数列总结与练习(非常好)

1、专题三 数列一、等差数列（一）等差数列的概念及公式：1、等差数列：如果一个数列从第二项开始，每一项与前一项的差都是同一个常数，那么这样的数列叫做等差数列，记作数列an，首项记作a1，公差记作d.，符号表示： an1and (nN*)2、通项公式an a1 +(n-1)d 。（注：等差数列的通项公式是一个关于n的一次函数，反之也对）。通项公式的推广： .3、前n项和公式Snna1d （利用这两个公式，对等差数列的五个其本量可知三求二）（二）等差数列的性质:1、若pqmn ，则有：（可推广到多项）.2、等差中项：等差数列中的三个数，则有：3、通项公式:ana1(n1)ddna1d，d0时是关于n的

2、一次函数.4、前n项和公式:Snna1d =n2(a1)n= An2Bn是关于n的、常数项为零的二次函数5、通项与前n项和的关系： 6、数列Sm，S2mSm，S3mS2m，也是等差数列，公差为m2d7、证明数列是等差数列的解答题中，常用定义法，而通项公式法和前n项和公式法主要适用于选择题、填空题中的简单判断. 8、用定义证明等差数列时，常采用两个式子an1and和anan1d，但它们的意义不同，后者必须加上“n2”，否则n1时，a0无定义.二、等比数列（一）等比数列的概念及公式：1、等比数列：一般地，一个数列从第二项起，每一项与前一项的比都是同一个常数，即q (nN*)，则这个数列就叫做等比数

3、列这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q0)2、通项公式an. 通项公式的推广： .3、前n项和公式：（利用这两个公式，对等比数列的五个其本量可知三求二）（二）等比数列的性质1、若pqmn ，则有：（可推广到多项）2、等比中项：等比数列中的三个数，则有：3、等比数列的每一项都不为零，当q<0时，为一个摆动数列，但奇数项同号，全部偶数项也同号。4、证明数列是等比数列的解答题中，常用定义法，而通项公式法主要适用于选择题、填空题中的简单判断.5、数列Sm，S2mSm，S3mS2m，也是等比数列，公比为q2三、通项公式的求法（一）公式法(定义法)：适用于等差或等比数列等差数列的通项

4、公式： ；等比数列的通项公式： （二）利用求（知求） ； 利用求一般为三步：1.当n=1时利用S1a1求出a1 2.当时，利用求出；3.检验a1的值合不合由第二步求出的的表达式, 如果不符合，则应该分n1与n2两段来写.例1：数列an中，Sn是其前n项和，若Sn2an1，(1)求的值(2)求数列的通项公式an解：（1）当n=1时，有S12a11即a12a11求得a1=1；（2）当时，Sn2an1 Sn-12an-11； 有an2an2an-1得，所以an为一以2为公比1为首项的等比数列，所以（3）经检验，也合，所以数列an的通项公式为。例2：已知数列an的前n项和为Sn，a11，Sn2an1，

5、则an= 。解：当n2时，anSnSn12an12an，所以，又由S12a2，得a2，所以an是从第2项开始的等比数列，所以an（三）形如即型（累乘法）例3：a11，anan1(n2，nN*)解：当n2，nN*时，ana1××××1××××××n，当n1时，也符合上式，所以该数列的通项公式为ann.（四）形如即型（累加法）例4：a10，an1an(2n1)(nN*)；解：ana1(a2a1)(anan1)013(2n5)(2n3)(n1)2，所以数列的通项公式为an(n1)2.（五）形如型（构造

6、法，指构造新的等比数列）方法如下：设,利用待定系数法求出A例:5：已知数列中，求通项.解：由设,解出A=-1,则所以数列构成以为首项，以为公比的等比数列所以,即 . 四、数列求和（一）直接用等差、等比数列的求和公式求Sn1等差数列的前n项和公式Snna1d.2等比数列的前n项和公式 (注意：公比含字母时一定要讨论)（二）分组求和法（多用于通项为两数列的和差形式，或通项中奇偶为不同类别的形式）例1：等差数列an中，ann2.设bn2an2n，求b1b2b3b10的值解：由题意可得bn2nn，所以b1b2b3b10(21)(222)(233)(21010)(22223210)(12310)(211

7、2)55211532 101.（三）错位相减法求和（多用于一个等差与一个等比的积或商：的求和）例如an是等差数列，bn是等比数列，求a1b1a2b2anbn的和就适用此法做法是先将和的形式写出，再给式子两边同乘或同除以公比q，然后将两式相减，相减后以“qn”为同类项进行合并得到一个可求和的数列(注意合并后有两项不能构成等比数列中的项，不要遗漏掉) 例2：已知数列an的前n项和为Sn且ann·2n，则Sn_解：Sn1×22×223×23n×2n，所以2Sn1×222×233×24n×2n1，得Sn222232nn×2n1n×2n1，所以Sn(n1)2n12.（