输入字符，按Enter键结束输入:n");InputChar = getchar(); while(InputChar!=&#

10、39;n')/*约定一个结束符为-1*/ if (InputChar!=' ')characteri_charinput+=InputChar; InputChar = getchar(); printf("请输入相应字符出现的频率，按0+Enter键结束输入:n");scanf("%f", &Input_p);while(Input_p!=0) p0i_pinput+= (int)(Input_p* 1000.0+1)/10); scanf("%f", &Input_p); if(i_char

11、input!=(i_pinput-1)printf("输入字符与频率个数不相等，请确认后重新输入n");return;count = i_charinput;k=&p01;for(j=0;j<count;j+)for(i=0;i<count-j-1;i+)if(*(k+i+1)<=(*(k+i)m=*(k+i);*(k+i)=*(k+i+1);*(k+i+1)=m;InputChar=characteri;characteri=characteri+1;characteri+1=InputChar;/for test/*for(i=1;i<1

12、0;i+)printf("%d ",p0i);*/Sorting(&p01,count);if(count%2 != 0)tc=(count-3)/2;for(i=1;i<=tc;i+)pi1=pi-11+pi-12+pi-13;for(j=2;j<count-2*i+1;j+)pij=pi-1j+2;pi0=1+Sorting(&pi1,count-2*i);code0="2"code1="1"code2="0"for(i=tc;i>0;i-)temp=codepi0-1;for

13、(j=count-2*i-1;j>=0;j-)if(j>pi0-1)codej+2=codej;else if(j<pi0-1)codej+3=codej;code0=strcatzp(temp,"2");code1=strcatzp(temp,"1");code2=strcatzp(temp,"0");printf("字符编码为:n");for(i=0;i<count;i+)printf("%c->%sn",characteri,codei);printf(&qu

14、ot;n");/for test/*for(i=0;i<(count-1)/2;i+)for(j=0;j<1+count-2*i;j+)printf("%d ",pij);printf("n");*/elsetc=(count+2)/2;for(i=1;i<=tc;i+)pi1=pi-11+pi-12;for(j=2;j<count-i+1;j+)pij=pi-1j+1;pi0=1+Sorting(&pi1,count-i);code0="2"code1="1"code2="0"for(i=tc;i>0;i-)temp=codepi0-1;for(j=count-i-1;j>=0;j-)if(j>pi0-1)codej+1=codej;else if(j<pi0-1)codej+2=codej;code0=strcatzp(temp,"1");code1=strcatzp(temp,"0");pri