折叠图形难题

1、折叠图形国2010-64【解析】B。为便于讲解，我们先给6个面编号，如下图：一般来说，如果平面图形中几个面在一条直线上，相隔的面就是相对面。比如下图的1、3、4、6面在直线上，那么1、4和3、6是两对相对面，那么剩下另一对2、5也是一对相对面。但是此题图形没有三个面在一条直线上，所以相对面需要通过我们空间想象或者分析判断。再如1号面，经过顺时针或者逆时针旋转90度后，会变成，跟3号、6号面一样。所以此题较难，一是因为相对面比较难找，二是因为有四个面是相似的图形，旋转后斜线方向会跟其他面混淆。一、找相对面，排除选项。首先，我们可以通过相对面做出排除。那么哪3对面是相对面呢。方法一：空间想象。回到

2、题干中的图形，我们先看1、2、3、4号面。如果有一定得空间想象力，我们可以看出1号面是向左后方折，3、4号面是个整体向后下方折，然后4号面再向下折。也就是如下图所示：4号面向下折特别说明的是，有人在课堂上提出往哪个方向折，会不会往外折。这显然是不可能的，最终折出后六个面的图形要跟平面匹配，如果往外折，一个面都看不到，所以这里不用纠结，一定是往里折的。如果完全折起应该是两条蓝色的线a、b重合，两条绿色的线c、d重合。那么我们可以看出，1、4号面是相对面。同理我们可以得到3、6号面是相对面，那么只剩下2、5号面，它们也构成一对相对面。2、5号面相对，我们可以很快地排除掉CD选项。方法二：分析判断。

3、我们知道，正六面体有6个面，12条线，8个顶点构成。每1个面有4条线、4个顶点，每1条线与2个面相邻，连接2个顶点，每1个顶点会发出3条线，3个面。如下图所示，红色点为1个顶点，从这个点发出a、b、c共3条线，这个顶点还同时与1、2、3号面相连。通过以上我们可以推断，如果一个平面图上有一个点连着3个面，那这3个面的关系肯定也如上图1、2、3号面一样，两两相邻。如果一个点连着4条线，那么肯定有2条线折叠后会重合，因为1个点只能发出3条线。那么哪2条线会重合呢，刚刚提到过每1条线与2个面相邻，如果1条线在平面图上只属于1个面，那么这条线就是要重合的，我们再根据公共点找到另一条只属于1个面的线。以本

4、题为例，上图为题干的平面图形，点C连着1、2、3号面，那么折叠后这三个面也应该是两两相邻。同样C点连着CB、CD、CL、CN四条线，肯定有2条线折叠后会重合，根据上一段提到的，CB、CD这种在平面图上只属于1个面的两条线将重合。同样我们也可以推断出点E、J、L三个点附近的面、线关系。如果知道以上关系，我们很快就能看出，LK、LM将重合，2号面和4号面将相邻，且公共边为LM，LM与CN平行，与一个面两条平行相对的线相邻的面一定是一对相对面，这样我们就能知道1、4号面相对。同理可得3、6号面相对，那么只剩下一对面2、5号面，它们也是相对的。2、5号面相对，我们可以很快地排除掉CD选项。二、确定参照

5、面，分析相邻面是否正确。我们已经排除了CD选项，AB选项无法排除，需要我们观察是否正确。观察折叠图形是否正确，需要我们先确定一个面为参照，然后再找第二个面是否能符合，如果两个面确定了，再看第三个面的位置是否正确。我们在选择第一个面时，应注意选择出现次数尽量少的面，比如AB选项 正面的图形我们可以确定分别是5号面和2号面，但是顶面和侧面的图形，1、3、4、6号面都可以通过旋转得到或者，这一点我们上面已经讲过。在AB两个选项中，我们应该首先选择A选项进行观察，因为A选项5号面有两种翻转可能，一种是如平面图所示，另一种是将整个图旋转180度，5号面图形保持不变。而2号面旋转90度后还是一样的图形，要

6、观察4次。所以先选择A选项来观察。首先我们发现A选项的正面和侧面与5、6号面相对应，那我们要看顶面是不是如A选项所示。那么顶面应该是哪一面呢，通过空间想象，你能想的出来吗？即使我告诉你顶面应该是1号面翻上去，你知道翻上去后是还是吗？显然对于空间想象力要求过高。我们可以接着上面讲的第二种找相对面的方法往下分析。我们刚刚讲过，一个点如果已经射出四条线，那么两个只属于一个面的线将重合。以C点为例，CB、CD两条线将重合，那么点B、点D会重合，ED、EF两条线将重合，那么点D、点F会重合，所以B、D、F三点会重合，重合后的点就连着1、3、5号面，所以1、3、5号面也会两两相邻。如果通过空间想象，是很难

7、很快看出1、3、5号面的关系的。5号面已经与3、4、6号面相邻，且3号面在左侧，6号面在右侧，4号面为底面。1、3、5号面两两相邻，那么1号面肯定会翻到5号面的顶面。B点和F点重合，在1号面内部B点会向对角射出一条直线，一个平面内图形的相对关系是不会经过旋转、翻转后改变的。所以1号面翻到上面后，也一定会从B点向对角射出一条直线，B点和F点重合，那么这条直线就是从F点射出的，也就是应该这样：，显然A选项的斜线方向反了。但是此时我们还不能排除A选项，因为还有一种情况，就是将整个图旋转180度后再观察。旋转180度后得到如下图所示：将数字、字母方向调整后为：我们发现A选项的正面和顶面与5、4号面相对

8、应，我们要判断5号面右侧面是否正确。在平面图上我们可以知道，5号面右侧面应该是3号面，因为EF和ED会重合，EF在5号面右边，跟EF相邻的面就是5号面的右侧面。而右侧面的斜线应该是从E点射出的，也就是：。但是A选项中却是从公共边的底部射向对角，显然A选项就是错误选项。排除了ACD，我们可得这题正确选项应该是B。【小结】上面讲到的分析判断方法，是将平面图形分解为点、线、面，根据基本的立体图形的特征，分析点、线、面折叠后之间的关系，找到公共点、公共边后，再根据一个平面内图形的相对关系是不会经过旋转、翻转后改变的，找到与公共点、公共边相邻的面的图形与公共点、公共边之间的位置关系来匹配。这种分析方法，

9、避免了空间想象需要经过多次翻转、旋转后的混乱。虽然此题已经讲解了5页多，但是我们如果思路熟练，我们做此题的步骤如下。1.根据“一个点如果已经射出四条线，那么两个只属于一个面的线将重合”和“与一个面两条平行相对的线相邻的面一定是一对相对面”这两个规律找到相对面，排除CD选项。2.分析A选项，同样根据“一个点如果已经射出四条线，那么两个只属于一个面的线将重合”，线重合点就重合，可知BDF三点重合。3.根据“如果一个点连着3个面，那这3个面肯定两两相邻”可知1、5号面相邻，5号面与其他3个相邻面的位置关系已确定，可知1号面为顶面。4.根据“一个平面内图形的相对关系是不会经过旋转、翻转后改变的”，判断

10、出顶面斜线应该从F点射出，推断出这种情况是错误的。5.将平面图旋转180度（考试中可以直接将试卷旋转，因为试卷旋转后选项也旋转了，我们可以把正确图形在草稿纸上画出，再用稿纸上的图形与选项比较。）确定正面和顶面正确后，再根据公共点E射出一条斜线可知A选项错误。6.排除ACD，得到正确选项B。国2011-82【解析】D。为便于讲解，我们先给6个面编号，如下图：先找相对面，此题相对面比较容易找，2和4、3和5、1和6是三组相对面。但是我们发现1和4、5和6是相似图形，通过旋转都可能得到彼此的图形，它们又不是相对面，所以通过相对面不能排除选项。接下来我们需要通过逐个分析选项。首先我们要选择一个面为我们

11、的基准面，这个面的选择遵循以下两点原则：1、只出现一次；2、位置可确定。根据第一点，1和4、5和6这两组图形不能作为基准参照面，2号空白面，经过旋转后还是空白面，不符合原则第二点。但是3号面，分别经过90度旋转后为 ，显然这四个图形是不一样的，所以我们可以根据选项中的这个面的方位确定平面图形中相应的位置。A选项中，我们以侧面为参照，那蓝色的那条线就应该对应平面图中DK，绿色那条线对应CD。显然在平面图中跟DK相邻的面是有一条对角线的面，而不是如A中顶面斜线一点在角上，一点在线上的面。所以排除A。B选项中，我们以顶面为参照，那蓝色的那条线就应该对应平面图中CL，绿色那条线对应LK。在平面图中与CL相邻的是空白面，跟选项一致，跟LK相邻的是哪个面呢？如果有一定空间想象力，我们可以知道5号面会翻到3号面的相对面，6号面折叠后IH与LK重合。这样想象会比较乱，我们沿用上题的分析方法。J点连着4、5、6三个面，J点连着JK、JE、JG、JI四条线，JK、JI会重合，重合后K点和I点重合，K点本来连着3、4号面，I点本来连着6号面，重合后的点就会连着3、4、6号面，那么K点（I点）引出的KL、IH也会重合，也就是如上图两条绿色的线。显然6号面那条斜线是从I点射出的，重合后就是应该从K点射出，而B选项中实际是从L点射出，所以B也是错误的。C选项中，我们将正面