[VIP专享]第十二章

1、2012高中数学复习讲义 第十二章导数及其应用第1课导数的概念及运算【考点导读】1. 了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等);2. 掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念；3. 熟记基本导数公式；4. 掌握两个函数和、差、积、商的求导法则 ；1 .一物体做直线运动的方程为s 1 t t 2, s的单位是 m, t的单位是s ,该物体在3秒末的瞬时速度是5m / s。5. 在函数y x3 8x的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是43 .已知 y sin x , x (,),则当 y'2 时，x 2。1 cos

2、x3 .4 .已知 f ( x) a x xa ,则 f (1) a In a a 2。5 .已知两曲线 yx3 ax和y x2 bx c都经过点P ( 1,2 )，且在点P处有公切线，试求 a,b,c 值。例2 .如果曲线y x3 x 10的某一切线与直线y 4x 3平行，求切点坐标与切线方程.分析：本题重在理解导数的几何意义：曲线y f ( x)在给定点 P( xo , f (xo )处的切线的斜率k f (xo )，用导数的几何意义求曲线的斜率就很简单了。解：切线与直线y 4x 3平行，斜率为4又切线在点xo的斜率为yx xo(x3x1o) |xx3xo2 1o3x。21 4 xo1xo

3、1或xo1yo8yo12二切点为(1,-8 )或(-1 ,-12)切线方程为y84( x1)或y124(x1)即y4x 12 或 y 4x 8点评：函数导数的几何意义揭示了导数知识与平面解析几何知识的密切联系，利用导数能解决许多曲线的切线问题，其中寻找切点是很关键的地方。变题：求曲线 y 2x x3的过点 A(1,1)的切线方程。答案：x y 20,5 x 4 y 10点评：本题中“过点A(1,1)的切线”与“在点A(1,1)的切线”的含义是不同的，后者是以A为切点，只有一条切线，而前者不一定以A为切点，切线也不一定只有一条，所以要先设切点，然后求出切点坐标，再解决问题。第2课导数的应用 A【

4、考点导读】1.通过数形结合的方法直观了解函数的单调性与导数的关系，能熟练利用导数研究函数的单调性；会求某些简单函数的单调区间2 .结合函数的图象，了解函数的极大(小)值、最大(小)值与导数的关系；会求简单多项式函数的极大 (小)值，以及在指定区间上的最大(小)值。【基础练习】1 .若函数 f ( X)mx n是R上的单调函数，则m,n应满足的条件是m 0, n R 。2 .函数 2 33 2125在0，3上的最大值、最小值分别是5，- 15y x x x1 (4 .函数f ( x) sin x x,( x 0, 2 )的最大值是，最小值是 0。2 5 .函数f ( x) x2 ex的单调递增区

5、间是 (- X ,-2)与(0,+ X) 。【范例导析】例1. f ( x)x3 3x2 2在区间 1,1上的最大值是 一2解：当-1 x 0 时，f(X)0，当 0 x 1 时，f ( x) 0,0的点是否是极值点还取决与该点两侧的单调性，导数f (x)x3所以当x = 0时，f ( x)取得最大值为 2。 点评：用导数求极值或最值时要掌握一般方法，导数为 为0的点未必都是极值点，如：函数例2 .求下列函数单调区间：(1) y f (x)x31 x2 2x 5(3) y k 2 x (k 0)x(4) y 2x 2 in x解：(1) V y3x2x 2(3x2)( x 1) x(,2 )

6、(1 ,)时y03/ 22、2八x (,1) y0(,=)，(1, )(,1)333x21(2) yx 2-(,0),(0,)(3) y 1 x (,k )(k ,) y0 , x ( k , 0) ( 0 , k) y0x 2二(,k) , (k ,)(k , 0)，(0 , k )/c 1/ 1(4) y 4 x 14 x2 1 定义域为(0,)x(0,) y0x (xx22点评：熟练掌握单调性的求法，函数的单调性是解决函数的极值、最值问题的基础f(x)的极值。例3.设函数f(x)=2x3 3(a 1)x2 1,其中a 1. (i)求f(x)的单调区间；(u)讨论0, X2a 1。解：由已

7、知得 f ( X)6x x ( a 1)，令f (x)0，解得1)上单调递增;(i)当 a 1 时，f ( x) 6x2 , f ( x)在(当a 1时，f ( x) 6x x a1, f (x), f (x)随x的变化情况如下表:x(,0)0(0, a 1)a 1(a 1,)f ' ( x)+00f ( x)A极大值A极小值A从上表可知，函数f ( x)在(,0)上单调递增；在 (0, a 1)上单调递减；在 (a 1,)上单调递增(H)由(i)知，当 a 1时，函数f ( x)没有极值;当a 1时，函数f (x)在x 0处取得极大值，在x a 1处取得极小值1 (a 1)3。点评：

8、本小题主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的 能力。【反馈演练】1 .关于函数f ( x)2x 3 6x27，下列说法不正确的是(4)(1 )在区间(,0)内，f ( x)为增函数(2)在区间(0,2)内，f (x)为减函数(3)在区间(2 ,)内，f (x)为增函数(4)在区间(,0)(2,)内，f (x)为增函数2 .对任意x，有f '(x) 4x 3,f (1)1 ,则此函数为()42。3 函数y=2x 3-3x 2-12x+5在0,3上的最大值与最小值分别是5,-15。4 .下列函数中， x0是极值点的函数是 (2) 。32(1) y

9、x3( 2) y cos2 x( 3) y tan x x(4) y =1x5.下列说法正确的是(4)。(1)函数的极大值就是函数的最大值(2)函数的极小值就是函数的最小值(3)函数的最值一定是极值(4)在闭区间上的连续函数一定存在最值6 .函数f ( x) x3 3x2 5的单调减区间是一0, 2。7 .求满足条件的 a的范围：(1 )使y sin x ax为R上增函数；(2)使y x3 ax a为R上的增函数；(3 )使 f ( x)ax3 x 2 x 5为R上的增函数。解：(11： y cos x a由题意可知： y 0对 x R都成立又当a 1时y sin x x也符合条件1 ,)(2

10、)同上 a 0 ,1)(3)同上 a ,)3第3课导数的应用 B【考点导读】1.深化导数在函数、不等式、解析几何等问题中的综合应用，加强导数的应用意识。2 .利用导数解决实际生活中的一些问题，进一步加深对导数本质的理解，逐步提高分析问题、探索问题以及 解决实际应用问题等各种综合能力。(1)(3)4.把长为60cm的铁丝围成矩形，要使矩形的面积最大，贝V长为15cm ，宽为15cm 。【基础练习】1 .若f (x)是在l ,1内的可导的偶函数，且f (x)不恒为零，则关于f (x)下列说法正确的是(4)(1)必定是l , l内的偶函数(2)必定是,l内的奇函数(3)必定是l ,1内的非奇非偶函数

11、(4 )可能是奇函数，也可能是偶函数2 . f (x)是f ( x)的导函数，f (x)的图象如右图所示，则f ( x)的图象只可能是(4)【范例导析】例1 .函数f (x)x3 ax2 bx c，过曲线y f ( x)上的点P(1, f (1)的切线方程为y 3x 1(1 )若y f ( x)在x 2时有极值，求 f ( x)的表达式；(2 )在(1 )的条件下，求y f (x)在3 , 1上最大值；(3)若函数y f ( x)在区间2,1上单调递增，求b的取值范围解：( 1)由 f ( x) x 3 ax 2 bx c 求导数得:f ( x ) 3 x 22 ax b过y f ( x)上点

12、P(1, f (1)的切线方程为:y f (1) f (1)( x 1)即 y ( a b c 1)(3 2a b)( x 1)而过y f ( x)上P (1, f (1)的切线方程为:y 3x 1故 2a b 3 即 2a b 0(1)a b c 21ab c3(2)y f ( x)在 x2时有极值,故f (2) 04a b12由(1)( 2)( 3)相联立解得a2,b4,c 5f ( x) x 32 x24 x5(2) ( ) 3 223 244 (32)( 2)f xxaxbxxxx3, 2)f ( x) f ( x)f ( x)极大f (1)13(3) y f (x)r/ o3极大极/

13、小4=9 '2) ( 2)1 2( 2/4("2!)5131 41 54 / f (x)在3,1二最大值为 130+A(2,13(2, 2 )3又 f ( x)3x22ax b,由(1)知 2a b 0f ( x) 3x2 bx b依题意f ()在1x在2,1上恒有1f ()x0,在xb16时,f (x)小f(1) 3b在xb2时,f ( x)小f ( 2)126在b时12bb22 61 , f ( x)小一12综合上述讨论可知，所求参数b取值范围是：b > 03 2 bx 即xbxb0 2,1上恒成立在b 0b62b b0b0 则0b6.点评：本题把导数的几何意义与单

14、调性、极值和最值结合起来，属于函数的综合应用题。例2 .请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥(如右图所示)。试问当帐篷的顶点0到底面中心 01的距离为多少时，帐篷的体积最大?分析：本题应该先建立模型，再求体积的最大值。选择适当的变量很关键，设解：设°°1 x(m),则由题设可得正六棱锥底面边长为(单位：m )。于是底面正六边形的面积为(单位：m2)：332 ( x 1)2 6A A( 8 2x x 2 )23 3 (8 2x x 2 )3帐篷的体积为(单位：m )：3 N2 1V ( x) 3(8 2x x ) (x3 (1

15、612x x 3 )°°1的长度会比较简便。232求导数，得V ( x)3(12 3x2 )；2令V (x)0解得x=-2(不合题意，舍去),x=2当1<x<2时，V ( x) 0 ,V(x)为增函数；当 2vx<4时，V (x)0 ,V(x)为减函数。所以当x=2时,V(x)最大。答：当00为2m时，帐篷的体积最大。1点评：本题是结合空间几何体的体积求最值，加深理解导数的工具作用，主要考查利用导数研究函数的最大 值和最小值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力。【反馈演练】1 .设f ( x)是函数 f (x)的导函数，将y f ( x)和y f

16、 ( x)的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的O2.已知二次函数f (x)ax bx c的导数为f的最小值为3。f '(0)2n3 .若0 X，则下列命题正确的是(3)2f '(x) , f '(0)0，对于任意实数x都有f(X)0，则(1) sin x 2 xn(2) sin x 2 xn(3) sin x 3 xn(4) sin x 3 xn14 .函数f ( x) x In x(x 0)的单调递增区间是ef ( x)且在点M ( 1 , f (- 1)处的切线方程为6x y 7 0.(I)求函数y=f(x)的解析式；(H)求函数y=f(x)的单调区间.解：(

17、I)由 f(x)的图象经过P (0, 2)，知 d=2 ,所以 f ( x) x 3bx2 cx 2,f ( x)3x2 2bx c.由在 M(-1,f(-1)处的切线方程是 6x y7 0，知63 2b c 6,即 2b c3,1 b c 2 1b c 0,解得b c3.故所求的解析式是f ( x) x3 3x2 3x2.(H) f ( x) 3x 26x 3.令 3x26 x 30,令 x 22x 1 0.解得 X112, X2jl1 2.jr当x 12,或x12 时,f ( x) 0;当 12 x 12 时，f ( x) 0.5.已知函数f (2)内是增函数，在(1 "2,1

18、v 2)内是减函数，在(1初2,)内是增函数. 点评：本题考查函数的单调性、导数的应用等知识，考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力.故 f ( x)在(,1x3bx2 cx d的图象过点P (0, 2),1)7 0,即 f ( 1)1, f ( 1) 6.钢板切记I2r6 .如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为2r，短半轴长为 r，计划将此割成等腰梯形的形状，下底 AB是半椭圆的短轴，上底 CD的端点在椭圆上，CD 2x，梯形面积为 S .(I )求面积S以x为自变量的函数式，并写出其定义域;(II )求面积S的最大值.解：(I )依题意，以 AB的中点O为原点建立直角坐标系O xy (如图)，则点C的横坐标为x .点C的纵坐标y满足方程1( y > 0),r 2 4r 2尸22=