研究生课程概率ch

1、休息休息结束结束休息休息结束结束根据样本的信息检验关于总体的某个假设是否正确。 参数假设检验非参数假设检验休息休息结束结束让我们先看一个例子：让我们先看一个例子：参数假设检验参数假设检验 罐装可乐的容量按标准为355毫升。生产流水线上罐装可乐不断地封装，然后装箱外运。怎么知道这批罐装可乐的容量是否合格呢？休息休息结束结束通常的办法是进行抽样检查：通常的办法是进行抽样检查：如每隔如每隔1小时，抽查小时，抽查5罐，得到一个容罐，得到一个容量为量为5的子样（的子样（ x1，x5 ）。）。 每隔一定时间，抽查若干罐每隔一定时间，抽查若干罐 。如何根据这些值来判断生产是否如何根据这些值来判断生产是否正常

2、？正常？休息休息结束结束 在正常生产条件下，由于种种随机因素的影响，每罐可乐的容量应在355毫升上下波动。这些因素中没有哪一个占有特殊重要的地位。因此，根据中心极限定理，假定每罐容量服从正态分布是合理的。2XN(,) 休息休息结束结束要检验的假设：要检验的假设：0 H0：（ = 355）0 对立假设：对立假设：H1：0 称称 H0为原假设（零假设）；为原假设（零假设）；称称 H1为备择假设（对立假设）。为备择假设（对立假设）。在实际工作中，往往在实际工作中，往往把不轻易否定的命题作把不轻易否定的命题作为原假设。为原假设。 休息休息结束结束如何判断原假设如何判断原假设 H0 H0 是否成立？是否

3、成立？X355 不不应应太太大大X 为为的的无无偏偏估估计计X355 考考虑虑对差异作定量的分析，以确定其性质：对差异作定量的分析，以确定其性质：1. 差异可能是由抽样的随机性引起的，称为差异可能是由抽样的随机性引起的，称为“抽样误差抽样误差”或或 随机误差随机误差休息休息结束结束X3- -X355 若若较较大大合理的界限在何处？合理的界限在何处？应由什么原则来确定？应由什么原则来确定？必须认为这个差异反映了事物的本必须认为这个差异反映了事物的本质差别，即反映了生产已不正常。质差别，即反映了生产已不正常。这种差异称作这种差异称作“系统误差系统误差” 2. 休息休息结束结束带概率性质的反证法小概

4、率事件在一次试验中基本上不会发生。方法：方法：原则：原则：休息休息结束结束例例这里有两个盒子，各装有这里有两个盒子，各装有100个球。个球。另一盒中的白球和红球数另一盒中的白球和红球数99个白球个白球一个红球一个红球99个个一盒中的白球和红球数一盒中的白球和红球数99个红球个红球一个白球一个白球99个个休息休息结束结束现从两盒中随机取出一个盒子，问这个现从两盒中随机取出一个盒子，问这个盒子里是白球盒子里是白球99个还是红球个还是红球99个？个？假设：这个盒子里有假设：这个盒子里有99个白球。个白球。从中随机摸出一个：从中随机摸出一个：p=1/100 是小概率事件是小概率事件小概率事件在一次试验

5、中基本上不会发生。小概率事件在一次试验中基本上不会发生。休息休息结束结束我们有很大的把握说：我们有很大的把握说：原假设：原假设：“这个盒子里有这个盒子里有99个白球。个白球。” 不成立不成立休息休息结束结束 一般的反证法要求在原假设成立的条件一般的反证法要求在原假设成立的条件下导出的结论是绝对成立的，如果事实与之下导出的结论是绝对成立的，如果事实与之矛盾，则完全绝对地否定原假设。矛盾，则完全绝对地否定原假设。 概率反证法的逻辑是：如果小概率事概率反证法的逻辑是：如果小概率事件在一次试验中居然发生，我们就以很大件在一次试验中居然发生，我们就以很大的把握否定原假设。的把握否定原假设。休息休息结束结

6、束“小概率小概率” 该多小？该多小？ 在假设检验中，我们称这个小概率为显在假设检验中，我们称这个小概率为显著性水平，用著性水平，用 表示。表示。 的选择要根据实际情况而定。的选择要根据实际情况而定。 0.050. ,0 011. 常取常取休息休息结束结束 现在回到我们前面罐装可乐的例中：0 H0：（ = 355）0 H1：0 X355 不不应应太太大大0X355,H 太太大大时时 拒拒绝绝休息休息结束结束0HX355ZnN(0,1) 对给定的显著性水平对给定的显著性水平 ，可以在，可以在N(0,1)表表中查到分位点的值中查到分位点的值 ，使，使2z 2P| Z |z 02z 2-z 休息休息结

7、束结束也就是说也就是说,“2| Z |z ”是一个小概率事件。是一个小概率事件。W：2| Z |z 为拒绝域为拒绝域如果由样本值算得该统计量的实测值落如果由样本值算得该统计量的实测值落入区域入区域W，则拒绝，则拒绝H0 ；否则，不能拒绝；否则，不能拒绝H0 。休息休息结束结束这里所依据的逻辑是：这里所依据的逻辑是： 如果如果H0 是对的，那么衡量差异大小是对的，那么衡量差异大小的某个统计量落入区域的某个统计量落入区域 W(拒绝域拒绝域) 是个小是个小概率事件。如果该统计量的实测值落入概率事件。如果该统计量的实测值落入W，也就是说，也就是说， H0 成立下的小概率事件发生成立下的小概率事件发生了

8、，那么就认为了，那么就认为H0不可信而否定它。否则不可信而否定它。否则我们就不能否定我们就不能否定H0 （只好接受它）。（只好接受它）。休息休息结束结束 不否定不否定 H0并不是肯定并不是肯定 H0 一定对，而一定对，而只是说差异还不够显著，还没有达到足以只是说差异还不够显著，还没有达到足以否定否定 H0 的程度。的程度。所以，假设检验又叫所以，假设检验又叫“显著性检验显著性检验”。休息休息结束结束如果在如果在 很小的情况下很小的情况下 H0 仍被拒绝仍被拒绝了，则说明实际情况很可能与之有显著差了，则说明实际情况很可能与之有显著差异。异。 基于这个理由，人们常把基于这个理由，人们常把 时时拒绝

9、拒绝H0称为是显著的，而把在称为是显著的，而把在 时时拒绝拒绝H0称为是高度显著的。称为是高度显著的。0.01 0.05 休息休息结束结束假设检验的一般步骤：假设检验的一般步骤： 1. 提出原假设和备择假设；提出原假设和备择假设； 2. 取一检验统计量，在取一检验统计量，在H0成立下求出它的成立下求出它的分布；分布；3. 对给定的显著性水平对给定的显著性水平，查表确定临界值，查表确定临界值，从而得否定域从而得否定域 ； 4. 将样本值代入算出统计量的实测值将样本值代入算出统计量的实测值,并以并以此作出结论。此作出结论。休息休息结束结束 例1 某工厂生产的一种螺钉，标准要求长度是32.5毫米.

10、实际生产的产品，其长度X假定服从正态分布 未知，现从该厂生产的一批产品中抽取6件, 得尺寸数据如下:),(2 N2 32.56, 29.66, 31.64, 30.00, 31.87, 31.03问这批产品是否合格问这批产品是否合格 ?统计统计休息休息结束结束解：解：已知已知 X),(2 N2 未知。未知。01H :32.5H :32.51. 0HX32.5tt(S6n1)t(5 ) 2. 3. 得拒绝域：得拒绝域： W: |t |4.0322 W: |t |4.0322对给定的显著性水平对给定的显著性水平 =0.01 =0.01，查表，查表 20.005t(5 )t(5 ) 4.0322 计

11、算计算休息休息结束结束4. 2.33故拒绝原假设故拒绝原假设 H0 ，认为：，认为：新生产织物比过去的织物强力有显著提高。新生产织物比过去的织物强力有显著提高。=2.33计算计算休息休息结束结束单边检验：单边检验：双边检验：双边检验：0010H :H :右边检验：右边检验：0010H :H :左边检验：左边检验：0010H :H :休息休息结束结束（一）单个正态总体均值的检验（一）单个正态总体均值的检验2XN(,) 双边检验：双边检验：0010H :H :0XZnN(0,1) 检验统计量：检验统计量：拒绝域为：拒绝域为：/ 2W: Zz 1. 2 已已知知休息休息结束结束右边检验：右边检验：0

12、010H :H :拒绝域为：拒绝域为：W: Zz 左边检验：左边检验：0010H :H :拒绝域为：拒绝域为：W: Zz 休息休息结束结束2. 2 未未知知0XtSnt(n1) 检验统计量：检验统计量：双边检验：双边检验：0010H :H :拒绝域为：拒绝域为：/ 2W: tt(n1) 休息休息结束结束右边检验：右边检验：0010H :H :拒绝域为：拒绝域为：W:tt (n1) 左边检验：左边检验：0010H :H :拒绝域为：拒绝域为：W:t2250XtSnt(n1) 检验统计量：检验统计量：拒绝域为拒绝域为0.05W:tt (n1)t(15 ) 现在现在 n=16 取取 = 0.05=1

13、.7531x241.5s98.72590 xt0.6685s /n 1.7531计算计算休息休息结束结束没有落在拒绝域中，故接受H0，即认为元件的平均寿命不大于225小时。休息休息结束结束（二）两个正态总体均值差的检验（二）两个正态总体均值差的检验211XN(,) 11n( X ,X)222YN(,) 21n(Y ,Y)1. 2212,已已知知检验统计量？2111222221,XN(,/ n )N(,/ n )Y 休息休息结束结束2211122122N(,YnnX) 12221212XY-()ZnN(0,1n) 检验统计量：检验统计量：221212XYZnn 休息休息结束结束双边检验：双边检验

14、：012112H :0H :0右边检验：右边检验：012112H :0H :0拒绝域为：拒绝域为：W: Zz 左边检验：左边检验：012112H :0H :0拒绝域为：拒绝域为：W: Zz 拒绝域为：拒绝域为：/ 2W: Zz 休息休息结束结束2. 22212 =未=未知知12221212XY-()ZnN(0,1n) 1212XY-()tt11nn 12nn2222wii12i 1i 11s( XX )(YY ) nn2 ? 221X2Y121(n1) s(n1) s nn2休息休息结束结束1w21221XY-()t11snt ( nnn2 ) 检验统计量：检验统计量：w12XYt11snn

15、12nn222wii12i 1i 1221X2Y121s( XX )(YY ) nn21(n1) s(n1) s nn2其其中中休息休息结束结束双边检验：双边检验：012112H :0H :0右边检验：右边检验：012112H :0H :0拒绝域为：拒绝域为：12W:tt (nn2 ) 左边检验：左边检验：012112H :0H :0拒绝域为：拒绝域为：12W:tt (nn2 ) 拒绝域为：拒绝域为：/ 212W: tt(nn2 ) 休息休息结束结束例例4 在平炉上进行一项试验以确定改变操作方法的建议是在平炉上进行一项试验以确定改变操作方法的建议是否会增加钢的得率，试验是在同一只平炉上进行的。

16、否会增加钢的得率，试验是在同一只平炉上进行的。每炼一炉钢时除操作方法外，其它条件都尽可能做到每炼一炉钢时除操作方法外，其它条件都尽可能做到相同。先用标准方法炼一炉，然后用建议的新方法炼相同。先用标准方法炼一炉，然后用建议的新方法炼一炉，以后交替进行，各炼了一炉，以后交替进行，各炼了10 炉，其得率分别为炉，其得率分别为 （1）标准方法）标准方法 78.1 72.4 76.2 74.3 77.4 78.4 76.0 75.5 76.7 77.3 （2）新方法）新方法 79.1 81.0 77.3 79.1 80.0 79.1 79.1 77.3 80.2 82.1 设这两个样本相互独立，且分别来

17、自正态总体设这两个样本相互独立，且分别来自正态总体N(1,2)和和 N( 2,2 ) ， 1, 2,2均未知。问建均未知。问建议的新操作方法能否提高得率？（取议的新操作方法能否提高得率？（取=0.05.）返回返回休息休息结束结束计算计算解： 需要检验假设211222n = 10,x =76.23,s = 3.325,n = 10, y =79.43,s = 2.225.012112H :0H :0检验统计量：检验统计量：w12XYt11snn 分别求出标准方法和新方法下的样本均值和样本方差：拒绝域为：拒绝域为：120.05W:tt (nn2 )t(18 ) = -1.7341休息休息结束结束又

18、22212w(10-1)s +(10-1)ss = 2.77510+10-2样本观察值 t = -4.295 -1.7341，落入拒绝域，所以拒绝H0，即认为建议的新操作方法较原来的方法为优。w12xyt11snn 76.2379.434.2952.7752 / 10 休息休息结束结束（一）单个正态总体方差的检验（一）单个正态总体方差的检验2XN(,) 检验统计量：检验统计量：222(n-1)s(n1) 2220(n-1)s 休息休息结束结束双边检验：双边检验：22220010H :H :拒绝域为：2222/ 21/ 2W:(n1)or(n1) 右边检验：右边检验：22220010H :H :

19、拒绝域为：22W:(n1) 左边检验：左边检验：22220010H :H :拒绝域为：221W:(n1) 休息休息结束结束例例5 某厂生产的某种型号的电池，其寿命（以某厂生产的某种型号的电池，其寿命（以小时计）长期以来服从方差小时计）长期以来服从方差2=5000的正的正态分布，现有一批这种电池，从它的生产态分布，现有一批这种电池，从它的生产情况来看，寿命的波动性有所改变。现随情况来看，寿命的波动性有所改变。现随机取机取26只电池，测出其寿命的样本方差只电池，测出其寿命的样本方差s2=9200。问根据这一数据能否推断这批电。问根据这一数据能否推断这批电池的寿命的波动性较以往的有显著变化池的寿命的

20、波动性较以往的有显著变化（取（取=0.02）？）？解 ：本题要求在水平=0.02下检验假设2201H :5000H :5000休息休息结束结束拒绝域为：拒绝域为：222/ 20.012221/ 20.99W:(n1)(25 )or(n1)(25 ) 检验统计量：检验统计量：2592005000 2220(n-1)s =46=44.314=11.5244644.314 拒绝H0，认为这批电池寿命的波动性较以往的有显著的变化。计算计算休息休息结束结束（二）两个正态总体方差比的检验（二）两个正态总体方差比的检验211XN(,) 222YN(,) 11n( X ,X)21n(Y ,Y)2X2121(n

21、-1()sn1 2Y2222(n-1()sn1 21X12122Y222(n1)s/(n1)(n1)s/(n1) 22122X2Yss 12F( n1 ,n1 )休息休息结束结束检验统计量：检验统计量：2X2YsFs 双边检验：双边检验：2222012112H :H :拒绝域为：拒绝域为：/ 2121/ 212W: FF(n1,n1)orFF(n1,n1) 右边检验：右边检验：2222012112H :H :拒绝域为：拒绝域为：12W: FF (n1,n1) 左边检验：左边检验：2222012112H :H :112W:FF(n1,n1) 拒绝域为：拒绝域为：休息休息结束结束解： 此处 n1=

22、n2=10，=0.01，例例6 试对例试对例4中的数据检验假设：中的数据检验假设： H0: 12=22 , H1:12 22（取（取=0.01）10.1536.54=6.54检验统计量：检验统计量：2X2YSFS / 2120.0051/ 2120.995W: FF(n1,n1)F(9,9 )orFF(n1,n1)F(9,9 ) 拒绝域为：例例 4 4计算计算休息休息结束结束现在 s12=3.325 s22=2.225 故接受H0 ，认为两总体方差相等。F=s12/s22=1.49，即有，即有0.153 F 6.54休息休息结束结束例例7： 分别用两个不同的计算机系统检索分别用两个不同的计算机

23、系统检索10个资个资料料, 测得平均检索时间及方差测得平均检索时间及方差(单位单位:秒秒)如下如下:解：解：223.097,2.179,2.67,1.21,xyxyss假定检索时间服从正态分布假定检索时间服从正态分布, 问这两系统检索资问这两系统检索资料有无明显差别料有无明显差别? 根据题中条件根据题中条件, 222201 :,:.xyxyHH假设0.025(9, 9)4.03,F0.975(9, 9)0.248,F222.672.67 1.211.21xysFs取统计量(0.05)首先应检验方差的齐性首先应检验方差的齐性.休息休息结束结束0.2482.214.03,F220 , .xyH故接

24、受认为 , xy再验证01 :,:.xyxyHH假设,11 21nnSYXtw 取统计量取统计量222112212(1)(1) .2wnSnSSnn其中休息休息结束结束0, H当为真时12 (2).tt nn110,n 210,n 0.025(18)2.101,t12 11wXYtSnn因为3.0972.17910(2.67 1.21)218101.3972.101,0 , H故接受认为两系统检索资料时间无明显差别认为两系统检索资料时间无明显差别. .休息休息结束结束可能遇到这样的情形，总体服从何种理可能遇到这样的情形，总体服从何种理论分布并不知道，要求我们直接对总体分布论分布并不知道，要求我

25、们直接对总体分布提出一个假设提出一个假设 。休息休息结束结束例如，从1500到1931年的432年间，每年爆发战争的次数可以看作一个随机变量，椐统计，这432年间共爆发了299次战争，具体数据如下:战争次数战争次数X01234 223 142 48 15 4 发生发生 X次战次战争的年数争的年数上面的数据能否证实X 服从Poisson分布的假设是正确的？返回返回休息休息结束结束又如，某工厂制造一批骰子，声称它是均匀的。又如，某工厂制造一批骰子，声称它是均匀的。也就是说，在投掷中，出现也就是说，在投掷中，出现1 1点，点，2 2点，点，6 6点的概点的概率都应是率都应是1/61/6。为检验骰子是

26、否均匀，把骰子实地投。为检验骰子是否均匀，把骰子实地投掷掷60006000次，统计各点出现的次数。次，统计各点出现的次数。得到的数据能否说明“骰子均匀”的假设是可信的？休息休息结束结束再如，某钟表厂对生产的钟进行精确性再如，某钟表厂对生产的钟进行精确性检查，抽取检查，抽取100100个钟作试验，拨准后隔个钟作试验，拨准后隔2424小小时以后进行检查，将每个钟的误差（快或慢）时以后进行检查，将每个钟的误差（快或慢）按秒记录下来。按秒记录下来。该厂生产的钟的误差是否服从正态分布？休息休息结束结束 解决这类问题的工具是英国统计学家解决这类问题的工具是英国统计学家K.K.皮尔逊在皮尔逊在1900190

27、0年发表的一篇文章中引进年发表的一篇文章中引进的所谓的所谓 检验法。检验法。2 这是一项很重要的工作，不少这是一项很重要的工作，不少人把它视为近代统计学的开端。人把它视为近代统计学的开端。 K .皮尔逊皮尔逊休息休息结束结束 检验法是在总体检验法是在总体X 的分布未知时，的分布未知时，根据来自总体的样本，检验关于总体分根据来自总体的样本，检验关于总体分布的假设的一种检验方法。是一种非参布的假设的一种检验方法。是一种非参数检验。数检验。 2 休息休息结束结束我们先提出原假设我们先提出原假设: H0：总体：总体X的分布函数为的分布函数为F(x) 然后根据样本的经验分布和所假设的理然后根据样本的经验

28、分布和所假设的理论分布之间的吻合程度来决定是否接受原假论分布之间的吻合程度来决定是否接受原假设设.这种检验通常称作拟合优度检验。这种检验通常称作拟合优度检验。休息休息结束结束分布拟合的分布拟合的 检验法的基本原理和步检验法的基本原理和步骤如下骤如下:2 1. 将总体将总体X的取值范围分成的取值范围分成k个互不重迭的个互不重迭的小区间小区间,记作记作A1, A2, , Ak .2. 把落入第把落入第i个小区间个小区间Ai的样本值的个数记的样本值的个数记作作fi ，称为实测频数。所有实测频数之和，称为实测频数。所有实测频数之和f1+ f2+ + fk等于样本容量等于样本容量n。休息休息结束结束3.

29、 根据所假设的理论分布,可以算出总体X的值落入每个Ai的概率 pi ,于是 npi 就是落入Ai的样本值的理论频数。iifnp 样本与理论分布之间的差异的大小。 皮尔逊引进如下统计量表示经验分布与理论分布之间的差异:2k2iiii 1( fnp )np ?休息休息结束结束皮尔逊证明了如下定理: 若原假设中的理论分布若原假设中的理论分布F(x)已经完全给已经完全给定，那么当定，那么当 时，统计量：时，统计量：n 2k2iiii 1( fnp )np 渐近服从自由度为渐近服从自由度为 k-1 的的 分布。分布。2 2kiiii 12( fnp )np k222iiiiii 11( f2np fn

30、p )np 2kiii 1fnnp 休息休息结束结束 如果如果F(x)中有中有 r 个未知参数需用相应的个未知参数需用相应的估计量来代替，那么当估计量来代替，那么当 时，统计量时，统计量 渐近服从自由度为渐近服从自由度为 k-r-1 的的 分布。分布。2 n 2 休息休息结束结束查查 分布表可得临界值分布表可得临界值2 2 ，使得，使得 根据这个定理，对给定的显著性水平根据这个定理，对给定的显著性水平 ， 22P() 得拒绝域得拒绝域:22(k1) 22(kr1) (不需估计参数)(估计r 个参数) 如果根据所给的样本值 X1 , X2 , , Xn 算得统计量 的实测值落入拒绝域，则拒绝原假

31、设，否则就认为差异不显著而接受原假设。2 休息休息结束结束 皮尔逊定理是在n无限增大时推导出来的，因而在使用时要注意n足够大，以及npi 不太小这两个条件。 根据计算实践，要求根据计算实践，要求 n不小于不小于50，以及，以及npi 都不小于都不小于 5。 否则应适当合并区间，否则应适当合并区间，使使npi满足这个要求。满足这个要求。休息休息结束结束例例1：检验骰子是否均匀：检验骰子是否均匀我们先提出原假设我们先提出原假设: H0：总体：总体X为均匀分布为均匀分布 休息休息结束结束3.610001/694062.510001/61050412.110001/6111021.610001/696

32、050.910001/6103038.1010001/69101npipifiAi2ii(f-np ) / np228.8 20.05(5 ) 11.07120.052(5 ) 拒绝 H0骰子不均匀！骰子不均匀！休息休息结束结束例例2：检验每年爆发战争次数分布是否服从：检验每年爆发战争次数分布是否服从Poisson分布。分布。H0: X服从参数为服从参数为 的的 Poisson 分布分布 的极大似然估计为：的极大似然估计为： =0.69x 战争次战争次数数X发生发生 X次战争次战争的年数的年数22314248154例例 2 2休息休息结束结束pi的估计是：的估计是：i=0,1,2,3,40.6

33、9ii pP Xi e0.69i ! 计算结果列表如下:Xfi22314248154i pinp2iii( fnp )np 0.58 0.31 0.18 0.01 0.02 216.7 149.5 51.6 12.0 2.160.183 0.376 0.25114.161.623休息休息结束结束自由度为：自由度为：4-1-1=2=5.99120.05(2 ) = 2.43 5.991，2 认为每年发生战争的次数认为每年发生战争的次数X服从参数服从参数为为0.69的的Poisson分布。分布。不能拒绝不能拒绝 H0计算计算休息休息结束结束 在此，我们以遗传学上的一项伟大发现为例，说明统计方法在研

34、究自然界和人类社会的规律性时，是起着积极的、主动的作用。 奥地利生物学家孟德尔进行了长达八年之久的豌豆杂交试验, 并根据试验结果,运用他的数理知识, 发现了遗传的基本规律。孟德尔孟德尔休息休息结束结束子二代子二代子一代子一代黄色纯系黄色纯系绿色纯系绿色纯系 根据他的理论，子二代中根据他的理论，子二代中, 黄、绿之比黄、绿之比 近似为近似为3:1，他的一组观察结果为：他的一组观察结果为：黄黄70，绿，绿27休息休息结束结束检验孟德尔的检验孟德尔的 3:1 理论理论 :提出假设提出假设H0: p1=3/4, p2=1/4这里，这里，n=70+27=97, k=2,理论频数为：理论频数为： np1=72.75, np2=24.25实测频数为：实测频数为： f1 =70， f2 =27222iiii 1( fnp )np 统计量统计量) 1 (2 休息休息结束结束222iiii 1( fnp )np 计算计算=