高三第一轮复习—离散型随机变量

1、【本讲教育信息】一. 教学内容：高三复习专题：（1）离散型随机变量及其分布列（2）条件概率及事件的独立性（3）离散型随机变量的期望与方差 二. 考纲要求（l）理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性 （2）理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用 （3）了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解 n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题 （4）理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题 三. 知识分析【知识梳理】1、随机变量的概念如果随机试验

2、的结果可以用一个变量X表示，并且X是随着试验的结果的不同而变化的，那么这样的变量X叫随机变量，随机变量常用希腊字母X、Y、 表示。如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量2、离散型随机变量的分布列设离散型随机变量X可能取得的值为，X取得每一个值的概率为，则称表为离散型随机变量X的概率分布，或称为离散型随机变量X的分布列离散型随机变量X的分布列的性质：（1）      （2）一般的，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和。3、二点分布如果随机变量X的分布列为  &#

3、160;              ，其中，则称离散型随机变量X服从参数为的二点分布4、超几何分布一般的，设有总数为N件的两类物品，其中一类有n件，从所有物品中任取M件（MN），这M件中所含这类物品的件数X是一个离散型随机变量，它取值为m时的概率为（，为n和M中较小的一个）。我们称离散型随机变量X的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X服从参数为N，M，n的超几何分布5、条件概率一般地，设A，B为两个事件，且，称为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率。一般把读

4、作“A发生的条件下B的概率”    古典概型中，若用表示事件A中基本事件的个数，则。6、条件概率的性质条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在0和1之间，即。如果B和C是两个互斥事件，则.7、事件的独立性设A，B为两个事件，如果，则称事件A与事件B相互独立，并把A，B这两个事件叫做相互独立事件。两点说明：（1）“互斥”与“相互独立”的区别与联系相同点不同点都是描绘两个事件间的关系“互斥”强调不可能同时发生，“相互独立”强调一个事件的发生与否对另一事件发生的概率没有影响。“互斥”的两个事件可以“独立”，“独立”的也可互斥。（2）在解题过程中，要明确事件中的“至

5、少一个发生”、“至多有一个发生”、“恰有一个发生”、“都发生”、“都不发生”、“不都发生”等词语的意义，已知两个事件A、B，它们的概率分别为P(A)，P(B)，那么：A、B中至少有一个发生的事件为A+B；A、B都发生的事件为ABA、B都不发生的事件为；A、B恰有一个发生的事件为；A、B中至多有一个发生的事件为+。它们之间的概率关系如下表所示 A、B互斥A、B相互独立P（A+B）P（A）+P（B）1-P（）P（）P（AB）0P（A）P（B）P（）1-P（A）+P（B）P（）P（）P（）P（A）+P（B）P（A）P（）+P（）P（B）P（+）11-P（A）P（B）8、独立重复试验一般地，

6、在相同条件下，重复地做n次试验称为n次独立重复试验在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为，1，2，n，其中p是一次试验中该事件发生的概率，实际上，正好是二项式的展开式中的第项。9、二项分布若将事件A发生的次数设为X ，事件A不发生的概率设为，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率是（其中k = 0，1，2，n)，于是得到X的分布列：由于表中的第二行恰好是二项式展开式各对应项的值，则称这样的离散型随机变量X服从参数为n，p的二项分布，记为。10、期望设一个离散型随机变量X所有可能取的值是，这些值对应的概率是，则叫做这个离散型随机变量X的均值或数学期望（简称期望）（1）离散型

7、随机变量的数学期望刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平，是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均。（2）是一个实数，即X作为随机变量是可变的，而是不变的，它描述X取值平均状态（3）数学期望的性质当随机变量为常数时，；当离散型随机变量时，；当离散型随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布时，则。11、方差设一个离散型随机变量X所有可能取的值是，这些值对应的概率是，则 叫做这个离散型随机变量X的方差。的算术平方根叫做离散型随机变量X的标准差。（1）离散型随机变量的方差（包括标准差）反映了离散型随机变量取值相对于期望的平均波动大小（或说离散程度），它反映了X取值的稳定性 越大表明平均

8、偏离程度越大，说明X的取值越分散，反之越小，X的取值越集中，在附近统计中常用来描述X的分散程度（2）与一样也是一个实数，由X的分布列唯一确定。（3）方差的性质：若X服从二点分布，则；若X服从二项分布则，。 【典型例题】例1. 一袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，现从中随机取出3个球，以X表示取出球的最大号码，求X的分布列分析：随机取出3个球的最大号码X的所有可能取值为3，4，5，6，“X = 3”对应事件“取出的3个球的编号为1，2，3”；“X = 4”对应事件“取出的3个球中恰取到4号球和1，2，3号球中的2个”；“X = 5”对应事件“取出的3个球中恰取到

9、5号球和1，2，3，4号球中的2个”；“X = 6”对应事件“取出的3个球中恰取到6号球及1，2，3，4，5号球中的2个”而要求其概率则要利用等可能事件的概率公式和排列组合知识来求解，从而获得X的分布列解析：随机变量X的可能取值为3，4，5，6。从袋中随机地取3个球，包含的基本事件总数为，事件“X=3”包含的基本事件总数为，事件“X= 4”包含的基本事件总数为；事件“X=5”包含的基本事件总数为；事件“X=6”包含的基本事件总数为；从而有，随机变量X的分布列为X3456P点评：确定离散型随机变量X的分布列的关键是要搞清X取每一个值对应的随机事件进一步利用排列组合知识求出X取每个值的概率

10、0;例2. 袋中有1只红球和9只白球，每次从袋中任取一球，取后放回，直到取得红球为止，求取球次数X的分布列分析：袋中虽然只有10个球，由于每次任取一球，取后又放回，因此应注意如下几点：    （1）一次取球两个结果：取红球（A）或取白球（），且P (A)0.1；    （2）取球次数X可能取1，2，；    （3）由于“取后放回”，因此各次取球相互独立解析：X的所有可能取值为：1，2，n，令表示第k次取得红球，则由于每次取球相互独立，且取到红球的概率为p = 0.1，于是得：，因此分布列为X123k P点

11、评：此例进一步抽象可表述为：在每次试验时，若事件A发生的概率为p，发生的概率为，则事件A首次发生的试验次数X是一个随机变量，它的取值为1，2，n，其分布列称为几何分布。 例3. 有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，求这粒种子能成长为幼苗的概率分析：解决好概率问题的关键是分清属于哪种类型的概率，该例中的幼苗成活率是在出芽后这一条件下的概率，属于条件概率解析：设种子发芽为事件A，种子成长为幼苗为事件AB（发芽，又成活为幼苗），出芽后的幼苗成活率为：根据条件概率公式，即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.2.点评：在解决条件概率问题时，要灵活掌握

12、之间的关系，即。     例4. 甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率都是08，计算：（1）两人都击中目标的概率； （2）其中恰有一人击中目标的概率；（3）至少有一人击中目标的概率分析：因甲、乙两人分别击中目标是相互独立的，故应利用独立事件求概率的方法解决解析：记“甲射击一次，击中目标”为事件A，“乙射击一次，击中目标”为事件B。 “两人都击中目标”是事件；“恰有1人击中目标”是或；“至少有1人击中目标”是或或.（1）显然，“两人各射击一次，都击中目标”就是事件，又由于事件A与B相互独立，所以 .（2）“两人各射击一次，恰好有一人击中目标”包

13、括两种情况：一种是甲击中乙未击中（即），另一种是甲未击中乙击中（即)，根据题意，这两种情况在各射击一次时不可能同时发生，即事件与是互斥的，所以所求概率为：。（3）方法一：“两人各射击一次，至少有一人击中目标”的概率为方法二：“两人都未击中目标”的概率是至少有一人击中目标的概率为点评：（1）审题应注意关键的词，例如“至少有一个发生”、“至多有一个发生”、“恰好有一个发生”等   （2）复杂问题可考虑拆分为等价的几个事件的概率问题，同时结合对立事件的概率求法进行求解   （3）求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有：   &#

14、160; 利用相互独立事件的概率乘法公式；     正面计算较繁或难以入手时，可以从对立事件入手计算  例5. 某单位6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是0.5（相互独立）（1）求至少3人同时上网的概率；（2）至少几人同时上网的概率小于0. 3 ？分析：因为6个员工上网都是相互独立的，所以该题可归结为n次独立重复试验与二项分布问题解析：（1）方法一：记“有r人同时上网”为事件A r，则“至少3人同时上网”为事件A 3+A 4+A 5+A 6，因为A 3，A 4，A 5，A 6为彼此互斥事件，所以可应用概率加法公式，得“至少3人同时

15、上网”的概率为。方法二：“至少3人同时上网”的对立事件是“至多2人同时上网”，即事件A 0 +A 1+A2因为A 0，A1，A 2是彼此互斥的事件，所以“至少3人同时上网”的概率为。方法三：至少3人同时上网，这件事包括3人，4人，5人或6人同时上网，则记至少3人同时上网的事件为A，X为上网人数：则。（2）方法一：记“至少r个人同时上网”为事件B r，则 B r的概率P(B r) 随r的增加而减少依题意是求满足P(B r) < 0.3的整数r的最小值因为，所以至少4人同时上网的概率大于0.3，所以至少5人同时上网的概率小于0.3。方法二：由（1）知至少3人同时上网的概率大于0.3，至少4人

16、同时上网的概率为，至少5人同时上网的概率为，所以至少5人同时上网的概率小于0.3.点评：（1）独立重复试验，是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验在这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的（2）在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为，此时称随机变量X服从二项分布，在利用该公式时，一定要审清是多少次试验中发生k次的事件，如本题中“有3人上网”可理解为6次独立重复试验恰有3次发生，即n = 6，k = 3。 例6.

17、 一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是。（1）设X为这名学生在途中遇到红灯的次数，求X的分布列；（2）设Y为这名学生在首次停车前经过的路口数，求Y的分布列；（3）求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率解析：（1）将通过每个交通岗看做一次试验，则遇到红灯的概率为，且每次试验结果是相互独立的，故，以此为基础求X的分布列由，所以X的分布列为k=0，1，2，3，4，5，6。（2）由于Y表示这名学生在首次停车时经过的路口数，显然Y是随机变量，其取值为0，1，2，3，4，5。其中：表示前k个路口没有遇上红灯，但在第k+1个路口遇上

18、红灯，故各概率应按独立事件同时发生计算，而表示一路没有遇上红灯，故其概率为，因此Y的分布列为：Y0123456P（3）这名学生在途中至少遇到一次红灯的事件为，所以其概率为。点评：解决离散型随机变量分布列问题时，主要依靠概率的有关概念和运算，其关键是要识别题中的离散型随机变量服从什么分布，像本例中随机变量X表示遇到红灯次数，而每次遇到红灯是相互独立的，因此这是一个独立重复事件，符合二项分布，即。分布列能完整地刻画随机变量X等相应概率的变化情况，在分布列中第一行表示X的所有可取值，第二行对应的各个值（概率值）必须都是非负实数且满足其和为1。 例7. 袋中有4只红球，3只黑球，今从袋中随机

19、取出4只球，取到一只红球得2分，取得一只黑球得1分，试求得分X的数学期望分析：要求数学期望，首先要求出各个得分的概率，而本题直接考察得分比较复杂，本题可从取出的4只球颜色的分布入手。解析：取出4只球颜色分布情况是：4红得8分，3红1黑得7分，2红2黑得6分，1红3黑得5分，因此，。点评：求出期望后，可粗略估计一下，计算的结果是否符合实际情况。如果此题的结果超过8分或低于5分，那么结果肯定有问题，估算结果能力强的，范围还可进一步缩小解题时应注意合情估计，以避免不必要的错误 例8. 英语考试有100道选择题，每题4个选项，选对得1分，否则得0分，学生甲会其中的20道，学生乙会其中的80道

20、，不会的均随机选择，求甲、乙在这次测验中得分的期望分析：甲、乙分别会20道和80道，故甲、乙分别从剩下的80道和20道中随机选择，因为有4个选项，只有一个答案正确并且每一个选项被选出的概率相等，故甲、乙剩下不会题的猜对个数（猜对分数）是随机变量，分别设为X，Y，可知，解析：设甲、乙不会题得分分别为随机变量X和Y.    由题意知，    故这样甲、乙期望成绩分别为40分和85分 例9. 甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等，这两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为试

21、评定这两个保护区的管理水平分析：要比较两个保护区的管理水平，可先比较甲、乙两个保护区的平均管理水平，然后再看它们管理水平的稳定性解析：甲保护区的违规次数X l的数学期望和方差为：，。乙保护区的违规次数的数学期望和方差为：，。因为，所以两个保护区内每季度发生的违规平均次数是相同的，但乙保护区内的违规事件次数更集中和稳定，而甲保护区的违规事件次数相对分散和波动，所以乙保护区的管理水平相对要好点评：数学期望体现了随机变量取值的平均大小，但有时仅知道均值大小还是不够的，还需要知道随机变量的取值如何在均值周围变化，即计算其方差（或标准差），方差大说明随机变量取值分散性大，方差小说明取值分散性小或者说取值

22、比较集中、稳定 【模拟试题】  1. 已知随机变量只能取3个值：，其概率依次成等差数列，则这个数列的公差的取值范围是       A.               B.                 C.   

23、0;            D.   2. 一台X型号的自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8000，有四台这种型号的自动机床各自独立工作，则一小时内至多有两台机床需要工人照看的概率是       A. 0.1536                &#

24、160;   B. 0.1808                      C. 0.5632                     D. 0.9728  3

25、. 从装有4粒大小、形状相同，颜色不同的玻璃球的瓶中，随意一次倒出若干粒玻璃球（至少一粒），则倒出奇数粒玻璃球的概率比倒出偶数粒玻璃球的概率       A. 小                          B. 大     

26、0;                      C. 相等                       D. 大小不能确定  4. 某人射击5枪，命中3枪，3枪

27、中恰有2枪连中的概率为       A.                           B.                 

28、;          C.                          D.   5. 设两个独立事件A、B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等，那么P（A）为     

29、60; A.                           B.                        &

30、#160;    C.                          D.   6. 某油漆公司发出10桶油漆，其中白漆5桶、黑漆3桶、红漆2桶，在搬运中所有标签脱落，交货人随意将这些标签重新贴上，则一个订货3桶白漆、2桶黑漆和1桶红漆的顾客，能够按所订的颜色如数得到订货的概率是   

31、    A.                           B.                     

32、0;     C.                           D.   7. 某班有52名学生，男女各半，男女各自平均分成两组，从这个班中选出4名学生参加某项活动，这4名学生恰好来自不同组别的概率是       A.  

33、                 B.                     C.              

34、0;     D.   8. 一个盒子中有9个正品和3个废品，每次取1个产品，取出后不再放回，在取得正品前已取出的废品数的期望=       A. 0.1                          B. 0.2  

35、;                          C. 0.3                       

36、0;  D. 0.4  9. 甲、乙两个围棋队各5名队员按事先排好的顺序进行擂台赛，双方1号队员先赛，负者被淘汰，然后负方的2号队员再赛，负者又被淘汰，一直这样进行下去，直到有一方队员全被淘汰，另一方获胜，假设每个队员的实力相当，则甲方有4名队员被淘汰且最后战胜乙方的概率是_。  10. 甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜的数字记为b，且、，若，则称甲乙“心有灵犀”。现任意找两个人玩这个游戏，得出他们“心有灵犀”的概率为_。  11. 某幢楼从二楼到三楼的楼梯共11级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两

37、级，若规定从二楼到三楼用7步走完，则上楼梯的方法有35种；其中连着两步走两级的概率是_。  12. （12分）假定有名工人独立地工作，假定每人工作在一小时内平均有12分钟需要电力。（1）求在同一时刻有3名工人需要电力的概率；（2）如果最多只能供应3名工人需要的电力，求超过负荷的概率。  13. （12分）一次考试共有12道选择题，每道选择题都有4个选项，其中有且只有一个是正确的，评分标准规定：“每题只选一个选项，答对得5分，不答或答错得零分”。某考生已确定有8道题的答案是正确的，其余题中：有两道题都可判断两个选项是错误的，有一道题可判断一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只好乱猜，请求该考生：（1）得60分的概率；（2）得多少分的可能性最大；（3）所得分数