平面向量十一种类型

1、 平面向量专题高考真题类型一：向量的坐标表示类型二：几何形状类型三：比值类型四：系数的计算类型五：数量积类型六：夹角的计算类型七：面积计算类型八：长度的计算类型九：三点共线恒等式类型十：基底系数判断类型十一：求最值问题 高考真题2011年10（5分）（2011江苏）已知，是夹角为的两个单位向量，=2，=k+，若=0，则实数k的值为 ABCEFD2012年 9如图，在矩形ABCD中，点E为BC的中点，点F在边CD上，若，则的值是 2013年 10设分别是的边上的点，若（为实数），则的值为 2014年 12（5分）（2014江苏）如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，=3，=2，则

2、的值是_2015年 6.已知向量a=，b=, 若ma+nb=(), 则的值为_.2016年 13.如图，在中，是的中点，是上两个三等分点，则的值是 （偏于向量表示和运算） 2017年 12如图，在同一个平面内，向量，的模分别为1，1，与的夹角为，且=7，与的夹角为45°若，则 （偏于向量分解）【答案】3【解析】由可得，根据向量的分解，易得，即，即，即得，所以【考点】向量表示【名师点睛】（1）向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数、方程、不等式的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数、方程、不等式问题（2）以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不

3、等式、三角函数等相结合的一类综合问题通过向量的坐标运算，可将原问题转化为解不等式或求函数值域的问题，是此类问题的一般方法（3）向量的两个作用：载体作用，关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；工具作用，利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题2018年12. 在平面直角坐标系中，A为直线上在第一象限内的点，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D若，则点A的横坐标为_（偏于综合）【答案】3【解析】分析：先根据条件确定圆方程，再利用方程组解出交点坐标，最后根据平面向量的数量积求结果.详解：设，则由圆心为中点得易得，与联立解得点D的横坐标所以.所以，由得或，因为，所

4、以点睛：以向量为载体求相关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法. 类型一：向量的坐标表示1.如图所示，在ABC中，3，若a，b，则_(用a，b表示)2已知ABCD的顶点A(1，2)，B(3，1)，C(5,6)，则顶点D的坐标为_答案(1,5) 有无三种可能性？解析设D(x，y)，则由，得(4,1)(5x,6y)，即解得3.已知点A(1,5)和向量a(2,3)，若3a，则点B的坐标为_ 设点B的坐标为(x，y)，则(x1，y5)由3a，得解得4.,在ABC中，点P在

5、BC上，且2，点Q是AC的中点，若(4,3)，(1,5)，则_. 33(2)63(6,30)(12,9)(6,21)5.已知平面向量a(1,2)，b(2，m)，且ab，则2a3b_.由a(1,2)，b(2，m)，且ab，得1×m2×(2)，即m4.从而b(2，4)，那么2a3b2(1,2)3(2，4)(4，8)6.已知梯形ABCD，其中ABCD，且DC2AB，三个顶点A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则点D的坐标为_在梯形ABCD中，ABCD，DC2AB，2.设点D的坐标为(x，y)，则(4,2)(x，y)(4x,2y)，(2,1)(1,2)(1，1)，(4x,2y

6、)2(1，1)，即(4x,2y)(2，2)，解得故点D的坐标为(2,4)7.若三点A(1，5)，B(a，2)，C(2，1)共线，则实数a的值为_答案解析(a1,3)，(3,4)，根据题意，4(a1)3×(3)，即4a5，a.8.已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，则AC与OB的交点P的坐标为_答案(3,3)解析方法一由O，P，B三点共线，可设(4，4)，则(44,4)又(2,6)，由与共线，得(44)×64×(2)0，解得，所以(3,3)，所以点P的坐标为(3,3)方法二设点P(x，y)，则(x，y)，因为(4,4)，且与共线，所以，即xy.又(x4，

7、y)，(2,6)，且与共线，所以(x4)×6y×(2)0，解得xy3，所以点P的坐标为(3,3)类型二：几何形状1.若点O是ABC所在平面内的一点，且满足|2|，则ABC的形状为_2.已知平面上有四个互异点A、B、C、D，若(2)·()0，则ABC的形状为_类型三：比值1.如图所示，在ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN2NC，AM与BN相交于点P，求APPM的值类型四：系数的计算1.如图，在四边形ABCD中，AB2AD1，AC，且CAB，BAD，设，则_.2.已知：如图，|1，与的夹角为120°，与的夹角为30°，若(、R)，则

8、等于_3.设两个向量a(2，2cos2 )和b，其中，m，为实数若a2b，则的取值范围是_4.如图，在边长为单位长度的正六边形ABCDEF中，点P是CDE内(包括边界)的动点，设(，R)，则的取值范围是_解析不妨以点A为原点，AD所在直线为x轴建立直角坐标系，设P(x，y)则(x，y)，2x，当点P在CE上时，3，当P在D点时，4.5.已知ABC为等边三角形，AB2.设点P，Q满足，(1)，R，若·，则_.类型五：数量积 1. 设E、F分别是RtABC的斜边BC上的两个三等分点，已知AB3，AC6，则·_.2.若等边三角形ABC的边长为2，平面内一点M满足，则·_

9、.3.设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若(3bc)cos Aacos C，SABC，则·_.4.在ABC中，a，b，c，且|a|1，|b|2，|c|，则a·bb·cc·a_.5. 如图，ABC的外接圆的圆心为O，AB2，AC3， BC，则·_. 类型六：夹角的计算1.已知向量a，b满足(a2b)·(ab)6，且|a|1，|b|2，则a与b的夹角为_2.已知非零向量a，b满足|ab|ab|a|，则ab与ab的夹角为_3.已知平面向量a、b，|a|1，|b|，且|2ab|，则向量a与向量ab的夹角为_解析 |2ab|24

10、|a|24a·b|b|27，|a|1，|b|，44a·b37，a·b0，ab.如图所示，a与ab的夹角为COA，tanCOA，COA，即a与ab的夹角为. 答案 类型七：面积计算1.已知O是ABC的内部一点，0，·2，且BAC60°，则OBC的面积为_解析由·|cos 60°2，得|4，SABC|sin 60°，由0知，O是ABC的重心，所以SOBCSABC.答案类型八：长度的计算1.已知向量p的模为，向量q的模为1，p与q的夹角为，且a3p2q，bpq，则以a，b为邻边的平行四边形的长度较小的对角线长为_解析由题

11、意可知较小的对角线为|ab|3p2qpq|2p3q| .答案类型九：三点共线恒等式1.如图，已知点G是ABC的重心，过G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且x，y，则的值为_易知，xy，故.由于与共线，所以yx，即xy(xy)，因此.2.如图，经过OAB的重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设m，n，m，nR，则的值为_答案3解析设a，b，由题意知×()(ab)，nbma，ab，由P，G，Q三点共线得，存在实数，使得，即nbmaab，从而消去得3.类型十：基底系数判断1.设G为ABC的重心，且sin A·sin B·sin C·0，则B的大

12、小为_答案60°解析G是ABC的重心，0，()，将其代入sin A·sin B·sin C·0，得(sin Bsin A)(sin Csin A)0.又，不共线，sin Bsin A0，sin Csin A0，则sin Bsin Asin C根据正弦定理知bac，ABC是等边三角形，则角B60°.2. 已知点p在所在的平面内，若，则与的面积比值为 3. 在中，则类型十一：求最值问题1.设(2,4)，(a,2)，(b,0)，a>0，b>0，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则的最小值为_答案解析由题意得(a2，2)，(b2，4)，又，所以(a2，2)(b2，4)，即整理得2ab2，所以(2ab)()(3)(32)(当且仅当ba时，等号成立)2. 给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的上运动若xy，其中x，yR，求xy的最大值思维点拨