微积分下练习册解答

1、2007-2008微积分下练习册作业解答 Ver1.0 第六章 定积分6.1定积分的概念和性质一二三 四6.2微积分基本定理一二三.四五为极大值点， 为极小值点六1.3. 2. 4. 5. 6.3定积分的计算一1.2.3.4.5.6.二，三1.2.四1.2.3.4.6.4定积分的几何应用三1.2.约为元一1.2.1 3.4.5.二.三1.2.3. 4.5.6.6广义积分初步一1.2.3. 4.发散二三1.2.3.4.0第七章 无穷级数7.1 常数项级数的概念与性质一、1记，则，即原级数收敛，且其和为.2，即原级数收敛，且其和为4.二、（1）由，故发散.（2）若，则收敛于7.2正项级数敛散性的判

2、别一、1由及收敛知级数收敛.2由及发散知级数发散.3由及收敛知级数收敛.二、由得，即有，故由比较判别法的推论可知：若收敛，则也收敛.三、1由知，当时级数收敛，当时级数发散；当时，由，正数列单调上升，故，级数发散.2由知级数收敛.7.3任意项级数敛散性的判别一、1首先，由知级数不绝对收敛，其次由及当时单调减少（可利用函数的单调性说明，也可由直接证明不等式）知级数为条件收敛.2由及级数收敛即知原级数绝对收敛.3由及级数收敛即知原级数绝对收敛.4首先，由知级数不绝对收敛，其次由及单调减少（直接证明不等式即可）知级数为条件收敛.二、由不等式及级数与都收敛易知级数绝对收敛.7.5幂级数一、1，当时级数收

3、敛，当时级数收敛，故幂级数的收敛域为区间.2，当时级数发散，当时级数发散，故幂级数的收敛区间为.3，当时由莱布尼兹判别法易知级数收敛，当时级数发散，故所求幂级数的收敛域为区间.4由以上可知幂级数的收敛半径为1，又当时对应的级数都发散，故所求的和函数为.5，当时，有，当时，由以上可知幂级数的收敛半径为1，又当时级数收敛，当时级数发散，故所求的和函数为.6由以上可知幂级数的收敛半径为1，又当时对应的级数都发散，故所求的和函数为.又因为，故可得.第八章 多元函数微积分学8.2多元函数的概念一、1. （1） （2） 2. 3. 4. （1） （2） （3） 二、 1. （1）令，则与的取值有关，故该极

4、限不存在.（2）考虑两种不同的趋近于的方式，首先，沿直线，；其次，沿直线，两个极限不同，故该极限不存在.8.3偏导数一、1.（1）（2）2. 3. 4.5，6. 8.4全微分及其应用一1（1）（2），由对称性，2. 3. 令，则，令，则由得.4. ，体积减少了二、 1. ，故.2. 记，则，故.8.5 多元复合函数的求导法则一、12. 3. 4. 5. 6. .7. ，.8. 9. 令，则，从而二、1. ，故.2. 3. 8.6多元函数的极值与最值一、1. （1），易知对应的，故在处取极小值. （2），由知，当时在取得极大值，当时在取得极小值2. ，由得唯一驻点，由题意，知两种商品定价分别为8

5、0和120时获得的总利润最大，最大为.3.如右图，设截面梯形的腰长为，上底宽为，腰与下底之间的夹角为，则截面面积，由条件，得，由解得唯一驻点，故所求的截法为腰长8cm，与下底边夹角为60度的等腰梯形。4. 对应的拉格朗日函数为，由得唯一极值点，由题意，就是所求的极大值点，所求的极大值为.5. 求的驻点并判断后，得到极大值点，对应的极大值为，再将条件代入函数的表达式求所得一元函数的极值，得到其极小值点和极大值点，比较函数在区域内部和边界上的极值与最值，得到其在区域上的最大值为，最小值为.6. 设所求点的坐标为，则三个距离的平方和为，由易得唯一的驻点，这就是所求的点。8.7二重积分一、1、（1）型区域：型区域：（2）型区域：型区域：2.（1）型区域：型