数列的极限(1)

1、典型例题讲解例1求.分析：当n时，3n3+2n2n，4n33n2+2n1，是一个型的问题，可以设法变形，使之出现的形式。因为当a>0时，0，为此只需将分子分母同除以n3即可。解：=.例2设aR，求的值。分析：求极限时，涉及到qn型的极限，当|q|<1时，qn0；q=1时，qn1；q=1时，qn的极限不存在；|q|>1时，qn的极限也不存在。因此，在变形时，设法出现|q|<1时qn的形式，为此必须对|a|与2的大小分类讨论。解：（1）当|a|>2时，则原式=；（2）当|a|<2时，则原式=；（3）当a=2时，原式=；（4）当a=2时，原式=.例3求.分析：当n

2、时，所求的极限相当于0·型，需要设法化为我们相对熟悉的型。解：=. 说明：对于这种含有根号的0·型的极限，可以采用分子有理化或分母有理化来实现。如本题是通过对分子有理化，从而化简为，成为型。例4求.分析：当n时，分子与分母都是无穷多项的和，对于这类极限，应先求和，再求极限。解：=.例5已知，求实数m的取值范围.分析：这是一个已知极限的值求参数的范围问题，我们仍然从求极限入手来解决。解：，于是，即4<m+2<4，6<m<2.说明：在解题过程中，运用了逆向思维，由可知，的极限必为0，而qn0的充要条件是|q|<1，于是解不等式.例6若k为常数，且，

3、存在，求的值。分析：本题是在knan以及an的极限存在的情况下，求(1n)an的极限。从直觉可以感到，knan，当n时有极限1，显然knan是一个0·型的数列，可以猜测an的极限是0，所以这种猜测使我们想到必须先求出an的极限值，这样才可以用极限四则运算的法则求出的值。解：由，可得，于是，又由，得，于是=.例7数列an的前n项和记为Sn，已知an=5Sn3 (nN+)，求的值。分析：为求a1+a3+a5+a2n1当n时的极限，应先求an的表达式。从已知条件中给出的an与Sn的关系式，可以利用an=SnSn1(n2)，设法求出an的表达式。解：由a1=S1，及a1=5S13=5a13，

4、可得a1=,又n2时，an=SnSn1，则an=5Sn3，an1=5Sn13，两式相减得anan1=5Sn5Sn1=5an，an=an1，于是an是以为首项，为公比的等比数列，进而可得数列a1, a3, a5, , a2n1是以为首项，()2=为公比的无穷等比数列，=.一、选择题1有下列四个命题： （1）若an2=A2，则anA；（2）若an>0，A，则A>0；（3）若=0，则；（4）若=A，则=A2，其中正确命题的个数是（）（A）0（B）1 （C）2 （D）32等比数列an的首项为a1=1，前n项和为Sn且，则Sn等于（ ）（A）（B） （C） 2 （D）23等差数列an、bn的

5、前n项和分别为Sn、Tn，且，则=（ ）（A）1 （B） （C） （D）4已知，则的值（ ）（A）是（B）是（C）是6（D）无法确定5的值为b，则a的值（）（A）是4（B）是2 （C）是2（D）不确定二、填空题6的值等于（ ）（A）1 （B） （C） （D）07已知等差数列an公差d>0，a1>0，Sn=，则Sn8。9已知数列an，且2，则10已知a、b为常数，且=1，则a，b三、解答题11设f(x1)xx2xn，x0，x1，且f(x)中x的系数为Sn，x3的系数为Tn，求12设x是方程x2|2x1|40的正根，且f(n)=，求13已知数列an的首项a1b（b0），它的前n项和Sn=a1+a2an（nN+），并且S1，S2，Sn是一个等比数列，其公比为p （p0且|p|< l） （1）证明a2，a3，an，是一个等比数列； （2）设Wn=a1S1a2S2anSn，求