蛛网模型(差分方程)

1、1 市场经济中的蛛网模型市场经济中的蛛网模型问问 题题供大于求供大于求现现象象商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定价格下降价格下降减少产量减少产量增加产量增加产量价格上涨价格上涨供不应求供不应求描述商品数量与价格的变化规律描述商品数量与价格的变化规律数量与价格在振荡数量与价格在振荡蛛蛛 网网 模模 型型gx0y0P0fxy0 xk第第k时段商品数量；时段商品数量；yk第第k时段商品价格时段商品价格消费者的需求关系消费者的需求关系)(kkxfy 生产者的供应关系生产者的供应

2、关系减函数减函数增函数增函数供应函数供应函数需求函数需求函数f与与g的交点的交点P0(x0,y0) 平衡点平衡点一旦一旦xk=x0，则，则yk=y0, xk+1,xk+2,=x0, yk+1,yk+2, =y0 )(1kkyhx)(1kkxgyxy0fgy0 x0P0设设x1偏离偏离x0 x1x2P2y1P1y2P3P4x3y332211xyxyx0321PPPP00,yyxxkkP0是稳定平衡点是稳定平衡点P1P2P3P4P0是不稳定平衡点是不稳定平衡点|gfKKxy0y0 x0P0fg)(kkxfy )(1kkyhx)(1kkxgy00,yyxxkk |gfKK曲线斜率曲线斜率蛛蛛 网网

3、模模 型型0321PPPP )(kkxfy )(1kkyhx在在P0点附近用直线近似曲线点附近用直线近似曲线)0()(00 xxyykk)0()(001yyxxkk)(001xxxxkk)()(0101xxxxkk1P0稳定稳定P0不稳定不稳定0 xxkkxfKgK/1)/ 1()/ 1(1方方 程程 模模 型型|gfKK|gfKK方程模型与蛛网模型的一致方程模型与蛛网模型的一致)(00 xxyykk 商品数量减少商品数量减少1单位单位, 价格上涨幅度价格上涨幅度)(001yyxxkk 价格上涨价格上涨1单位单位, (下时段下时段)供应的增量供应的增量考察考察 , 的含义的含义 消费者对需求的

4、敏感程度消费者对需求的敏感程度 生产者对价格的敏感程度生产者对价格的敏感程度 小小, 有利于经济稳定有利于经济稳定 小小, 有利于经济稳定有利于经济稳定结果解释结果解释xk第第k时段商品数量；时段商品数量；yk第第k时段商品价格时段商品价格1经济稳定经济稳定结果解释结果解释经济不稳定时政府的干预办法经济不稳定时政府的干预办法1. 使使 尽量小，如尽量小，如 =0 以行政手段控制价格不变以行政手段控制价格不变2. 使使 尽量小，如尽量小，如 =0靠经济实力控制数量不变靠经济实力控制数量不变xy0y0gfxy0 x0gf结果解释结果解释需求曲线变为水平需求曲线变为水平供应曲线变为竖直供应曲线变为竖

5、直2/ )(0101yyyxxkkk模型的推广模型的推广 生产者根据当前时段和前一时生产者根据当前时段和前一时段的价格决定下一时段的产量。段的价格决定下一时段的产量。)(00 xxyykk生产者管理水平提高生产者管理水平提高设供应函数为设供应函数为需求函数不变需求函数不变, 2 , 1,)1 (22012kxxxxkkk二阶线性常系数差分方程二阶线性常系数差分方程x0为平衡点为平衡点研究平衡点稳定，即研究平衡点稳定，即k, xkx0的条件的条件)(1kkyhx211kkkyyhx48)(22, 1012)1 (22xxxxkkk方程通解方程通解02211xccxkkk(c1, c2由初始条件确

6、定由初始条件确定) 1, 2特征根，即方程特征根，即方程 的根的根 022平衡点稳定，即平衡点稳定，即k, xkx0的条件的条件:12,12平衡点稳定条件平衡点稳定条件比原来的条件比原来的条件 放宽了放宽了122, 1模型的推广模型的推广2 按年龄分组的种群增长按年龄分组的种群增长 不同年龄组的繁殖率和死亡率不同不同年龄组的繁殖率和死亡率不同 建立差分方程模型，讨论稳定状况下种群的增长规律建立差分方程模型，讨论稳定状况下种群的增长规律假设与建模假设与建模 种群按年龄大小等分为种群按年龄大小等分为n个年龄组，记个年龄组，记i=1,2, , n 时间离散为时段，长度与年龄组区间相等，记时间离散为时

7、段，长度与年龄组区间相等，记k=1,2, 以雌性个体数量为对象以雌性个体数量为对象 第第i 年龄组年龄组1雌性个体在雌性个体在1时段内的时段内的繁殖率繁殖率为为bi 第第i 年龄组在年龄组在1时段内的死亡率为时段内的死亡率为di, 存活率存活率为为si=1- di1, 2 , 1),() 1(1nikxskxiii假设假设与与建模建模xi(k)时段时段k第第i 年龄组的种群数量年龄组的种群数量)() 1(kLxkx)0()(xLkxkTnkxkxkxkx)(),(),()(21按年龄组的分布向量按年龄组的分布向量预测任意时段种群预测任意时段种群按年龄组的分布按年龄组的分布00000012112

8、1nnnsssbbbbLLeslie矩阵矩阵(L矩阵矩阵)() 1(11kxbkxinii(设至少设至少1个个bi0)稳定状态分析的数学知识稳定状态分析的数学知识nkk, 3 , 2,1 L矩阵存在矩阵存在正单特征根正单特征根 1， 若若L矩阵存在矩阵存在bi, bi+10, 则则 nkk, 3 ,2,1)0()(xLkxk11),(PdiagPLnP的第的第1列是列是x*)0()0, 0 , 1 ()(lim11xPPdiagkxkkTnnssssssx11121212111*, 1特征向量特征向量*1)(limcxkxkk, c是由是由bi, si, x(0)决定的常数决定的常数 且且解解

9、释释L对角化对角化11),(PdiagPLknkk*cx*)() 1xckxk)() 1()2kxkx稳态分析稳态分析k充分大充分大种群按年龄组的分布种群按年龄组的分布*1)(limcxkxkk 种群按年龄组的分布趋向稳定，种群按年龄组的分布趋向稳定，x*称稳定分布称稳定分布, 与初始分布无关。与初始分布无关。 各年龄组种群数量按同一各年龄组种群数量按同一倍数增减，倍数增减， 称固有增长率称固有增长率Tnssssssx121211*, 1)() 1(kxkxii)() 1(kLxkx与基本模型与基本模型比较比较3） =1时时*)() 1(cxkxkx 各年龄组各年龄组种群种群数量不变数量不变 1个个体在整个存活个个体在整个存活期内的繁殖数量为期内的繁殖数量为11121121nnsssbsbb稳态分析稳态分析Tnssssx, 1 1211*,)()4*xckxk