东华高级中学2019-2020学年上学期高二数学期末考试试卷及其答案

1、精选优质文档-倾情为你奉上东华高级中学2019-2020学年上学期高二数学期末考试一、选择题（本大题共10小题，共50.0分）1. 在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b=2，B=45°，C=120°，则边c=(     )A. 2B. 3C. 2D. 62. 已知实数x，y满足，则目标函数z=xy的最大值是(    )A. 2B. 1C. 1D. 23. 糖水溶液(不饱和)的浓度计算公式为c=糖的质量b克糖水的质量a克(a>b)，向糖水(不饱和)中再加入m克糖，那么糖水(不饱和)将变得更甜，则反应这一

2、事实的不等关系为(  )A. ba>b+ma+mB. ba<b+ma+mC. ba>b+maD. ba<b+ma4. 已知双曲线x2a2y2b2=1(a>0,b>0)的实轴长是虚轴长的两倍，则它的渐近线方程为(     )A. y=±12xB. y=±2xC. y=±2xD. y=±3x5. 已知数列an是等差数列，且a3+a13=50，a6=19，则a2=(    )A. 3B. 4C. 7D. 86. 已知a，b为实数，则“0<ab<2”是“a

3、<2b”的(   )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7. 中国古代数学著作算法统综中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”.其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，则该人第4天走的路程为(     )A. 96里B. 48里C. 24里D. 12里8. 如图，已知三棱锥OABC，点M，N分别是OA，BC的中点，点G为线段MN上一点，且MG=2

4、GN，若记OA=a，OB=b，OC=c，则OG=(    )A. 13a+13b+13cB. 13a+13b+16cC. 16a+13b+13cD. 16a+16b+13c9. 已知实数a>0，b>0，且1a+2b=2，则ba的最大值为(     )A. 49B. 12C. 23D. 2210. 已知双曲线C：x216y29=1的左、右焦点分别为F1、F2，P为双曲线C上一点，直线l分别与以F1为圆心、F1P为半径的圆和以F2为圆心、F2P为半径的圆相切于点A，B，则|AB|=(    )A. 27B. 6C.

5、8D. 10二、不定项选择题（本大题共2小题，共10.0分）11. 四边形ABCD内接于圆O，AB=CD=5，AD=3，BCD=60°，下列结论正确的有(   )A. 四边形ABCD为梯形B. 圆O的直径为7C. 四边形ABCD的面积为5534D. ABD的三边长度可以构成一个等差数列12. 我们通常称离心率为512的椭圆为“黄金椭圆”.如图，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，A1，A2，B1，B2为顶点，F1，F2为焦点，P为椭圆上一点，满足下列条件能使椭圆C为“黄金椭圆”的有(      )A. |A1

6、F1|，|F1F2|，|F2A2|为等比数列B. F1B1A2=90°C. PF1x轴，且PO/A2B1D. 四边形A1B2A2B1的内切圆过焦点F1，F2三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 抛物线x2=12y上的一点M到焦点的距离为2，则点M的纵坐标是_14. 如图，以长方体ABCDA1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若DB1的坐标为(2,3，4)，则AC1的坐标为_15. 已知命题“x1,3，不等式x2ax+40”为真命题，则a的取值范围为_16. 斐波那契数列(Fibonaccisequence)，又称黄金分割数

7、列，因数学家列昂纳多斐波那契(LeonardodaFibonacci)以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.它是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55在数学上，斐波那契数列以如下递推的方法定义：a1=1，a2=1，an=an1+an2(n3,nN*)，记其前n项和为Sn，设a2019=t(t为常数)，则S2017+S2016S2015S2014=_(用t表示)，S2017a2019=_(用常数表示)四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知p：x2x60，q：x2(2m+1)x+m2+m0(1)若m=2，且pq为真，求实数x的取值范围；(2)若q是p的

8、充分不必要条件，求实数m的取值范围18. 已知等比数列an满足a2=4，a3a4=128，数列anbn是首项为1公差为1的等差数列(1)求数列an和bn的通项公式；(2)求数列bn的前n项和Sn19. 在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinB=asinA(b+c)sinC(1)求角A的大小(2)若BC边上的中线AD=23，且SABC=23，求ABC的周长20. 如图，已知斜三棱柱ABCA1B1C1中，BCA=90°，AC=BC=2，A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，且A1D=3(1)求证：A1BAC1；(2)求直线A1B与平面A1B1C1所成角的正弦值；

9、(3)在线段C1C上是否存在点M，使得二面角MA1B1C1的平面角为90°？若存在，确定点M的位置；若不存在，请说明理由21. 在数学建模课上，老师给大家带来了一则新闻：“2019年8月16日上午，423米的东莞第一高楼民盈·国贸中心2号楼(以下简称“国贸中心”)正式封顶，随着最后一方混凝土浇筑到位，标志着东莞最高楼纪录诞生，由东莞本地航母级企业民盈集团刷新了东莞天际线，比之前的东莞第一高楼台商大厦高出134米”在同学们的惊叹中，老师提出了问题：国贸中心真有这么高吗？我们能否运用所学知识测量验证一下？一周后，两个兴趣小组分享了他们各自的测量方案第一小组采用的是“两次测角法”

10、：他们在国贸中心隔壁的会展中心广场上的A点测得国贸中心顶部的仰角为，正对国贸中心前进了s米后，到达B点，在B点测得国贸中心顶部的仰角为，然后计算出国贸中心的高度(如图1)第二小组采用的是“镜面反射法”：在国贸中心后面的新世纪豪园一幢11层楼(与国贸中心处于同一水平面，每层约3米)楼顶天台上，进行两个操作步骤：将平面镜置于天台地面上，人后退至从镜中能看到国贸大厦的顶部位置，测量出人与镜子的距离为a1米；正对国贸中心，将镜子前移a米，重复中的操作，测量出人与镜子的距离为a2米然后计算出国贸中心的高度(如图2)实际操作中，第一小组测得s=90米，=42°，=48°，最终算得国贸中

11、心高度为H1；第二小组测得a1=1.45米，a=12米，a2=1.4米，最终算得国贸中心高度为H2；假设他们测量者的“眼高h”都为1.6米(1)请你用所学知识帮两个小组完成计算(参考数据：tan42°0.9，tan48=1tan42，答案保留整数结果)；(2)你认为哪个小组的方案更好，说出你的理由22. 设圆x2+y22x15=0的圆心为M，直线l过点N(1,0)且与x轴不重合，l交圆M于A，B两点，过点N作AM的平行线交BM于点C(1)证明|CM|+|CN|为定值，并写出点C的轨迹方程；(2)设点C的轨迹为曲线E，直线l1：y=kx与曲线E交于P，Q两点，点R为椭圆C上一点，若PQ

12、R是以PQ为底边的等腰三角形，求PQR面积的最小值答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，熟练掌握正弦定理是解题的关键，属于基础题由已知利用正弦定理bsinB=csinC，即可解得边c的值【解答】解：b=2，B=45°，C=120°，由正弦定理bsinB=csinC，可得：c=bsinCsinB=2×3222=6故选D2.【答案】A【解析】【分析】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，关键是正确作出可行域，是中档题由约束条件作出可行域，化目标函数z=xy为直线方程的斜截式，可知当直线在y轴上的截距最小时z

13、最大，结合图象找出满足条件的点，代入目标函数可求z的最大值【解答】解：由约束条件作出可行域如图，由z=xy，得y=xz，由图可知，当直线y=xz过可行域内点(2,0)时直线在y轴上的截距最小，z最大目标函数z=xy的最大值为20=2故选A3.【答案】B【解析】【分析】本题考查不等式的性质，通过作差可以得出结论，属于基础题根根据题意列出不等式作差比较即可得解【解答】解：a>b，b+ma+mba=ab+amabbma(a+m) =m(ab)a(a+m)>0，b+ma+m>ba故选B4.【答案】A【解析】【分析】本题考查双曲线的渐近线的求法，是基础题由已知条件推导出2b=

14、a，由此能求出此双曲线的渐近线方程【解答】解：双曲线C：x2a2y2b2=1(a>0,b>0)的实轴长是虚轴长的2倍，2b=a，双曲线C的渐近线方程为：y=±12x.故选A5.【答案】C【解析】【分析】本题考查了等差数列的通项公式，属于基础题根据等差数列的性质an=am+nmd，求出a2即可【解答】解：设等差数列an的公差为d，因为a3+a13=2a8=50，所以a8=25，所以2d=a8a6=2519=6，所以d=3，所以a2=a64d=1912=7故选C6.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键根据充分条件和必

15、要条件的定义结合不等式的性质进行判断即可【解答】解：若0<ab<2，例如a=1，b=1，不满足a<2b，故充分性不成立，若a<2b，例如b=1，a=1，不满足0<ab<2，故必要性不成立，则“0<ab<2”是“a<2b”的既不充分也不必要条件，故选D7.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查等比数列的应用，考查等比数列的通项公式和求和公式，属于基础题由题意可知，每天走的路程里数构成以12为公比的等比数列，由S6=378求得首项，再由等比数列的通项公式求得该人第4天走的路程【解答】解：记每天走的路程里数为an，由题意知an是公比为12的等比数

16、列，由S6=378，得S6=a11126112=378，解得a1=192，a4=192×123=24(里)故选C8.【答案】C【解析】【分析】本题考查向量的三角形法则与平行四边形法则，向量的线性表示，属于基础题利用空间向量的三角形法则、平行四边形法则，把OG用OB，OC和OA线性表示即可【解答】解：如图所示，连接ON，OG=ON+NG，ON=12(OB+OC)，NG=13NM，NM=OMON，OM=12OA，OG=ON+NG=ON+13NM=ON+13(OMON)=23ON+13OM=23×12(OB+OC)+13×12OA=16OA+13OB+13OC=16a+

17、13b+13c故选C9.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了函数的最值，考查了配方法的应用，属于基础题根据条件用含b的代数式表示1a，则将ba化为关于b的二次函数，利用配方法求出f(b)的最大值即可求出答案【解答】解：a>0，b>0，且1a+2b=2，1a=22b，则ba=b22b=2b2+2b，设fb=2b2+2b=2b2b+1414 =2b122+12，则当b=12时，f(b)max=12，ba的最大值为12，故选B10.【答案】B【解析】【分析】本题考查双曲线的性质及几何意义、两圆的公切线条数及方程的确定，属于一般题由F2PF1P=2a，F1F2=2c，可求出|

18、AB|=2b=6【解答】解：由题意，双曲线C：x216y29=1的左、右焦点分别为F1、F2，P为双曲线C上一点，直线l分别与以F1为圆心、F1P为半径的圆和以F2为圆心、F2P为半径的圆相切于点A，B，则直线l为两个圆的公切线，如下图所示，令P为左支上一点，由F2PF1P=2a，过点F1做F1E垂直于BF2，BF2AF1=EF2=2a，|F1F2|=2c，可求出|AB|=2b=6，故选B11.【答案】ACD【解析】【分析】本题考查正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，属于中档题由余弦定理求BD=7，BC=8，由正弦定理求2R=1433，利用三角形面积公式求四边形ABCD的面积5534【解答】解

19、：由题意得：余弦定理：BD2=25+92×5×3×(12)=49，故BD=7，49=25+BC22×5×BC×12，解得BC=8，又AB=CD,ADBC，所以BCA=DAC，故AD/BC故四边形ABCD为梯形  故A正确；由正弦定理BDsin60°=732=1433=2R，故B错误；四边形ABCD的面积12×3×5×32+12×5×8×32=5534，故C正确；因为四边形ABCD为等腰梯形，AD=3，AB=5，BD=7，故ABD的三边长度可以构成一个等差数

20、列故选ACD12.【答案】BD【解析】【分析】本题考查椭圆的方程和性质，注意运用离心率的公式，考查向量的数量积，同时考查四边形的内切圆的性质，考查化简整理的运算能力，属于中档题利用“黄金椭圆”的性质，逐项判断即可；【解答】解：对于A，若|A1F1|，|F1F2|，|F2A2|为等比数列 ，则2c2=ac2，即3e2+2e1=0，则e=13，而黄金椭圆”的e=512，故A错误；对于B，在黄金椭圆C中，上顶点、右顶点分别为B1(0,b)、A2(a,0)，即有B1A2=(a,b)，F1B1=(c,b)，由B1A2F1B1=acb2=0，则F1EB=90°，故B正确；对于C，P(c

21、,b2a)，则kPO=b2ac， kA2B1=ba，若PO/A2B1,则b=c，此时e=22，故C错误；对于D，设内切圆的半径为r，四边形ADEB的面积可为四个三角形的面积，可得122a2b=412ra2+b2，解得r=aba2+b2=a2b2a2+b2=a3ca2+ac=a2ca2c=c，则内切圆过焦点，故D正确故选BD13.【答案】158【解析】【分析】本题考查抛物线的定义和方程，属于基础题根据抛物线方程得到准线方程，根据点M(x0,y0)到焦点的距离为2，可知y0+18=2，计算即可得解【解答】解：抛物线x2=12y的焦点F(0,18)，准线y=18，设点M(x0,y0)，根据

22、点M到焦点的距离为2，由抛物线的性质得y0+18=2，解得y0=158，即点M的纵坐标是15814.【答案】(2,3，4)【解析】【分析】本题考查空间向量的坐标的求法，考查空间直角坐标系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题由DB1的坐标为(2,3，4)，分别求出A和C1的坐标，由此能求出结果【解答】解：如图，以长方体ABCDA1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，DB1的坐标为(2,3，4)，A(2,0，0)，C1(0,3，4)，AC1=(2,3,4)故答案为(2,3，4)15.【答案】 【解析】【分析】本题主要考查

23、全称命题的应用，利用参数分离法转化为最值问题是解决本题的关键，属于基础题利用参数分离法求出在1,3上对应函数的最值即可【解答】解：若命题“x1,3，不等式x2ax+40”是真命题，则“x1,3，x2+4ax，即ax2+4x=x+4x恒成立，x+4x2x4x=4，当且仅当x=4x，即x=2时等号成立，a4，即实数a的取值范围是(,4，故答案为16.【答案】t；1【解析】【分析】本题考查数列递推式的性质和应用，属于基础题;利用题中的信息，进一步求出关系式，再求出结果.解题时要认真审题，仔细分析，注意递推思想的合理运用【解答】解：斐波那契数列an满足：a1=1，a2=1，an=an1+an2(n3,

24、nN)，设a2019=t则：S2017+S2016S2015S2014， =S2017S2015+S2016S2014， =a2017+a2016+a2016+a2015， =a2018+a2017， =a2019=tS2017a2019=S2016a2018=S2015a2017=S2a4=a1a3=12=1故答案为t；117.【答案】解：(1)p：(x3)(x+2)0得x2或x3，当m=2,q:x25x+60得 2x3，pq为真，即p,q都为真，即x2或x32x3 ，所以x的取值范围为3；(2)q:x22m+1x+m2+m0，即q

25、:xmxm10，所以q:mxm+1，即q:m,m+1，因为q是p的充分不必要条件，所以m,m+1    ，所以m+12或m3，综上：q是p的充分不必要条件时，m的取值范围为【解析】本题考查复合命题的真假判断，考查了充分必要条件的判断方法，一元二次不等式的解法，是中档题(1)分别求解一元二次不等式化简p，q，然后利用pq为真，取交集求得实数x的取值范围；(2)求解一元二次不等式化简q，结合q是p的充分不必要条件，可得m,m+1    ，转化为关于m的不等式组得答案18.【答案】解(1)因为数列an是等比数列，故设首项

26、为a1，公比q，因为a2=4，a3a4=128   所以a2qa2q2=128，所以q3=8，解得q=2，所以a1=2 所以数列an的通项公式为an=2n，因为anbn是首项为1公差为1的等差数列，        所以 anbn=1+(n1)=n，  因为an=2n，所以bn=n2n； (2)由(1)知Sn=112+2(12)2+3(12)3+n(12)n 同乘12得：  12Sn=1(12)2+2(12)3+3(12)4 +n(12)n+1&#

27、160; 由 作差得：12Sn=12+(12)2+(12)3+ +(12)nn(12)n+1 即12Sn=1(12)nn(12)n+1 =1(n2+1)(12)n，所以Sn=2n+22n【解析】本题考查了等差数列、等比数列的通项公式，考查了利用错位相减法求解数列的前n项和，是中档题(1)先利用等比数列的通项公式求出数列an通项公式，再利用等差数列通项公式先求出anbn的通项公式，即可求数列bn的通项公式；(2)利用错位相减法可求出数列bn的前n项和Sn19.【答案】解：(1)由已知bsinB=asinA(b+c)sinC ， 

28、;  由正弦定理得：b2=a2bcc2   ，由余弦定理得：cosA=b2+c2a22bc=12，在ABC中，因为A(0,)，所以A=23.          (2)由SABC=12bcsinA=34bc=23，得bc=8                  由(1)知b2=a2bcc2，即b2+c2=a28            

29、60;     在ABD中，由余弦定理得：c2=(a2)2+(23)2223a2cosADB ，  在ADC中，由余弦定理得：b2=(a2)2+(23)2223a2cosADC，因为cosADB=cosADC，所以b2+c2=a22+24          由，得a=8,b2+c2=56,bc=8，所以b+c=(b+c)2=b2+c2+2bc=72=62                 

30、     所以的周长a+b+c=8+62.【解析】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形，三角形面积公式的应用，考查考生应用已有知识分析问题、解决问题的能力，考查的核心素养是数学运算，属于中档题(1)由已知运用正弦定理得b2=a2bcc2，再由余弦定理得cosA=b2+c2a22bc=12，再根据A的取值范围即可求得(2)由三角形面积公式得出bc=8，由(1)知b2+c2=a28，再根据余弦定理得到b2+c2=a22+24，最后结合得到a=8,b2+c2=56,bc=8，最后根据三角形周长公式即可求解20.【答案】证明：(1)方法一：作DEAC交AB于点E，分别以

31、DE,DC,DA1所在直线为x,y,z 轴建系，A(0,1,0),C(0,1,0),B(2,1,0),A1(0,0,3),C1(0,2,3)  ，       所以A1B=(2,1,3),AC1=(0,3,3)   ，                 A1BAC1=0+33=0，所以A1BAC1 ，                

32、0;  方法二：在RtADA1中，AD=1,A1D=3，得AA1=2,A1AD=60，所以四边形ACC1A1为菱形，得AC1A1C ，                  又BCAC， BCA1D，ACA1D=D,AC,A1D面ACC1A1，所以BC面ACC1A1，因为AC1面ACC1A1，所以AC1BC  ，                 又因为A1CBC=C,A1

33、C,BC面A1BC，所以AC1面A1BC，因为A1B面A1BC，所以A1BAC1 ；      (2)方法一：因为面A1B1C1/面ABC，所以面A1B1C1的一个法向量为m=(0,0,1)，因为A1B=(2,1,3)，所以A1Bm=3，|A1B|=4+1+3=22，cos<A1B,m>=31×22=64，                        设线A1B与平面A1B1C1所成角为，si

34、n=|cos<A1B,m>|=64 ，方法二：因为面A1B1C1/面ABC，所以线A1B与平面A1B1C1所成的角等于A1B与面ABC所成的角，所以A1BD即为所要求.             在RtA1BD中，A1D=3，A1B=22，sinA1BD=322=64，       线A1B与平面A1B1C1所成角的正弦值为64 ，                 

35、    (3)方法一：不存在，设CM=CC1=(0,3)，(01 )                  A1B1=AB=(2,2,0)，A1M=A1C+CM=(0,+1,33)    ，          设面MA1B1的一个法向量为n=(x,y,z)  有A1B1n=0A1Mn=0

36、60;2x+2y=0(+1)y+(33)z=0x=yz=(+1)y33,n=(1,1,+133)    ，                mn=+133=0，得=1       ，  所以不存在点M满足要求. 方法二：面A1B1D面A1B1C1             CC1与面A1B1D的交点N为CC1与A1D的交点   &#

37、160;且NCNC1=12    ，            所以在线段CC1上不存在点M满足要求【解析】本题考查了用空间向量判断线线垂直，求线面角求二面角，是一道难题(1)方法一，根据向量的数量积等于0可以证明；方法二，根据线面垂直可以得出线线垂直(2)方法一：求出平面A1B1C1的法向量，根据设线A1B与平面A1B1C1所成角为，sin=|cos<A1B,m>|可以得出答案；方法二：因为面A1B1C1/面ABC，所以线A1B与平面A1B1C1所成的角等于A1B与面ABC所成的角，所以A1BD

38、即为所要求，解三角形得出答案;(3)方法一：找出平面A1B1M和平面A1B1C1的法向量，根据法向量夹角可以表示出二面角，从而求出结论方法二：面A1B1D面A1B1C1             CC1与面A1B1D的交点N为CC1与A1D的交点    且NCNC1=12 ，所以在线段CC1上不存在点M满足要求21.【答案】解：(1)第一小组：在RtBCD中得，BC=CDtan，在RtACD中得，AC=CDtan，因为ACBC=s即CDtanCDtan=s，得CD=stantantant

39、an9010.90.9426.3米，H1=426.3+1.6428米，第二小组：MKEPQE，得EQ=PQKEMK=a1PQh ，同理NTFPQF得，FQ=PQTFNT=a2PQh ，因为EQFQ=a得(a1a2)PQh=a ，所以PQ=aha1a2=12×1.61.451.4=384米，所以H2=PQ+3×11=417米；(2)第一组方案优点：测量方法较好理解，普适性强；计算思路简洁；不足：AB的距离较长，测量要求高，难度大；角度测量较难精准，容易造成误差；场地要求较高；第二组方案优点：测量方法有创意(用到镜面成像和相似三角形)；相对距离短，

40、比较好测量；只需测量距离，需要的工具少；不足：两次放镜子相对距离太短，容易造成误差；镜面放置较难保持水平，容易造成误差；如果镜面较大，人眼看镜内物像时，两次不一定都看准镜面上的同一个点，易造成误差；人与镜子的距离差值较小，测量容易造成误差【解析】本题考查了解三角形的实际应用，考查了相似三角形的应用，考查了计算能力，属于较难题(1)第一小组：根据条件可求出BC=CDtan，AC=CDtan，则CDtanCDtan=s，代入数据可求出CD，则可求出H1=CD+眼高h；第二小组：利用相似三角形的性质求出EQ，FQ，由EQFQ=a，代入数据可求出PQ，则可求出H2=PQ+3×11；(2)从测量难度，计算方法等方面比较两组的优缺点即可22.【答案】解：(1)圆x2+y22x15=0可化为(x1)2+y2=16 ，