常微分方程的求解与定性分析

1、学生实验报告（4）学生姓名陈宋学号008888同组人：无实验项目Matlab程序设计与作图必修 选修 演示性实验 验证性实验 操作性实验 综合性实验实验地点H110实验仪器台号D02指导教师谢建实验日期及节次2011-04-18第八九十节一、实验综述.归纳和学习求解常微分方程(组)的基本原理和方法； 2. 掌握解析、数值解法，并学会用图形观察解的形态和进行解的定性分析； 3. 熟悉MATLAB软件关于微分方程求解的各种命令； 4. 通过范例学习建立微分方程方面的数学模型以及求解全过程； 通过该实验的学习，使学生掌握微分方程(组)求解方法（解析法、欧拉法、梯度法、改进欧拉法等），对常微分方程的数

2、值解法有一个初步了解，同时学会使用MATLAB软件求解微分方程的基本命令，学会建立微分方程方面的数学模型。这对于学生深入理解微分、积分的数学概念，掌握数学的分析思维方法，熟悉处理大量的工程计算问题的方法是十分必要的。二、实验过程（实验步骤、记录、数据、分析）1开启MATLAB软件平台，开启MATLAB编辑窗口； 2根据问题，建立的线性规划模型，并编写求解规划模型的M文件； 3保存文件并运行； 4观察运行结果(数值或图形)，并不断地改变参数设置观察运行结果； 5根据观察到的结果和体会，写出实验报告。三、实验要求与任务 根据实验内容和步骤，完成以下实验，要求写出实验报告（实验目的问题数学模型算法与

3、编程计算结果分析、检验和结论） 1求微分方程的解析解，并画出它们的图形。y '= y + 2 x, y (0) = 1, 0< x <1；程序如下：由y=dsolve('Dy=y+2*x','y(0)=1','x')得出解析解y =-2*x-2+3*exp(x)建立函数m文件：function y=myfun4(x)y=-2*x-2+3*exp(x)画图函数为fplot('myfun4',0,1)图形如下：2求微分方程的数值解，要求编写求解程序。首先建立函数M文件：function dy=myfun5(t,y)

4、dy=zeros(2,1);dy(1)=y(2);dy(2)=0.1*(y(1).3)-y(1);输入命令：T,Y=ode15s('myfun5',0,10,0,1);plot(T,Y(:,1),'-',T,Y(:,2),'*');图形如下：3Rossler微分方程组： 当固定参数b=2，c=4时，试讨论随参数a由小到大变化（如 a(0，0.65)而方程解的变化情况，并且画出空间曲线图形，观察空间曲线是否形成混沌状？首先建立函数M文件rossler.m，在其中用x(1)表示x，用x(2)表示y，用x(3)表示z. function r=rossl

5、er(t,x) global a; global b; global c; r=-x(2)-x(3);x(1)+a*x(2);b+x(3)*(x(1)-c); 主程序如下：global a; global b; global c; b=2; c=4; t0=0,200; for a=0:0.02:0.65 t,x=ode45('rossler',t0,0,0,0); a subplot(1,2,1); plot(t,x(:,1),'r',t,x(:,2),'g',t,x(:,3),'b'); title('x(红色),y(

6、绿色),z(篮色)随t变化情况');xlabel('t'); subplot(1,2,2); plot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3) title('相图');xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z'); pause end当a=0 时，(x,y,z)收敛于（0,0.5,0.5） 当a=0.05 时，(x,y,z)仍然收敛，但收敛速度较小。 当a=0.12 时，(x,y,z)仍然收敛（准确的说，只能说具有收敛的趋势，其收敛速度已 大大降低）。 a=0.16 时，(x,

7、y,z)已经发散。但是，(x,y,z)并不是发散于无穷大，而是周期性变化。 4炮弹发射角的确定炮弹发射视为斜抛运动，已知初始速度为200m/s，若要击中水平距离360m、垂直距离160m的目标，当忽略空气阻力时，发射角应为多大？此时炮弹的运行轨迹如何？要求：(1) 建立在忽略空气阻力情况下的描述炮弹发射轨迹的数学模型； (2) 用Matlab 软件求解方程和微分方程； (3) 结合实际对解的合理性进行分析。进一步思考：如果要考虑水平方向的阻力，且设阻力与（水平方向）速度成正比，系数为0.1（1/s ），结果又如何？此时炮弹的运行轨迹如何？（1）建立模型x=200cos*ty=200sin*t-

8、1/2*9.8t2函数myfun6.m文件如下：function y=myfun6(x)y=360*tan(x)-4.9*(360/200/cos(x).2-160;建立Newton2.m函数如下：function y=newton2(x0,x1,n,tol)x(1)=x0;x(2)=x1;b=1;i=2;while(abs(b)>eps*x(i)x(i+1)=x(i)-myfun6(x(i)*(x(i)-x(i-1)/(myfun6(x(i)-myfun6(x(i-1);b=x(i+1)-x(i);i=i+1;if(i>n) error('n is full');

9、endenddisp(i-2);y=x(i);运行结果如下：（2）建立模型如下：代入初始条件可以得出x=-10*200cos*exp(-0.1t)+10*200cos建立myfun7函数如下：function y=myfun7(x)y=200*sin(x)*(-10*log(1-360/2000/cos(x)-4.9*(-10*log(1-360/2000/cos(x).2)-160建立newton2函数如下：function y=newton2(x0,x1,n,tol)x(1)=x0;x(2)=x1;b=1;i=2;while(abs(b)>eps*x(i)x(i+1)=x(i)-myfun7(x(i)*(x(i)-x(i-1)/(myfun7(x(i)-myfun7(x(i-1);b=x(i+1)-x(i);i=i+1;if(i>n) error('n is full');endenddisp(i-2);y=x(i);运行结果如下