第8章z变换、离散时间系统的z变换分析

1、1. z变换的定义、收敛域及基本性质变换的定义、收敛域及基本性质2. z反变换的求解方法反变换的求解方法(部分分式展开法部分分式展开法)3. 利用利用z变换求解差分方程变换求解差分方程4. z变换与拉普拉斯变换关系变换与拉普拉斯变换关系5. 离散系统函数与稳定性离散系统函数与稳定性 6. 离散时间傅里叶变换离散时间傅里叶变换 及性质及性质l 重点重点: :第第8章章 z变换、离散时间系统的变换、离散时间系统的z域分析域分析8.1 引言引言一、一、 离散时间信号与系统的变换域分析离散时间信号与系统的变换域分析z = e j有条件有条件z变换变换 X(z)利用离散系统函数利用离散系统函数H(z)分

2、析系统分析系统利用利用z变换求解离散系统的响应变换求解离散系统的响应序列的傅里叶变换序列的傅里叶变换X(e j)分析序列的频率特性分析序列的频率特性分析离散系统的频率响应特性分析离散系统的频率响应特性对上式取双边拉氏变换，得到对上式取双边拉氏变换，得到 抽样间隔抽样间隔二二、 抽样信号抽样信号xs(t)的拉氏变换的拉氏变换z变换变换0)()()()()(nTsnTtnTxttxtx理想抽样：理想抽样：单边单边x(t) = x(t)u(t)nTnTtt)()(式中：dtenTtnTxdtetxsXstnstss 000)()()()(nnsznxzXsX0)()()( 交换运算次序，交换运算次序

3、， 并利用冲激函数的并利用冲激函数的抽样性，得到抽样信号的拉氏变换为抽样性，得到抽样信号的拉氏变换为snTnstnsenTxdtenTtnTxsX000)()()()(令令e sT = z 或或 z为复数变量（为复数变量（s = + j）zTsln1则有则有nnsznTxsX0)()(T=1(归一化归一化)单边单边z变换变换相函数相函数原函数原函数8.2 z变换定义、典型序列的变换定义、典型序列的z变换变换一、一、 Z变换的定义变换的定义单边定义为：单边定义为：nnznxnxZzX0)()()(双边定义为：双边定义为：nnznxnxZzX)()()(其中：其中：z 复变量复变量 z = e s

4、T ， s = + j（拉氏变换（拉氏变换z变换）变换）重点重点 z = e ( + j)T = e T + jT = e T e jT令令 |z| = e T ， T = ，则有，则有z = |z| e j其中：其中：模拟角频率模拟角频率, 数字频率数字频率, T抽样间隔抽样间隔二、二、 典型序列的典型序列的z变换变换 1. 单位样值序列单位样值序列(n) 1(0)( )0(0)nnn 0 ( )( )1nnZnn z 1( )n 收敛域收敛域为为Z平面平面 100111- ( )( )nnnnzZ u nu n zzzz收敛域收敛域为为 z 12. 单位阶跃序列单位阶跃序列u(n) 100

5、0 ()( ) ()nu nn 3. 3. 斜变序列斜变序列 0)()(nnnznxZzX)()(nunnx间接求间接求解方法解方法已知已知) 1|(|1110zzznn两边对两边对(z -1)求导求导2101111)(zznnn两边乘两边乘(z -1)22110) 1(1zzzznznn) 1|(|) 1()(2zzznunZ同理，两边再求导，得同理，两边再求导，得) 1|(|) 1() 1()(32zzzznunZ) 1|(|) 1() 14()(423zzzzznunZ4. 4. 指数序列指数序列 ( )( )nx na u n 0( )nnnnzZ a u na zza 收敛域为收敛域

6、为 z a 求导求导11 22( )(1)()nazazZ na u nazza23()( )()naz zaZ n a u nza5. 单边正、余弦序列单边正、余弦序列e( )| |e |bnbbzu nzze由由0000jjjje( )e( )eennzzZu nZu nzz故故00jje( )enzZu nz 00jje( )enzZu nz 0jb 0jb 00000020121221jjjjcos() ( )(ee) ( )(cos)coseennn u nu nz zzzzzzz 根据欧拉公式根据欧拉公式 0000jj00jj201sin() ( )(ee) ( )2jsin12j

7、ee2 cos1nnn u nu nzzzzzzz- -1. 单边单边z变换变换其幂级数收敛的条件可表示为：其幂级数收敛的条件可表示为： 0( )nnf n z （绝对可和条件）（绝对可和条件）z变换存在的充要条件变换存在的充要条件0( )00nanf nn例例解解根据根据Z变换定义，有变换定义，有-1000( )( )()nnnnnnnF zf n za zaz8.3 z变换的收敛域（变换的收敛域（ROC ）收敛条件收敛条件0( )nnf n z 根据等比级数的求和公式，有根据等比级数的求和公式，有 11( )1zF zazza 只有当只有当 ， 即即 （圆外区域）（圆外区域）该无穷级数绝对

8、收敛。即级数收敛的充要条件：该无穷级数绝对收敛。即级数收敛的充要条件：11az za 单边单边z变换的收敛域总是变换的收敛域总是z平面内以原点为圆心平面内以原点为圆心的一个圆的圆外区域。的一个圆的圆外区域。一般不注其收敛域。一般不注其收敛域。！111001( )()()nnnnnnnnnnF za zb zazb z 2. 双边双边Z变换变换分分析析若若 ，则收敛域为，则收敛域为Z平面内圆心在原点、平面内圆心在原点、外半径为外半径为 、内半径为、内半径为 的一个圆环区域；否的一个圆环区域；否则无收敛域，则无收敛域，Z变换不存在。变换不存在。 | |ab|a|b| | |azb Z变换的收敛域为

9、变换的收敛域为同一个双边同一个双边Z变换的表达式，其收敛域不同，也可能变换的表达式，其收敛域不同，也可能对应于两个不同的序列。双边对应于两个不同的序列。双边Z变换式必须注明其收变换式必须注明其收敛域，否则可能无法确定其对应的时间序列。敛域，否则可能无法确定其对应的时间序列。！自习：自习：P49,(8-17)和和(8-18)两式两式1、留数法、留数法2、长除法、长除法3、部分分式展开法、部分分式展开法（重点）（重点）8.4 逆逆z变换变换由已知由已知F(z)求求f(n)的运算，称为逆的运算，称为逆Z变换。变换。定义：定义：1-( )( )f nZF z z记为记为 求逆变换方法求逆变换方法一、围

10、线积分法一、围线积分法( (留数法留数法) ) 式中，式中，C是包围是包围 所有极点的逆时针闭合积所有极点的逆时针闭合积分路线，常选择分路线，常选择z平面收敛域以原点为中心的圆。平面收敛域以原点为中心的圆。1( )nF z z据单边据单边Z反变换的积分公式，反变换的积分公式，有有 因围线因围线C包围了所有孤立奇点包围了所有孤立奇点(极点极点)，故此积分式可运，故此积分式可运用留数定理来进行运算。又称为用留数定理来进行运算。又称为留数法留数法，即，即1( )Res( )mnzpmf nF z z zzzFnfCnd)(j21)(1 略！略！120012-( )( )( )( )( )nnF zf

11、 n zffzfz 一般为变量一般为变量z的有理分式，可用长除法，的有理分式，可用长除法，将变换式展开为幂级数的形式。将变换式展开为幂级数的形式。 ！二、幂级数展开法（长除法）二、幂级数展开法（长除法） 略！略！221( )24zF zzz-1234232321123123z0341( )24124243436124612zzzzF zzzzzzzzzzzzzz 134234481662016zzzzzz进行长除进行长除例例解解134( )34F zzzz12( )(0)(1)(2)F zffzfz(0)0,(1)1,(2)0,(3)3,(4)4,fffff 所以所以根据根据Z变换定义有变换定

12、义有 略！略！三、部分分式展开法三、部分分式展开法 一般一般Z变换式是有理函数变换式是有理函数 重点！重点！kkkkrrrrzazazaazbzbzbbzDzNzX11101110)()()(以下研究因果序列的以下研究因果序列的逆变换，即逆变换，即 X(z) Z x(n) （|z|R） （因果序列）（因果序列）为了保证为了保证z = 处收敛，要求处收敛，要求k r1、X(z)只含一阶极点只含一阶极点将将X(z) / z展为展为KmmmzzAzzX0)(即即0)(00100zzzzzAAzzzAzXmmKmmmKmmm其中：式中式中mzzmmzzXzzA)(0000)(abzXAz反变换为反变换

13、为)(|1nuzAzzzAnmmzzzmmm)(001nAAz( )( )nx na u n |;)(azazzzX例题例题2|231)(22zzzzzzX求求x(n) = ?解解)2)(1(1)(2zzzzzX极点：极点：z1 = -1， z2 = -221)(210zzAzzAAzX21)(00zzXA1)2)(1(1) 1(121zzzzzzzA23)2)(1(1)2(222zzzzzzzA223121)(zzzzzX)()2(23)() 1()(21)(nununnxnn2、X(z)含有重阶极点含有重阶极点设设X(z)有有M个一阶极点，在个一阶极点，在z = zi处有一个处有一个s阶极

14、点阶极点即即sjjijMmmmzzzBzzzAAzX110)(其中其中izzsijsjsjzzXzzdzdjsB)()!(1反变换为反变换为 )()!1()2() 1(11nuzjjnnnzzzjnizji分子，当分子，当j2，从最后一项，从最后一项(n-j+2)一直递增乘到一直递增乘到n例例22112)()()(iijjijzzzBzzzBzzzBs = 2，izzizzXzzdzdB)()!12(121izzizzXzzB)()!22(122 )(1nuzBni )(12nuznBni例题例题4|)2)(4(402)(33zzzzzzX求求x(n) = ?解解3322110)2()2()2

15、(4)(zzBzzBzzBzzAAzX0)(00zzXA1)2(402)()4(4331zzzzzzzXzA14402)!13(122221zzzdzdB44402)!23(1222zzzdzdB164402223zzzB32)2(16)2(424)(zzzzzzzzzX)(2122)()2)(1(2)2(2)2()4()(2nunnunnnnxnnnnnn)()2(22)!12()22(4)2(41221nunnzznnz)()2)(1(22)!13()23(16)2(161331nunnnnzznnz见见P6061，表，表8-2、8-3、8-4（逆（逆z变换表）变换表）作业：作业：P103

16、，8-5 （1）（）（2）8.5 z变换的基本性质变换的基本性质若若 x(n) X(z) Rx1 |z| Rx2 y(n) Y(z) Ry1 |z| Ry2则则 ax(n) + by(n) aX(z) + bY(z) max(Rx1,Ry1) |z| a全平面收敛全平面收敛一、线性一、线性二、移位性（重要！重点右移位）二、移位性（重要！重点右移位）1、双边、双边z变换变换 若若 x(n) X(z) 则则x(n - m) z -mX(z)x(n + m) z mX(z)2、单边、单边z变换变换 x(n)为双边序列，其单边为双边序列，其单边z变换为变换为若若 x(n)u(n) X(z) 则则x(n

17、 - m)u(n) z m X(z) +1)(mkkzkxx(n + m)u(n) z m X(z) -10)(mkkzkx x(n)为因果序列，其单边为因果序列，其单边z变换为变换为则则x(n - m)u(n) z m X(z) x(n + m)u(n) z m X(z) -10)(mkkzkx自习自习P64，例，例8-8四、序列指数加权（四、序列指数加权（z域尺度变换）域尺度变换）( )( )nza f nFa( )( )f nF z若若 三、序列线性加权（三、序列线性加权（z域微分）域微分）d ( )( )dF znf nzz ( )( )f nF z若若 五、初值定理五、初值定理且且x

18、(n)为因果序列，则为因果序列，则( )( )f nF z若若 )(lim)0(zFfz七、时域卷积定理七、时域卷积定理1212( )( )( )( )f nfnF zF z若若 1122( )( ),( )( )f nF zfnF z六、终值定理六、终值定理1( )lim(1) ( )zfzF z 且且x(n)为因果序列，则为因果序列，则( )( )f nF z若若 由拉氏变换由拉氏变换F(s)求单边求单边z变换变换F(z) 推导结果如下推导结果如下8.6 z变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系( )( )ReseisTis szF sF zz可应用留数定理来计算：可应用留数定理来计算：

19、 jjsnTjjnTtstdsesFjnfdsesFjtf)(21)()(21)(010)(21)(21)(nnsTjjnnjjsnTzedssFjzdsesFjzFjjsTjjsTdsezszFjdszesFjzF)(211)(21)(1 Z变换与拉氏变换变量关系为变换与拉氏变换变量关系为 z = e sT ；(s =+ j)即：即：z = eT e jT = eT e j = |z|e j其中：其中：|z| = eT ; = Ts平面和平面和z平面映射关系：平面映射关系： z = e sT =|z|e j ；(s =+ j)1、( = 0， = -+)映射至映射至(|z| = 1， = -

20、+)即：即： s平面虚轴平面虚轴 “j” 映射至映射至z平面单位圆平面单位圆 “z = e j” 2、( 0， = -+)映射至映射至(|z| 0， = -+)映射至映射至(|z| 1， = -+)即：即： s平面平面 “右半平面右半平面” 映射至映射至z平面平面 “单位圆外单位圆外” 4、 z平面到平面到s平面映射为多值对应关系平面映射为多值对应关系即即z平面的平面的旋转一周对应旋转一周对应s平面宽度为平面宽度为2/T的一水平条区域的一水平条区域8.7 利用利用z变换解差分方程变换解差分方程对于对于N阶阶LTI离散系统的差分方程离散系统的差分方程: 输入信号输入信号输出信号输出信号初始条件初

21、始条件（已知）（已知）MrrNkkrnxbknya00)()(x(n)为因果序列为因果序列有有MrrrNkkllkkzXzbzlyzYza001)()()(零输入响应零输入响应（x(n)=0），即仅由系统初始储能引起的，即仅由系统初始储能引起的响应。有响应。有 6.5.1 零输入响应零输入响应 1( )( )ziziynZYz反反z变换变换零输入响应零输入响应0)()(01NkkllzikkzlyzYzaNkkkNkkllkkzizazlyzazY001)()(激励激励x(n)=0，是零输入响应。对方程两边取，是零输入响应。对方程两边取Z变换变换 ，1( )( )( 1)0Y zb z Y z

22、y解解例例x(n)=0，y(-1)=-1/b，求，求y(n)( )( )ny nb u n 进行进行Z反变换，得：反变换，得： y(n) - - by(n - - 1) = x(n)y(n - m)u(n) z m Y(z) +1)(mkkzky用到的性质：用到的性质：代入初始条件，得：代入初始条件，得： 11( )1Y zbz01)()(1bzYzbzY 零状态响应是仅由激励引起的响应。零状态响应是仅由激励引起的响应。当激励当激励x(n)是因是因果序列时，且初始条件为零果序列时，且初始条件为零（y(l)=0），有，有 6.5.2 零状态响应零状态响应MrrrNkzskkzXzbzYza00)

23、()(零状态响应为：零状态响应为： NkkkMrrrzszazXzbzY00)()(令令 系统（传输）函数系统（传输）函数NkkkMrrrzszazbzXzYzH00)()()( )( )( )zsYzH z X z11( )( )( )( )zszsynZYzZH z X z 反反z变换变换例例 已知已知 y(n) - by(n - 1) = x(n)，x(n) = an u(n) , y(-1) = 0 求求 y(n)解解因为因为y(-1)=0， 是零状态响应。是零状态响应。对方程两边取对方程两边取Z变换，得变换，得 1( )( )( )Y zbz Y zX z11( )( )1Y zX

24、zbz111111( )( )1111 ()Y zX zbzbzazzzazbzzb zaab zazb111( )() ( )nny nabu nab所以所以反反z变换变换11( )1X zaz又又 x(n)=anu(n)6.5.3 全响应全响应 当系统既有输入又有初始条件时，其响应为全响应。当系统既有输入又有初始条件时，其响应为全响应。NkkkNkkllkkNkkkMrrrzizszazlyzazazXzbZnynyny001001)()()()()(全响应为：全响应为：, ( )( ),nx na u n例例y(0)=0，求，求y(n)已知已知 。 将将n=0代入原方程迭代，得代入原方程

25、迭代，得 y(0)-by(n-1)=x(0)=1 y(-1)=-1/b将方程两边取将方程两边取Z变换：变换：Y(z) - bz-1Y(z)+y(-1)=X(z) 解解11( )1X zaz( )() ( )nnay nab u nab反反z变换变换y(n) by(n-1) = x(n)bzzazzbaabzazazbzazbzbzzXzY)(11111111)()(1111线性时不变离散系统，定义系统函数为线性时不变离散系统，定义系统函数为( )( )( )Y zH zF z6.6.1 离散系统函数离散系统函数N阶线性时不变离散系统的差分方程一般形式为：阶线性时不变离散系统的差分方程一般形式为

26、： 定义：定义：输入输入零状态输出零状态输出8.8 离散系统的系统函数离散系统的系统函数MrrNmmrnfbmnya00)()(NmmMrrNmmmMrrrpzzzHzazbzFzYzH11000)()()()()(00( )( )NMmrmrmrY za zF zb z当输入为因果信号时，在零状态下，对上式取当输入为因果信号时，在零状态下，对上式取Z变变换，得换，得系统函数仅取决于系统的差分方程，系统函数仅取决于系统的差分方程，而与激励和响应的形式无关。而与激励和响应的形式无关。！有理分式有理分式零点零点极点极点常系数常系数若离散系统函数是有理函数，则分子、分母多项式都可若离散系统函数是有理

27、函数，则分子、分母多项式都可分解为因子形式（分别表示的零点和极点的位置）。分解为因子形式（分别表示的零点和极点的位置）。 利用部分分式展开，得利用部分分式展开，得6.6.2 H(z) 的零、极点分布对系统特性的影响的零、极点分布对系统特性的影响10011( )( )()( )()NNnmmmmmmA zh nZAAnApu nzpH(z)的极点决定函数的形式，零点只影响其幅度与相位。的极点决定函数的形式，零点只影响其幅度与相位。01( )()NmmmA zH zAzp（1）当）当 时，时， 恒为正值，有恒为正值，有( )h n1( )1( )1( )mmmph kph kph k递减恒定递增0

28、mp （2）当）当 时，时， 正负交替变化，变化趋势正负交替变化，变化趋势 与与 时的情况相同；时的情况相同；( )h n0mp 0mp （3）当）当 为复数时，一对共轭复数极点对应于为复数时，一对共轭复数极点对应于 的一项振幅按的一项振幅按 规律变化的正弦项。规律变化的正弦项。mp( )h knmp当当pm为实数时为实数时(设为单极点设为单极点)：( )h n( )h n( )h n( )h n H(z)的极点与h(n)模式的示意图模式的示意图 1.离散稳定系统定义离散稳定系统定义 系统完全响应由零输入响应和零状态响应组成。应系统完全响应由零输入响应和零状态响应组成。应 分别判别零输入响应、

29、零状态响应是否稳定来综合确定。分别判别零输入响应、零状态响应是否稳定来综合确定。 6.6.3 离散系统的稳定性离散系统的稳定性 zilim( )0nynl零输入响应稳定零输入响应稳定指由系统任意初始储能所引指由系统任意初始储能所引起的响应随着起的响应随着n的增加而逐的增加而逐渐衰减到零。渐衰减到零。即即指初始不储能的系统，在任指初始不储能的系统，在任一有界激励下，其零状态响一有界激励下，其零状态响应都是有界的。应都是有界的。（系统的渐近稳定）（系统的渐近稳定）l零状态响应稳定零状态响应稳定（BIBO:有界输入有界输出有界输入有界输出） 连续时间系统的稳定条件是连续时间系统的稳定条件是H(s)的

30、极点均位于的极点均位于s左半平面，而离散时间系统的稳定条件是系左半平面，而离散时间系统的稳定条件是系统函数的极点均位于统函数的极点均位于z平面的单位圆内，二者平面的单位圆内，二者符合映射关系。符合映射关系。！（1）当）当H(z)极点全部位于极点全部位于z平面单位圆内时，平面单位圆内时，离散系统稳定；离散系统稳定；（2）H(z)含有单位圆单极点，其余极点位含有单位圆单极点，其余极点位于单位圆内时，离散系统临界稳定；于单位圆内时，离散系统临界稳定；（3）H(z)含有单位圆外或单位圆上重极点含有单位圆外或单位圆上重极点时，离散系统不稳定。时，离散系统不稳定。 离离散散系系统统稳稳定定性性情情况况2.

31、 离散系统稳定性准则离散系统稳定性准则 将分母将分母A(z)的系数列成表（的系数列成表（ Jury排列排列），来判），来判断断H(z)的极点位置。如下表：的极点位置。如下表：( )( )( )B zH zA z121210( )nnnnnnA za zazaza za朱里判据：朱里判据：设设n阶离散时间系统的系统函数为阶离散时间系统的系统函数为e2e1e02n-3d0d1d2d32n-4d3d2d1d02n-5c0cn-4cn-3cn-26cn-2c2c1c05b0b1bn-3bn-2bn-14bn-1bn-2b2b1b03a0a1a2an-2an-1an2anan-1an-2a2a1a01z

32、nzn-1zn-2z2z1z0行行朱里排列表朱里排列表 朱里排列共有朱里排列共有(2n-3)行。第行。第1行为行为A(z)的各项系数，从的各项系数，从到依次排列；第到依次排列；第2行是第行是第1行的倒排。若系数中某项为行的倒排。若系数中某项为零，则用零替补。零，则用零替补。 第第3行和第行和第4行的系数为行的系数为： 00,0,1,2,1n iiin inniaaba aaainaa第第5行和第行和第6行的系数为：行的系数为：010111,0,1,2,2niiin innibbcb bbbinbb 将朱里表计算出来后，根据朱将朱里表计算出来后，根据朱里判据，当且仅当左边全部条件里判据，当且仅当

33、左边全部条件满足时，系统才是稳定的。满足时，系统才是稳定的。系数为持续该过程一直到（系数为持续该过程一直到（2n-3）行，该行最后一）行，该行最后一个元素为个元素为 ： 2e012021332dded dd ddd10010202(1)( )0( 1)( 1)0znnnnAA zAaabbdcee2323( )121671zzH zzzz，判断稳定性。，判断稳定性。32( )121671A zzzz其中其中00 03 3( 1) ( 1) 12 12143ba aa a 10 12 3( 1) 7 ( 16) 12 185ba aa a 2021 3( 1) ( 16) 7 1268ba aa

34、a 例例解解3(1)20,( 1)( 1)360AA3002121,14368aabb对朱里排列对朱里排列-1 7 -16 1212 -16 7 -1 根据朱里判据，该系统是稳定的。根据朱里判据，该系统是稳定的。 8.9 序列的傅里叶变换序列的傅里叶变换6.7.1 离散时间傅里叶变换（离散时间傅里叶变换（DTFT） 连续信号在虚轴上的拉氏变换，是信号的傅氏变换，连续信号在虚轴上的拉氏变换，是信号的傅氏变换，描述的是信号频谱。类似的，离散序列在单位圆上的描述的是信号频谱。类似的，离散序列在单位圆上的Z变换，是序列的傅氏变换，表示序列的频谱函数。变换，是序列的傅氏变换，表示序列的频谱函数。jjje

35、(e )( )|( )enznFF zf n周期周期22反反z变换变换cndzzzFjnf1)(21)(将将 代入代入Z反变换公式，得其反变换为反变换公式，得其反变换为jez deeFdjeeeeFjedeeeFjdzzzFjnfjnjzjjjnjzjjjnjzn)(21)(21)()(21)(21)(1|1|1|1jj频率响应在频率响应在s与与z 平面上的取值轨迹如下图：平面上的取值轨迹如下图： 的复数函数的复数函数jjj ()(e) |(e)|eFF ！ 表示表示 的频域特性，也称为的频域特性，也称为 的频谱。其中的频谱。其中 为振幅谱，为振幅谱， 为相位谱，都是为相位谱，都是 的连续函数

36、。的连续函数。( ) ( )f n( )f nj|(e)|Fj(e)F表示为表示为jjDTFT ( )(e )( )ennf kFf kjjj1IDTFT (e)( )(e)ed2nFf nF( )f n( )f n6.7.2 序列傅里叶变换的性质序列傅里叶变换的性质1. 线性线性jj1122( )(e ), ( )(e )f nFfnFjj1212( )( )(e)(e)af nbfnaFbF2. 序列的位移序列的位移0jj0()e(e )nf nnF若若则则 若若则则 j( )(e)f nF3. 频域的位移频域的位移则则 j( )(e)f nF00jj()e( )enf nF 4. 频域微

37、分频域微分jd( )j(e )dnf nF5. 时域卷积定理时域卷积定理jj( )(e ), ( )(e )x nXy nY若若j( )(e)f nF则则 则则 若若若若jj( )( )(e ) (e )x ny nXY6. 频域卷积定理频域卷积定理jj( )(e ), ( )(e )x nXy nYjjjj()11( ) ( )(e )(e )(e ) (e)d22x n y nXYXY 7. 帕斯瓦尔定理帕斯瓦尔定理 j( )(e)f nF2j21|( )|(e )| d2nf nF则则 若若则则 若若1. 离散系统对正弦序列的响离散系统对正弦序列的响应应对于稳定因果离散系统，系统函数为对

38、于稳定因果离散系统，系统函数为 H(z)， 设输入正弦序列为：设输入正弦序列为：( )sin() ( )f nAnu nn 2jjsinsin( )2 cos1(e)(e)AzAzF zzzzz12jjjj1sin( )( )(e )(e)eeMmmmA zK zK zAzY zH zzzzzzz则系统响应的则系统响应的Z变换为变换为z变换变换8.10 离散时间系统的频率响应特性离散时间系统的频率响应特性jj()jj()j( )|(e )|e|(e )|e2j|(e )|sin()nnAy nHHA Hn 若离散系统的系统函数的收敛域包含单位若离散系统的系统函数的收敛域包含单位圆圆(极点全部在

39、单位圆内极点全部在单位圆内)，则系统对正弦序列的，则系统对正弦序列的响应仍为同频率的正弦序列，称为正弦稳态响响应仍为同频率的正弦序列，称为正弦稳态响应。当输入正弦序列的频率变化时，正弦序列应。当输入正弦序列的频率变化时，正弦序列响应的振幅和初相位的变化完全取决于响应的振幅和初相位的变化完全取决于 。因此，因此， 表征了系统的频率特性。表征了系统的频率特性。j(e )Hj(e )H结论结论2. 离散时间系统频率响应的性质离散时间系统频率响应的性质由于由于 是周期函数，所以是周期函数，所以离散时间系统频率响应也是离散时间系统频率响应也是周期函数，周期函数，其周期为其周期为2。 je（1）周期性质）

40、周期性质（2）对称性质）对称性质（这是与连续时间系统不同的地方）（这是与连续时间系统不同的地方） 当单位函数响应当单位函数响应h(k)为实序列为实序列时，其幅频特性是时，其幅频特性是 的偶函的偶函数，相频特性是数，相频特性是 的奇函数。的奇函数。 （这是与连续时间系统相同的地方）（这是与连续时间系统相同的地方） 6.7.4 频率特性的几何确定频率特性的几何确定 离散系统的频率特性类似连续系统，可以利用离散系统的频率特性类似连续系统，可以利用系统函数系统函数H(z)的零、极点，通过几何方法，可大致地的零、极点，通过几何方法，可大致地绘出离散系统频响图，该方法简便直观。绘出离散系统频响图，该方法简

41、便直观。11()( )()MrrNmmzzH zzpjjjj ()1j1(e)(e)(e) e(ep )MrrNmmzHH 已知稳定系统的系统函数为已知稳定系统的系统函数为 jjjjeA eeB ermrrmkzp令令 j11(e)MrrNmmAHB幅频特性幅频特性 11MNrmrm 相频特性相频特性6.8 离散系统的模拟与信号流图离散系统的模拟与信号流图6.8.1 离散系统的方框图表示离散系统的方框图表示 与连续系统的方框图类似，几个离散系统的串联、与连续系统的方框图类似，几个离散系统的串联、并联或串并混合连接组成的复合系统，可表示一个并联或串并混合连接组成的复合系统，可表示一个复杂的离散系

42、统。此外，一个离散系统可由基本单复杂的离散系统。此外，一个离散系统可由基本单元加法器、数乘器、单位延迟器的连接表示。元加法器、数乘器、单位延迟器的连接表示。 1. 离散系统的串联离散系统的串联12( )( )( )( )kH zH zHzHz12( )( )*( )*( )kh nh nh nh z( ) f n( ) y n1( )h n( )kh n2( )h n单位响应单位响应卷卷积积乘乘z变换变换( )kHz1( )H z( ) F z( ) Y z2( )Hz( ) y n1( )h n2( )h n( )khn( ) f n2. 离散系统的并联离散系统的并联将将H(z)分解为几个子

43、系统函数之和分解为几个子系统函数之和 1( )( )niih nh n1( )( )kiiH zH z( ) Y z1( )Hz2( )Hz( )kHz( ) F zz变换变换z变换变换3. 用基本单元表示离散系统用基本单元表示离散系统 （1）数乘器）数乘器（2）加法器）加法器（3）单位延迟器）单位延迟器 ( ) f na( ) af n( ) F za( ) aF z12( )( ) F zF z1( )F z2( )F z12( )( ) f nf n1( )f n2( )fn( ) f n( )(1) ynf nD1( )( )Y zz Y z( ) F z1z 6.8.2 离散系统的信号流图表示离散系统的信号流图表示离散系统信号流图表示的规则，与连续系统信号流图离散系统信号流图表示的规则，与连续系统信号流图表示的规则相同。表示的规则相同。框图与信号流图的对应关系：框图与信号流图的对应关系： ( )H z( ) F z( )Y z1( ) X z2( )X za1( ) X za1