数学建模论文制动器试验台的控制方法研究

1、制动器试验台的控制方法研究摘要：该论文是研究一个控制器试验台的控制方法问题。首先，我们根据题目的阐述，建立了一个连续数学模型来描述这个问题，此模型研究了电动机的驱动电流与时间之间的关系，对于给定的某一时刻的时间就得到一个与之相联系的驱动电流，据此还可以得到相应的扭矩和转速。我们将力矩分为驱动力矩和制动力矩，以此为一个基础来求驱动电流，这主要用到机械惯量恒力矩制动动力学方程 MTJ 0 nn0 TM ，通过变换构建出我们的第一个数学模型；之后我们又利用能量守恒与折算能量的转换，根据题目的条件与假设，我们构建出第二个数学模型，由上述两个模型制定各种控制方法。后面我们检验出附表所反应出来的控制方法不

2、太合理，而我们的模型则与实际较为吻合。由于解非线形规划问题是一个很复杂的过程，我们选择了将连续模型简化成一个离散模型。在计算离散数据时，我们采用数学软件作出图形，再拟合数据，两者之间基本吻合，当然也少不了对大量数据的验证、检验，结合相关物理知识和有关公式，最终得出极有说服力的数学模型。通过模型，我们得到电流值i可用于计算机合理并有效地控制发动机参与工作补偿不足惯量，突出了控制器试验台控制方法的科学性。关键词：能量转换 机械惯量恒力矩制动动力学方程 能量守恒 拟合 一 问题的重述汽车的行车制动器是汽车中重要的部件，它的作用是使车辆减速或停止。当我们在对制动器进行设计时应注意许多问题，必须在专门的

3、试验台上进行路试模拟实验。首先要让电动机带动主轴和飞轮转动到预先设定的转速后，再让电动机断电并同时施加制动。 路试车辆在制动时，载荷在车辆平动时具有的能量等效转化为飞轮和主轴等机构的转动惯量，其它不可拆卸的部分为基础惯量，二者之和为机械惯量。如果机械惯量不能完全提供进行模拟实验，则由电动机参与工作补偿惯量。 又已知电动机的驱动电流与扭矩成正比（比例系数为1.5A/N.m）。要确定电动机驱动电流和时间的关系是很困难的，我们必须把时间离散化，再根据观测的瞬时速度或瞬时扭矩，设计出电流值，当然也少不了用能量误差的大小、大量数据的检验来评价该控制方法的优劣。问题1：设车辆单个前轮的滚动半径为0 286

4、m，制动时承受的载荷为6230 N，求等效的转动惯量。问题2：飞轮组由3个外直径1m、内直径02m的环形钢制飞轮组成，厚度分别为00392m、00784m、01568m，钢材密度为7810/，基础惯量为10·，问可以组成哪些机械惯量？设电动机能补偿的能量相应的惯量的范围-30，30 ·，对于问题1中得到的等效转动惯量，需要用电动机补偿多大的能量？问题3：建立电动机驱动电流依赖与可观测量的数学模形。在问题1和问题2的条件下，假设制动减速度为常数，初始速度为5，制动50km/h后车速为零，计算驱动电流。问题4：对于所设计的路试等效的转动惯量为，机械惯量为，主轴初转速为，末转速为

5、，时间步长为的情况，用某种控制方法试验得到的数据见附表。请对该方法执行的结果进行评价。问题5：按照地3问导出的数学模型，给出根据前一段时间观测到的瞬时转速与/或瞬时扭矩，设计本时间段电流值的计算机控制方法，并对该方法进行评价。问题6：第5问给出的控制方法是否有不足之处？如果有，请重新设计一个尽量完善的计算机控制方法，并作评价。2 基本假设1）不考虑观测误差、随机误差和连续问题离散化所产生的误差；2）假设路试时轮胎与地面的摩擦力为无穷大；3）路试车辆的承受载荷在车辆平动时具有的能量等效地转化为实验车台上飞轮和主轴等机构转动是具有的能量；4）忽略车轮自身转动具有的动量；5）假设驱动电流的能量全部用

6、来补偿不足的能量，无损失；并且此能量等效于其作用于电阻为R的能量。3 参数说明 EJ 与等效转动惯量相对应的能量 I 电动机驱动电流 T 电动机驱动力矩 M 制动器制动力矩 J 机械转动惯量 角加速度 角速度 初始角速度 0t 时间n 转速n0 初始转速JM、J1、JL 电动机轴、中间传动轴、生产机械轴上的转动惯量 j1M/1 电动机轴与中间传动轴之间的速比jLM/L 电动机轴与生产机械轴之间的速比M、1、L 电动机轴、中间传动轴、生产机械轴上的角速度4 问题的分析本问题是车辆在行驶过程中行车制动的物理问题。目的是为了检测汽车制动器的综合性能，需要在各种不同情况下进行大量的路试。要求满足题目要

7、求：电动机的驱动电流与其产生的扭矩成正比，以及电动机驱动电流与时间之间的关系（通过观察到的瞬时转速或瞬时扭矩间接求得），通过对数据拟合与求解，使得在假设的条件下求出转速与时间、扭矩与时间的关系。首先，我们根据问题的需要，建立了一个连续数学模型来描述这个问题，此模型研究了电动机的驱动电流与时间之间的关系，对于给定的某一时刻的时间就得到一个与之相联系的驱动电流，据次还可以得到相应的扭矩和转速。建立模型过程中，我们运用了折算能量的转换、机械惯量恒力矩制动动力学方程、能量守恒等，通过分析它们之间的内在联系，我们最终够建了一个电流与扭矩、时间、转速之间相互联系的关系模型，求解出某时刻的相应电流值。 由于

8、解非线形规划问题是一个很复杂的过程，我们选择了将连续模型简化成一个离散模型。在计算离散数据时，我们采用数学软件作出图形，再拟合数据，两者之间基本吻合，我们便确定了模型的正确性。5 模型的构建5.1 首先折算能量的转换 要保证折算前后系统等效，折算前后系统的动能应相等。由于转动惯量和飞轮转矩与运动系统的动能有关，因此可根据动能守恒原则进行折算。对于旋转运动，折算后系统总的动能应等于折算前系统各轴动能之和，即所以，折算到电动机轴上的总转动惯量为式中JM、J1、JL电动机轴、中间传动轴、生产机械轴上的转动惯量；j1M/1电动机轴与中间传动轴之间的速比；jLM/L电动机轴与生产机械轴之间的速比；M、1

9、、L电动机轴、中间传动轴、生产机械轴上的角速度。Jz即为等效转动惯量。那么与等效转动惯量相对应的能量为：EJJz2。参见质料来源5其次分析电流与扭矩、时间、转速之间的关系 我们将制动过程中的力矩分为制动力矩与驱动力矩，在制动过程中，当制动力矩不足以达到制动效果时，由电动机的驱动电流产生驱动力矩，使之达到驱动效果；由题中假设“试验台采用的电动机的驱动电流与其产生的扭矩成正比（本题中比例系数取为1.5 A/N·m）”我们得到驱动电流与驱动力矩之间的关系：I1.5T。为此，我们必须求出驱动力矩T ；那么我们列出机械惯量恒力矩制动动力学方程，以便求解驱动力矩T；MTJ （1）0 （2）nn0

10、 (3)TM (4)那么：I1.5T1.5 M （5）即电流与扭矩、时间、转速之间的模型。式中：制动器制动力矩为M，机械转动惯量为 J，角加速度为，角速度为，初始角速度为0，时间为t，转速为n，初始转速为n0。参见文献45.3最后够建出整体模型 我们通过对问题的分析，得出了由能量守恒来计算一些未知量，能量守恒等式为：EJE jEb，式中EJ为与等效转动惯量相对应的能量，E j为机械惯量所具有的能量，Eb为驱动电流应补偿的能量。由此等式得：Jz2J12EbI2Rt。6 模型的简化与求解系统6.1问题一的分析与求解一、名词解释路试车辆的指定车轮在制动时承受载荷。将这个载荷在车辆平动时具有的能量（忽

11、略车轮自身转动具有的能量）等效地转化为试验台上飞轮和主轴等机构转动时具有的能量，与此能量相应的转动惯量(以下转动惯量简称为惯量)在本题中称为等效的转动惯量。二、数据分析与解答那么根据物理知识有：Ek= (车辆的动能) =1/2mv2= Ej(转动惯量的能量)=1/2J2，而车辆单个前轮的滚动半径为0.286m，制动时承受的载荷为 6230N ；则有1/2mv2=1/2J2（v/=R=0.286m），代如数据计算得：J=52·。上题是关于一个车轮的分析，下面我们分析多个车轮的情况：根据QC/T479-1999货车、客车制动器台架试验方法，对于两轴车（含双后轴的三轴车），其前、后制动器应

12、承担的载荷分别为IF=/（1+）×(Ga+7%G0) r2/2g ·m·s2IR=/（1+）×(Ga+7%G0) r2/2g ·m·s2 如为双后轴的三轴车，则其后制动器应承担的载荷 IDR为： IDR=1/2 IR 式中，IF、IR、ID分别为前、后制动器和双后轴的三轴车后制动器应承受的载荷，·m·s2；为前后轴制动之比；对于双后轴的三轴车，为两前后轴制动力之和作为后轴制动力； G0为汽车空车总质量，；Ga 为汽车满载总质量，单位；r为车轮滚动半径，单位m；g为重力加速度9.8m/s2。 经计算，本文所述试验台所

13、需模拟的不同单端制动器载荷范围在2.588·m·s2-25.79·m·s2。根据，J=I×g得出单个制动器所应承受的惯量范围：25.378·-374.51·。 根据上述公式计算得出的被试制动器所受惯量，即为试验台所需模拟的整车惯量。参考文献4详述了车辆制动器试验台惯性飞轮的优化组合设计方法，参考该文献并对单片飞轮惯量进行了圆整，最终选择使用2片惯量为70·的大飞轮与7片惯量30·的小飞轮对被试制动器进行惯量模拟，其中，2片大飞轮的构成基本组，7片小飞轮构成精确调解组，所选飞轮材料为45#钢。参见文献36.

14、2问题二的分析与求解一、数据分析由题设：飞轮为Fi(i=1,2,3)，飞轮外直径为 R，飞轮内直径为r，飞轮厚度为L j(j=1,2,3)，飞轮质量为mk(k=1,2,3)，飞轮转动惯量为Jn(n=1,2,3)，基础惯量为H=10·，则飞轮的体积为 V=(R2-r2)L，那么飞轮的质量为m=V。 二、数据求解将数据代入公式m=(R2-r2)L计算得：m1=230.8264，m2=461.6527，m3=923.3054；由第一问知：J1=30.0074·， J2=60.0149·，J3=120.0297·，那么就可以组成八组机械惯量：10· 4

15、0.0074· 70.0149· 100.0233· 130.0297· 160.00371· 190.0446· 220.052·。又有电动机能补偿的能量相应的惯量范围为-30,30, 则满足条件的只有40.0074· 70.0149·，它们相应的补偿惯量分别为 -11.9926· 18.0149·。 6.3问题3的分析与求解 一、数据分析由题中已知条件知：初始速度V0=50/h=13.89m/s,制动后5.0 s后车速为零；那么制动加速度为=-=-2.778m/s2； 二、数据求解

16、 由模型I1.5T1.5 M计算得到： I137.38A. 6.4问题4的分析与求解 通过对所给数据的拟合、分析、整理，再将大量数据代入所得模型检验得出以下图形：（扭矩）（时间）（数据附表的数据经过高次拟合后图）注：波动曲线为原数据曲线 平滑曲线为拟合后所得曲线所得函数关系式为：M(t)=60t13-540t12+3430t11-15230t10+48560t9-111940t8+185430t7-216150t6+169710t5-82170t4+19770t3-750t2+60t+40N(t)=57.3943t+524.1514结合图形我们可以知道： 最大误差=×100 =

17、15;100 =5.7由此可以知道此种控制方法的误差非常大，我们不能用此方法为基础去设计制动器试验台的控制方法；只有另辟溪径。 6.5问题5的分析与求解由第三问导出的数学模型为I1.5T1.5 M和Jz2J12EbI2Rt；（参照程序）程序得到的电流值i可用于计算机控制发动机参与工作补偿不足的能量。该方法的不足之处是：将转速拟合为一次函数。忽略了电动机散热损失的能量。 能量误差还不够小。 6.6问题6的分析与求解本控制方法肯定有不足之处，还需要改进。 1 缩短时间步长； 2 寻找更为合理的函数曲线，使之更趋近实际情况； 3 还须改变一些条件，再进行大量检验。较为完善的方案为：M(t)=60t1

18、3-540t12+3430t11-15230t10+48560t9-111940t8+185430t7-216150t6+169710t5-82170t4+19770t3-750t2+60t+40N(t)= 0.5703 t5-7.2070 t4+32.9587 t3-64.8059 t2-8.2049 t + 515.6865I1.5T1.5 M(t)。 （参照程序）程序得到的电流值比以上分析的方法得到的电流值更为合理，更具有合理性，有效性和科学性。参 考 文 献：1 马文蔚.物理学(第五版)上册 高等教育出版社2 马文蔚.物理学(第五版)上册习题分析与解答 高等教育出版社3 王志中，彭彦宏

19、，洪哲浩.车辆制动器试验台惯性飞轮的优化组合设计J.2006，33（2）：59-624 李洪山，孙英达，庆振华.电惯量模拟机械转动惯量的研究5 张元涛，基于快速气动伺服的汽车惯性式制动器试验系统应用研究， www.百度.com，2009-9-126 赵静，但琦.数学建模与数学实验（第2版） 高等教育出版社附录：程序、t=0：0.01：4.67； M= 40.0000 40.0000 40.0000 41.2500 43.7500 45.0000 47.5000 50.0000 53.7500 55.0000 57.5000 58.7500 62.5000 62.5000 67.5000 67.

20、5000 72.5000 75.0000 81.2500 86.2500 91.2500 96.2500 101.2500 105.0000 110.0000 115.0000 120.0000 127.5000 133.7500 143.7500 150.0000 157.5000 161.2500 168.7500 172.5000 181.2500 186.2500 193.7500 198.7500 203.7500 208.7500 211.2500 216.2500 218.7500 222.5000 226.2500 230.0000 233.7500237.5000 238.7

21、500 242.5000 242.5000 247.5000 246.2500 245.0000 241.2500 245.0000 248.7500 256.2500 257.5000 262.5000 262.5000 266.2500 266.2500 266.2500 266.2500 266.2500 266.2500 265.0000 266.2500 268.7500 272.5000 273.7500 276.2500 277.5000 277.5000 272.5000 272.5000 268.7500 272.5000 267.5000 272.5000 270.0000

22、 277.5000 278.7500 282.5000 282.5000 282.5000 282.5000 280.0000 277.5000 276.2500 273.7500 273.7500 275.0000 276.2500 280.0000 280.0000 282.5000 281.2500 283.7500 282.5000 278.7500 276.2500 275.0000 277.5000 280.0000 281.2500 285.0000 283.7500 283.7500 282.5000 281.2500 278.7500 277.5000 273.7500 27

23、7.5000 277.5000 281.2500 281.2500 283.7500 285.0000 285.0000 283.7500 282.5000 282.5000 281.2500 278.7500 275.0000 276.2500 276.2500 280.0000 281.2500 285.0000 283.7500 285.0000 282.5000 285.0000 280.0000 281.2500 276.2500 275.0000 273.7500 276.2500 278.7500 280.0000 281.2500 282.5000 282.5000 282.5

24、000 281.2500 281.2500 281.2500 278.7500 276.2500 273.7500 275.0000 275.0000 278.7500 278.7500 283.7500 282.5000 285.0000 281.2500 283.7500 281.2500 281.2500 277.5000 273.7500 273.7500 275.0000 277.5000 280.0000 282.5000 283.7500 286.2500 285.0000 286.2500 282.5000 282.5000 278.7500 277.5000 272.5000

25、 275.0000 273.7500 278.7500 276.2500 281.2500 280.0000 282.5000 281.2500 281.2500 281.2500 280.0000 278.7500 275.0000 273.7500 273.7500 277.5000 280.0000 282.5000 285.0000 286.2500 287.5000 283.7500 283.7500 281.2500 281.2500 276.2500 275.0000 270.0000 275.0000 276.2500 281.2500 281.2500 282.5000 28

26、5.0000 286.2500 285.0000 283.7500 282.5000 282.5000 281.2500 278.7500 277.5000 275.0000 276.2500 277.5000 281.2500 281.2500 285.0000 282.5000 286.2500 281.2500 285.0000 281.2500 282.5000 278.7500 277.5000 275.0000 273.7500 275.0000 278.7500 280.0000 282.5000 283.7500 283.7500 285.0000 283.7500 285.0

27、000 282.5000 283.7500 277.5000 277.5000 271.2500 275.0000 271.2500 276.2500 275.0000 281.2500 282.5000 287.5000 287.5000 287.5000 286.2500 285.0000 283.7500 283.7500 282.5000 278.7500 276.2500 275.0000 276.2500 278.7500 280.0000 282.5000 291.2500 292.5000 297.5000 290.0000 291.2500 285.0000 287.5000

28、 283.7500 282.5000 277.5000 276.2500 275.0000 275.0000 277.5000 280.0000 281.2500 282.5000 285.0000 286.2500 287.5000 285.0000 285.0000 283.7500 283.7500 278.7500 278.7500 272.5000 273.7500 270.0000 275.0000 273.7500 280.0000 282.5000 286.2500 287.5000 288.7500 288.7500 287.5000 286.2500 285.0000 28

29、5.0000 282.5000 280.0000 276.2500 275.0000 273.7500 277.5000 278.7500 282.5000 282.5000 286.2500 285.0000290.0000 287.5000 288.7500 285.0000 286.2500 283.7500 283.7500 281.2500 277.5000 273.7500 273.7500 275.0000 276.2500 280.0000 280.0000 282.5000 282.5000 286.2500 286.2500 288.7500 283.7500 286.25

30、00 282.5000 286.2500 280.0000 281.2500 275.0000 277.5000 276.2500 278.7500 278.7500 281.2500 282.5000 285.0000 285.0000 287.5000 288.7500 288.7500 287.5000 285.0000 285.0000 283.7500 283.7500 281.2500 281.2500 276.2500 276.2500 273.7500 278.7500 277.5000 282.5000 282.5000 285.0000 285.0000 287.5000

31、288.7500 287.5000 286.2500 285.0000 285.0000 283.7500 282.5000 280.0000 278.7500 275.0000 275.0000 275.0000 278.7500 277.5000 281.2500 281.2500 287.5000 283.7500 287.5000 285.0000 291.2500 290.0000 291.2500 287.5000 285.0000 283.7500 282.5000 281.2500 278.7500 276.2500 273.7500 273.7500 275.0000 278.7500 281.2500 283.7500 285.0000 287.5000 287.5000 291.2500 290.0000 292.5000 287.5000 288.7500 285.0000 285.0000 282.5000 282.5000 281.2500 277.5000 273.7500 272.5000 272.5000 275.0000 2