数形结合解最值

1、 数形结合解最值四川省广元市宝轮中学 唐明友“数”转化为“形”直观，“形”结合于“数”简便，两者之间相辅相成，相互转化，“数”和“形”的这种辩证关系就是数形结合思想。本文例析运用数形结合思想解决最值问题。一.结合数轴例1.若a<b<c，试求函数y=+的最小值。分析与解：本题若用“零点区间讨论法”解，且a、b、c不是具体的数，计算起来非常麻烦。根据绝对值的几何意义，在数轴上、分别表示线段AX、BX、CX的长。现在要求+的最小值，从几何意义上理解，就是在数轴上找一点X，使点X到A、B、C三点距离之和最小。由图知，当X与点B重合时，即当x=b时该距离之和最小，y的最小值为ca。说明：如果

2、a、b、c是具体的常数，还可通过分类讨论，画出分段函数的图像，再根据图像找出最小值。二.结合直角三角形例2.求代数式+的最小值分析与解：仅从代数角度思考显然难以奏效，观察到两个根号下都是平方和的形式，自然联想到勾股定理，进而可考虑构造RtACP和RtBDP。如图，ACl于C,BDl于D,AC=2,BD=3,CD=12,P在直线l上，且PC=a(由题意a为负数或0均不是最小的，可设a>0),则PA+PB=+，因此，本题化为“在直线l上求一点P，使PA+PB的值最小”。为此，取点A关于直线l的对称点A，过点A作AEBD交其延长线于点E，连接PA、AB，则原式=PA+PB=PA+PBAB=13

3、因此，原式的最小值是13。说明：本题亦能构造平面直角坐标系，求代数式的最小值，相当于要在x轴上求一点（a,0）,使它到（2,0）和（12，3）这两点的距离的和最短，请同学们去思考。三.结合二次函数例3.如图，在ABC中，AB+AC=12，ADBC于D，且AD=3，O是ABC的外接圆，当AB的长为多少时，O的面积最大？并求O的最大面积。分析和解：由于ABC形状不确定，O的面积也会随之变化，应设法先找出AB与半径的关系，再利用二次函数求最值。作直径AE，连接BE，则ABE=90,又由ADBC得ADC=90,即ABE=ADC=90，而E=C，ADCABE=设AB=x，O的半径为y，则有=,整理得：y

4、=-x+2x=-(x-6)+6(3x9)因此当AB的长为6时，O的面积最大，其最大面积为36。说明:运用二次函数求最值时，有时自变量不一定取顶点的横坐标时函数获得最值，要注意考虑自变量的取值范围。四.结合一次函数例4.为完成一次实地测量任务，夏令营的同学们成立了一支测绘队，需要24人参加测量，20人参加计算，16人参加绘图。测绘队中很多人是多面手，有8人既参加了测量又参加了计算，有6人既参加了测量又参加了绘图，有4人既参加了计算又参加了绘图。另有一些人三项都参加了。请问这支测绘队至少有多少人？分析和解:读罢本题有很多人都搞糊涂了吧，如果采用图示表其意（称为韦恩图）将会一目了然。设三项工作都参加

5、的人数为x，总人数为y,列出一次函数为：y=(10-x)+(8-x)+（6-x）+4+6+8+x,整理得y=42-2x，0x6,3042-2x42,亦即30y42因此，测绘队人数最少为30人，此时x=6说明：图示分析法可使应用题中的已知量和未知量的关系更加直观清晰，解决问题方便快捷，同学们应能熟练运用。五.结合不等式例5.A、B、C三个工厂如图所示，它们都生产同一种产品。已知A厂年产量是B厂年产量的，B厂年产量是C厂年产量的。现在要选一地址建一个公用仓库，把三个工厂的产品都运放在该仓库中，并且总费用最省，问仓库应选在何处？并说明你的理由。分析和解:总运费应与公路里程和产量有关，设AB=c,AC

6、=b,BC=a，由题意又设A厂产量为2m,B厂产量为3m,C厂产量为5m。本题答案是：仓库地址应选在C处。理由如下：假定仓库另选一地O，设AO=x,BO=y,CO=z,则仓库在O处时总费用可表示为:2mx+3my+5mz 仓库在C处时，总费用可表示为：2mb+3ma x+zb,y+za,2mx+2mz2mb,3my+3mz3ma,将此两式相加得：2mx+3my+5mz2mb+3ma 由知，当且仅当点O与C重合时等号成立，因此，公用仓库选在C处，总费用最省。说明：对于x+zb,y+za，这里不但考虑了三角形中两边之和大于第三边，而且还考虑了两点之间线段最短。六.结合一元二次方程根的判别式例6.如

7、图，在矩形ADPE中，PD=3，PE=7,BC是过点P的动直线，与AD、AE延长线交于B、C，求ABC面积的最小值。分析和解：因直线BC是运动的，它与直线AD所成夹角也是变化的。设DBP=，则EPC=,在RtBDP中，BD=，又在RtCEP中，CE=7tanS=AB×AC=(+7)(7tan+3),整理得49tan+2(21-S)tan+9=0,又因tan是实数，=4(21-S)-4×49×90，即S（S-42）0，S>0,S42因此，ABC面积的最小值为42。说明：运用一元二次方程根的判别式的不等关系求最值，是一种常用方法，同学们应予以掌握。七.结合立体图

8、形的展开图例7.长方体ABCD-ABCD中，AB=3,BC=4,CC=5,一只小虫由A处出发沿长方体表面爬行到C，这时小虫爬行的最短路线的长度是多少？分析与解：因为小虫是沿长方体表面爬行的，所以必须将爬行的面展开到一个平面内，方可找到最短路线。共可分三种情况：（1）经过面ABCD、DCCD到C，如图（1），在RtABC中有：AC=；（2）经过面ADDA、ADCB到C，如图（2），在RtADC中有：AC=；（3）经过面AABB、BBCC到C，如图（3），在RtAAC中有：AC=比较三种结果，显然小虫爬行的最短路径的长度为。例8.如图，有一圆锥形粮堆，其主视图是边长为6的正三角形ABC，母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，小猫从B沿圆锥表面去偷袭老鼠，求小猫经过的最短路线长。分析与解：圆锥的侧面展开图是一个扇形，设其圆心角的度数为n,由题意知圆锥底面半径为×6=3，=2×3，n=180，即这个扇形是半圆AD过A作AEAB交半圆于E，取