数学高中知识点6向量

1、六、向量向量向量的概念向量的运算向量的运用向量的加、减法实数与向量的积向量的数量积定比分点公式平 移物理学中的运用几何中的运用两向量平行的充要条件两向量垂直的充要条件一、基本概念：（1）向量的定义： 叫做向量，可用字母表示，如： ；也可用向量的有向线段的起点和终点字母表示，如： ；（2）向量的两个要素： 、 ；其中向量的大小又称为 ；记为： ；（3）向量与数量的区别：向量不同于数量，它是一种新的量，数量是只有大小的量，其大小可以用正数、负数或0来表示；它是一个代数量，可以进行各种代数运算；数量之间可以进行大小比较，“大于”、“小于”的概念对数量是适用的。向量是既有大小又有方向的量；向量的模是正

2、数或0，是可以进行大小比较的；由于方向不能比较大小，因此“大于”、“小于”对向量来说是没有意义的。（4）特殊形式的向量：零向量： ；记为： ；方向为 ；规定：零向量与任一向量 ；单位向量： ；自由向量：一个向量只要不改变它的大小和方向，它的起点和终点可以任意平行移动的向量，叫做自由向量(本书研究的都是自由向量)平行向量： 叫做平行向量(也称为共线向量)；向量与向量平行，记作： ；相等向量： 叫做相等向量；向量与向量相等，记作： ；注：零向量与零向量相等；任意两个相等的非零向量，都可以用一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关。两个向量相等是一个很重要的概念，从几何意义上看，就是这两个向量的长

3、度相等且方向相同；从代数表达式考虑，就是它们对应的系数相等；对于用坐标表示的向量来说，就是这两个向量的坐标相等，这一点在解题中有很重要的作用。相反向量： 叫做相反向量，向量与向量相反，记作： ；二、向量的表示法（1）几何表示法：用有向线段表示，如：；（2）字母表示法：用一个小写字母表示，如：；注意：解题时，向量中的箭头不可省。 （3）坐标表示法：在直角坐标系内，分别取 的两个单位自量作基底，则对任一向量有且只有一对实数，使，就把叫做向量的(直角)坐标，记作 ；注意：叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标。；三、向量的运算：（1）向量的加法：向量法：三角形法则，平行四边形法则坐标法：若，则；重要结论

4、：围成一周顺次始终相结的向量的和为；当两向量平行时，平行四边形法不适用，可用三角形法则。（2）向量的减法向量法：三角形法则、平行四边形法坐标法：若，则；重要结论：；从几何图形的角度理解：取左边不等号中等号的条件取右边不等号中等号的条件取左边不等号中小于号的条件取右边不等号中小于号的条件 异向或其中至少有一个零向量同向或其中至少有一个零向量不能异向不能同向同向或其中至少有一个零向量异向或其中至少有一个零向量不能同向不能异向注意：若将变为要比较绝对值的大小，且；若将变为要比较的模的大小，且；（3）实数与向量的积(数乘)定义：一般地，实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度和方向规定如下：、当时，的

5、方向与的方向相同，当时，的方向与的方向相反。坐标法：若，则；运算律：设为实数，为向量：结合律：；第一分配律：；第二分配律：；（4）平面向量的数量积数量积：已知两个非零向量和，它们的夹角为，则数量叫做和 的数量积(或内积)，记作：；注意：、夹角的范围：；其中当时；当 时；当时；当两个向量的夹角是锐角时，它们的数量积大于0；当两个向量的夹角是钝角时，它们的数量积小于0；零向量与任何向量的数量积等于0。、投影：叫做向量在方向上的投影。坐标法运算：若，则； 运算律：交换律：；结合律：；分配律：； 注意：重要性质：、设都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则：；、；、当与同向时，；当与反向时

6、，；特别是：，或、向量的夹角公式：； 、四、定理与公式：（1）平面向量基本定理(也叫做平面向量分解定理)：如果和是同一平面内的两个不共线向量，那么该平面内任一向量，只有一对实数，使；我们把不共线的向量和叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。（2）两个向量平行的充要条件：设，为实数向量式：；坐标式：；（3）两个向量垂直的充要条件：设向量式：；坐标式：；（4）两点间距离公式：设，则；如：求函数的最小值。xOP1PP2y（5）线段的定比分点公式：设， 向量式：；当时，中点对应向量公式；坐标式：中点对应向量公式；当时，中点坐标公式；如：已知直线及两点当与线段相交时求的取值范围。（还可以从斜率的角度，通

7、过数形结合解题）注意：要分清内分点和外分点当分点在线段上时，点叫的内分点，这时值为；当分点在线段或的延长线时，点叫外分点，值为；点在延长线上时，这时值为；点在延长线上时，这时值为；不能写成（没有定义两向量的除法），有时可写成；三角形重心公式：其中、为三角形三顶点的坐标。 （6）平移公式：平移：设是坐标平面上的一个图形，将上所有点按照同一方向，移动同长度，得到图形，这个过程就是图形的平移。平移公式：是图形的任意一点，按照平移后图形上的对应点为，则；（注：）注意：用平移公式，求平移后的解析式的一般步骤：设平移后图形的任意一点，把平移公式变形为，代入原解析式中，得到了平移后的解析式。（此法在函数平移变换和解几的求轨迹方程中得以充分的体现）五、运用向量证明平面几何问题：（1）由平面向量的基本定理可知：平面的任意向量都可用两个基向量（不共向）来表示；这样在解题的一开始，设出两个不公线的向量，其他所有涉及的向量用这两个基向量来表示；（2）从要证明的结论出发，充分挖掘向量将的几何关系：垂直