数值分析作业题

1、第一章 误差与算法1. 误差分为有_模型误差_, _观测误差_, _方法误差_，_舍入误差_, Taylor展开式近似表达函数产生的误差是_方法误差 .2. 插值余项是插值多项式的 方法误差。3. 0.2499作为1/4的近似值，有几位有效数字？， 有3位有效数字. * 有效数字与相对误差的关系4. 利用递推公式计算积分, 建立稳定的数值算法。该算法是不稳定的。因为： ， 5. 衡量算法优劣的指标有_时间复杂度,_空间复杂度_.6. 时间复杂度是指：， 两个n阶矩阵相乘的乘法次数是 , 则称两个n阶矩阵相乘这一问题的时间复杂度为 .二 代数插值1.根据下表数据建立不超过二次的Lagrange和

2、Newton插值多项式，并写出误差估计式，以及验证插值多项式的唯一性。x 0 1 4f(x) 1 9 3Lagrange: 设 对应的标准基函数为： 因此，所求插值多项式为：Newton: 构造出插商表：xi f(xi ) 一 二 三0 1 1 9 8 4 3 -2 -5/2所以, 所求插值多项式为：插值余项：2. 已知函数f(0)=1,f(1)=3,f(2)=7,则f0,1=_2_, f0,1,2=_1_3. 过0,1两节点构造三次Hermite插值多项式，使得满足插值条件：f(0)=1, f (0)=0 , f(1) =2, f (1)=1 设 写出插商表：xi f(xi) 一 二 三0

3、1 0 1 01 a 1 1 1 a 1 0 a-1 因此, 所求插值多项式为：插值余项：4. 求f(x)=sinx在a,b区间上的分段线性插值多项式，并写出误差估计式。将a,b区间等分n份，则插值标准基函数是： 误差：第三章 数据拟合1.已知数据如下：X： -2 -1 0 1 2Y： 0 1 2 1 0求二次多项式拟合函数设所求二次多项式拟合函数为：, 则法方程组为：即：解之得： 。 第四章 数值积分与微分0. 确定系数使得求积公式的代数精度尽可能高 令：, 求得A1,A0,A-1 , 验证 1. 用梯形、Simpson公式求2. 确定Gauss积分(1) 先求积分区间0，1上带权函数的正交

4、多项式的零点。令，由正交多项式性质：解之得：b= c= ， f(x)的零点为：x0, x1 （2）再积分系数。 由该积分公式对1次、2次多项式精确成立，令f(x)=1,x，解之得：A0，A1* 复化梯形公式的推导， 积分余项。 第五章1. 用Doolittle分解求解再用前推和回代解出x1,x2,x3 Chapter 61. 方程组求：（1） 写出Jacobi迭代公式、Gauss-Seidal迭代公式。（2） 判断两种迭代公式的收敛性 求迭代矩阵的谱半径，判断是否<11.求向量和矩阵1，2，的范数，x=（2，-3，-1，7）T2. 求Cond（A）， Chapter 71. 设X00，计算的迭代公式 k=0,1,2.证明：（1）该格式二阶收敛（2）格式收敛的充要条件是 由题意知，该迭代公式的迭代函数是： ，因为由定理知，该格式是二阶收敛的。(2). 因此， 设 所以，