二次函数的图像与性质

1、基础回顾基础回顾 什么叫函数什么叫函数? ? 在某变化过程中的两个变量在某变化过程中的两个变量x x、y y，当变量，当变量x x在某个范围内取一个确定的值，另一个变量在某个范围内取一个确定的值，另一个变量y y总有唯一的值与它对应。总有唯一的值与它对应。 这样的两个变量之间的关系我们把它叫这样的两个变量之间的关系我们把它叫做函数关系。做函数关系。 对于上述变量对于上述变量x x 、y y，我们把，我们把y y叫叫x x的函数。的函数。 x x叫自变量，叫自变量， y y叫应变量。叫应变量。目前，我们已经学习了那几种类型的函数？二次函数二次函数变量之间的关系变量之间的关系函数函数一次函数一次函

2、数反比例函数反比例函数y=kx+b (k0)正比例函数正比例函数y=kx (k0)y=k/x (k0)节日的喷泉给人带来喜庆，你是否注意过水流所节日的喷泉给人带来喜庆，你是否注意过水流所经过的路线？它会与某种函数有联系吗？经过的路线？它会与某种函数有联系吗？奥运赛场腾空的篮球奥运赛场腾空的篮球 正方体的六个面是全等的正方形正方体的六个面是全等的正方形,设设正方形的棱长为正方形的棱长为x,表面积为表面积为y,显然对于显然对于x的每一个的每一个值值,y都有一个对应值都有一个对应值,即即y是是x的函数的函数,它们的具体关它们的具体关系可以表示为系可以表示为 问题问题: :y=6x2函数有什么共同点函

3、数有什么共同点? 观察：观察：y=6x2nn2 23 3n n2 22 21 1d dxxy2040202 在上面的问题中在上面的问题中,函数都是用自变量的二次式表示的。函数都是用自变量的二次式表示的。定义：定义：一般地，形如一般地，形如y=ax+bx+c(a,b,c是常数是常数,a 0)的函数叫做的函数叫做二次函数。二次函数。其中其中x是自变量，是自变量，a为二次项为二次项系数，系数，ax2叫做二次项，叫做二次项，b为一次项系数，为一次项系数，bx叫做一叫做一次项，次项，c为常数项。为常数项。 （1）等号左边是变量）等号左边是变量y，右边是关于自变量，右边是关于自变量 x的的（3 ）等式的右

4、边最高次数为）等式的右边最高次数为 ，可以没有一次，可以没有一次项和常数项，但项和常数项，但不能没有二次项不能没有二次项。 注意注意：（2）a,b,c为常数，且为常数，且（4）x的取值范围是的取值范围是任意实数。任意实数。整式。整式。a0.2（5）函数的右边是一个）函数的右边是一个 整整 式。式。二次函数的一般形式:yax2bxc (其中a、b、c是常数,a0)二次函数的特殊形式： 当当b0时，时， yax2c 当当c0时，时， yax2bx 当当b0，c0时，时， yax2 1、 说出下列二次函数的二次项系数、一次项系说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项数、常数项（1） y=-x

5、2+58x-112（2）y=x22、指出下列函数y=ax+bx+c中的中的a、b、c（1） y=-3x2-x-1（3） y=x(1+x)（2） y=5x2-6例例1、下列函数中，哪些是二次函数？若是、下列函数中，哪些是二次函数？若是,分别指出二次项系数分别指出二次项系数,一次项系数一次项系数,常数项。常数项。 (1) y=3(x1)+1 (2) y=x+ (3) s=32t (4) y=(x+3)x (5)y= x (6) v=8 r1x_x1_ 思考：思考：2. 二次函数的一般式二次函数的一般式yax2bxc（a0）与一元二次方）与一元二次方程程axbxc0（a0）有什么）有什么联系和区别？

6、联系和区别？驶向胜利的彼岸联系联系(1)等式一边都是等式一边都是ax2bxc且且 a 0 (2)方程方程ax2bxc=0可以看成是可以看成是函数函数y= ax2bxc中中y=0时得到的时得到的.区别区别:前者是函数前者是函数.后者是方程后者是方程.等式另一等式另一边前者是边前者是y,后者是后者是0知识运用知识运用 例例1:下列函数中，哪些是二次函数？下列函数中，哪些是二次函数？ (1)y=3x-1 ( ) (2)y=3x2 （ ) (3)y=3x3+2x2 ( ) (4)y=2x2-2x+1( ) (5)y=x-2+x ( ) (6)y=x2-x(1+x) ( )不是是不是不是是不是知识运用知

7、识运用m22m-1=2 m+1 0 m=3例2:m取何值时，取何值时， 函数函数y= (m+1)x +(m-3)x+m 是二次函数？是二次函数？ 122 mm解解:由题意得由题意得 一次函数一次函数y=kx+b (k 0),其中包括正比例函数其中包括正比例函数 y=kx(k0), 反比例函数反比例函数y= (k0) ， 二次函数二次函数y=ax2+bx+c(a0)。现在我们学习过的函数有现在我们学习过的函数有: 可以发现可以发现,这些函数的名称都形象地反映了函这些函数的名称都形象地反映了函数表达式与自变量的关系。数表达式与自变量的关系。xk？ （3 3）它它是是正正比比例例函函数数（2 2）它

8、它是是一一次次函函数数？（1 1）它它是是二二次次函函数数？c c满满足足什什么么条条件件时时b b, ,当当a a, ,c c是是常常数数) )，b b, ,c c( (其其中中a a, ,b bx xa ax x函函数数y y2 20 0解解：（1 1）a a0 0b b0 0, ,( (2 2) )a a想一想想一想0 0c c0 0, ,b b0 0, ,( (3 3) )a a 例例2、y=（m+3）x （1）m取什么值时，此函数是正比例函数？取什么值时，此函数是正比例函数？（2） m取什么值时，此函数是反比例函数？取什么值时，此函数是反比例函数？（3） m取什么值时，此函数是二次函

9、数？取什么值时，此函数是二次函数？m2-7解：（）当解：（）当m27=1且且m+30即即m= 时是正时是正比例函数。比例函数。2 22 2（）当（）当m27=-1且且m+30即即m= 时是反比例函时是反比例函数。数。6 6（）当（）当m27=2且且m+30即即m=3时是二次函数。时是二次函数。1.一个圆柱的高等于底面半径一个圆柱的高等于底面半径,写出它写出它的表面积的表面积 s 与半径与半径 r 之间的关系式之间的关系式.2. n支球队参加比赛支球队参加比赛,每两队之间进行每两队之间进行一场比赛一场比赛,写出比赛的场次数写出比赛的场次数 m与球队与球队数数 n 之间的关系式之间的关系式.S=2

10、r2 +2r2 即即S=4r2 121nnm即即nnm212123、下列函数中，（、下列函数中，（x是自变量），是二次函数是自变量），是二次函数的有的有 。A y=ax2+bx+c B y2=x2-4x+1C y=x2 D y=2+ x2+14.函数函数 y=(m-n)x2+ mx+n 是二次函数的条件是是二次函数的条件是( )A m,n是常数是常数,且且m0 B m,n是常数是常数,且且n0C m,n是常数是常数,且且mn D m,n为任何实数为任何实数B CC Y=x(40-2x)即：即：Y=-2x2+40 x当当x12m时，菜园的面积为：时，菜园的面积为：Y=-2x2+40 x-2122

11、+4012 192（m2） 多边形的对角线数多边形的对角线数d与边数与边数n有什么关系？有什么关系？问题问题2:2: 由图可以想出由图可以想出,如果多边形有如果多边形有n条边条边,那么它有那么它有 个顶点个顶点,从一个顶点出发从一个顶点出发,连接与这连接与这点不相邻的各顶点点不相邻的各顶点,可以作可以作 条条对角线对角线.n(n-3) 因为像线段因为像线段MN与与NM那样那样,连接连接相同两顶点的对角线是同一条对相同两顶点的对角线是同一条对角线角线,所以多边形的对角线总数所以多边形的对角线总数MN321nnd即即nnd23212 在实践中感悟在实践中感悟 横看成岭侧成峰，远近高低各不同横看成岭

12、侧成峰，远近高低各不同 变换角度分析问题变换角度分析问题 若函数若函数y=x2m+n 2xm-n+3是以是以x为自变量的二次函为自变量的二次函数，求数，求m、n的值。的值。 2m+n=2m-n=1 m=1 n=02m+n=1m-n=2m=1n=-12m+n=2 m-n=2m=4/3n=-2/32m+n=2m-n=0m=2/3n=-4/32m+n=0m-n=2m=2/3n=2/31、一次函数的图像有何特征？、一次函数的图像有何特征？ 一次函数的图像是一条一次函数的图像是一条 。当当 时，时，y随随x的增大而增大；的增大而增大；当当 时，时，y随随x的增大而减小。的增大而减小。2、反比例函数的图像

13、有何特征？、反比例函数的图像有何特征？反比例函数的图像是反比例函数的图像是 ，共有，共有 支，支，且关于且关于 对称。对称。当当 时，图像在时，图像在 象限，在每个象象限，在每个象限内限内y随随x的增大而减小；的增大而减小；当当 时，图像在时，图像在 象限，在每个象象限，在每个象限内限内y随随x的增大而的增大而 。直线直线双曲线双曲线两两原点原点增大增大一、三一、三二、四二、四 k0 k0 k0 k0时，抛物线的开口时，抛物线的开口_，顶点是抛物线的最，顶点是抛物线的最_点点，a越大，抛物线的开口越越大，抛物线的开口越_；当当a0a0k0k0(0,k)x x-3-3 -2-2 -1-10 01

14、 12 23 3解:列表画出二次函数 、 的图像,并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点.2) 1(21xy2) 1(21xy2) 1(21xy2) 1(21xy-20-0.5 -2-0.5-8-4.5-8-2 -0.5 0-4.5-2-0.51 2 3 4 5x-1-2-3-4-5-6-7-8-91yo-1-2-3-4-5-102) 1(21xyx=1 抛物线 与 的开口方向、对称轴、顶点?2) 1(21xy2) 1(21xy2) 1(21xy抛物线 与 抛物线 有什么关系? 2) 1(21xy2) 1(21xy1 2 3 4 5x-1-2-3-4-5-6-7-8-91yo-1-2-3-4-5-

15、102) 1(21xy2) 1(21xy221xy221xy1 2 3 4 5x-1-2-3-4-5-6-7-8-91yo-1-2-3-4-5-102) 1(21xy2) 1(21xy2) 1(21xy向左平移1个单位2) 1(21xy221xy221xy221xy向右平移1个单位在同一坐标系中作出下列二次函数:2)2(21xy2)2(21xy观察三条抛物线的相互关系,并分别指出它们的开口方向,对称轴及顶点.顶点(0,0)顶点(2,0)直线x=2直线x=2向右平移2个单位向左平移2个单位2)2(21xy2)2(21xy顶点(2,0)对称轴:y轴即直线: x=0在同一坐标系中作出下列二次函数:2

16、)2(21xy2)2(21xy观察三条抛物线的相互关系,并分别指出它们的开口方向,对称轴及顶点.向右平移2个单位向右平移2个单位向左平移2个单位向左平移2个单位一般地一般地, ,抛物线抛物线y=a(xy=a(xh)h)2 2有如下有如下特点特点: :(1)对称轴是x=h;(2)顶点是(h,0).（3）抛物线y=a(xh)2可以由抛物线y=ax2向左或向右平移|h|得到.h0，向右平移;h0a0a0a0h0h0(,0)y=-2（x+3）21、说出抛物线的开口方向、对称轴、顶点，最大值或最小值各是什么及增减性如何？y=2（x-3）2y=-2（x-2）2y=3（x+1）22、若将抛物线y=-2（x-

17、2）2的图象的顶点移到原点，则下列平移方法正确的是（ ）A、向上平移2个单位B、向下平移2个单位C、向左平移2个单位D、向右平移2个单位C3、抛物线y=4（x-3）2的开口方向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，抛物线是最 点，当x= 时，y有最 值，其值为 。抛物线与x轴交点坐标 ，与y轴交点坐标 。 向上直线x=3（3，0）低3小0（3，0）（0，36）4.用配方法把下列函数化成y=a（x-h）2的形式，并说出开口方向，顶点坐标和对称轴。96) 1 (2xxy2221)2(2xxy5、按下列要求求出二次函数的解析式：（1）已知抛物线y=a(x-h)2经过点（-3，2）（-1，0）求该抛物线线的解

18、析式。（2）形状与y=-2(x+3)2的图象形状相同，但开口方向不同，顶点坐标是（1，0）的抛物线解析式。（3）已知二次函数图像的顶点在x轴上，且图像经过点（2，-2）与（-1，-8）。求此函数解析式。抛物线抛物线开口方向开口方向对称轴对称轴顶点坐标顶点坐标y = 2(x+3)2 y = -3(x-1)2 y = -4(x-3)2 向上直线x=-3( -3 , 0 )直线x=1直线x=3向下向下( 1 , 0 )( 3, 0)3.抛物线y=ax2+k有如下特点:当a0时, 开口向上; 当a0时, 开口向上,当a0,向上平移;k0,向右平移;h0时, 开口向上,当a0h0时时, ,向向右右平移平

19、移; ;当当h0h0k0时时, ,向向上上平移平移; ;当当k0k0时，开口向上；时，开口向上； 当当x=h时，时，y取最小值为取最小值为k; 在对称轴的左侧，在对称轴的左侧，y随随x的增大而减小的增大而减小, 在对称轴的右侧，在对称轴的右侧，y随随x的增大而增大的增大而增大.3.当当a0)y=a(x-h)2+k(a0h0时时, ,向右平移向右平移; ;当当h0h0k0时向上平移时向上平移; ;当当k0k0(4)a0时时, , 开口向上开口向上, ,在对称轴左侧在对称轴左侧,y,y都随都随x x的增大而减小的增大而减小, ,在在对称轴右侧对称轴右侧,y,y都随都随 x x的增大而增大的增大而增

20、大. a0. a0a0a0a0 B. 0 B. 0=0 D. 01xyo-15.5.若把抛物线若把抛物线y = x2 - 2x+1向右平移向右平移2 2个单位个单位, ,再向再向下平移下平移3 3个单位个单位, ,得抛物线得抛物线y=x2+bx+c, ,则（则（ ） A.b=2 A.b=2 c= 6 B.b=-6 , c=6 B.b=-6 , c=6 C.b=-8 C.b=-8 c= 6 D.b=-8 , c=18 D.b=-8 , c=18 B B-2ab4a4ac-b26.6.若一次函数若一次函数 y=ax+b 的图象经过第二、三、四的图象经过第二、三、四象限，则二次函数象限，则二次函数

21、y=ax2+bx-3 的大致图象是的大致图象是 ( )( )7.7.在同一直角坐标系中在同一直角坐标系中, ,二次函数二次函数 y=ax2+bx+c 与与一次函数一次函数y=ax+c的大致图象可能是的大致图象可能是 （ ）xyoxyoxyoxyoABCD-3-3-3-3xyoxyoxyoxyoABCDCC二次二次函数函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c(a0)(a0)的图象和性质的图象和性质.顶点坐标与对称轴顶点坐标与对称轴.位置与开口方向位置与开口方向.增减性与最值增减性与最值抛物线抛物线顶点坐标顶点坐标对称轴对称轴位置位置开口方向开口方向增减性增减性最值最值y=axy=ax2 2

22、+bx+c+bx+c(a0)y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c(a0)y=ax2+k(a0)y=a(x-h)2(a0)y=a(x-h)2 +k(a0)y= ax2 +bx+c(a0)w1.相同点相同点: w(1)形状相同形状相同(图像都是抛物线图像都是抛物线,开口方向相同开口方向相同). w(2)都是轴对称图形都是轴对称图形. w(3)都有最都有最(大或小大或小)值值.(4)a0时时, 开口向上开口向上,在对称轴左侧在对称轴左侧,y都随都随x的增大而减小的增大而减小,在对称轴右侧在对称轴右侧,y都随都随 x的增大而增大的增大而增大.a0时时,向右向右平移平移;当当 0时向上平移时向上平

23、移;当当 0时时,向下平移向下平移)得到的得到的.驶向胜利的彼岸小结 拓展回味无穷二次二次函数函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c(a0)(a0)与与=ax的关系的关系abacab44,22abx2直线ab2ab2ab2abac442abac442abac442abac4421 1、已知抛物线、已知抛物线y=ax2+bx+c0经过点（经过点（-1,01,0），则），则_经过点（经过点（0, ,-3），则），则_经过点（经过点（4,5,5），则），则_对称轴为直线对称轴为直线x=1，则则_当当x=1=1时，时，y=0=0，则，则a+b+c=_ab2=1a-b+c=0c=-316a+4b

24、+c=5顶点坐标是（顶点坐标是（-3,4-3,4），）， 则则h=_,k=_，-3a（x+3）2+442 2、已知抛物线、已知抛物线y=a（x-h）2+k对称轴为直线对称轴为直线x=1，则则_代入得代入得y=_代入得代入得y=_h=1a（x-1）2+k抛物线解析式抛物线解析式抛物线与抛物线与x轴交点坐标轴交点坐标( (x1,0),( ,0),( x2,0),0)y=2(2(x-1 1)()(x-3 3) )y=3(3(x-2 2)()(x+1+1) )y=-5(5(x+4+4)()(x+6+6) )-x1- x2求出下表中抛物线与x轴的交点坐标，看看你有什么发现？轴的交点坐标，看看你有什么发现

25、？（1，0）（）（3，0）（2，0）（）（-1，0）（-4，0）（）（-6，0）( (x1,0),( ,0),( x2,0),0)y=a( (x_)()(x_) ) （a0 0）交点式交点式抛物线解析式抛物线解析式抛物线与抛物线与x轴交点坐标轴交点坐标( (x1,0),( ,0),( x2,0),0)-x1- x2求出下表中抛物线与x轴的交点坐标，看看你有什么发现？轴的交点坐标，看看你有什么发现？（1，0）（）（3，0）（2，0）（）（-1，0）（-4，0）（）（-6，0）( (x1,0),( ,0),( x2,0),0)y=a( (x_)()(x_) ) （a0 0）交点式交点式y=a( (

26、x-1)(1)(x-3)3)（a0 0）y=a( (x-2)()(x+1) )（a0 0）y=a( (x+4)()(x+6) )（a0 0）已知三个点坐标三对对应值，选择一般式已知三个点坐标三对对应值，选择一般式已知顶点坐标或对称轴或最值，选择顶点式已知顶点坐标或对称轴或最值，选择顶点式 已知抛物线与已知抛物线与x轴的两交点坐标，选择交点式轴的两交点坐标，选择交点式一般式一般式y=ax2+bx+c (a0)顶点式顶点式 y=a(x-h)2+k (a0)交点式交点式y=a(x-x1)(x-x2) (a0)用待定系数法确定二次函数的解析式时，应该根据条件用待定系数法确定二次函数的解析式时，应该根据

27、条件的特点，恰当地选用一种函数表达式。的特点，恰当地选用一种函数表达式。 一、设一、设二、代二、代三、解三、解四、还原四、还原解：解：设所求的二次函数为设所求的二次函数为解得解得已知一个二次函数的图象过点（已知一个二次函数的图象过点（0,-30,-3） （4,54,5）（1, 01, 0）三点，求这个函数的解析式？）三点，求这个函数的解析式？二次函数的图象过点（二次函数的图象过点（0,-3）（）（4，5）（）（1, 0）c=-3 a-b+c=016a+4b+c=5a=b=c=y=ax2+bx+c16a+4b=8a-b=34a+b=2 a-b=3-3解：解：设所求的二次函数为设所求的二次函数为解

28、得解得所求二次函数为所求二次函数为 y=x2-2x-3已知一个二次函数的图象过点（已知一个二次函数的图象过点（0,-30,-3） （4,54,5）（1, 01, 0）三点，求这个函数的解析式？）三点，求这个函数的解析式？一、设一、设二、代二、代三、解三、解四、还原四、还原二次函数的图象过点（二次函数的图象过点（0,-3）（）（4，5）（）（1, 0）c=-3 a-b+c=016a+4b+c=5a=b=c=1-2-3x=0=0时时, ,y=-3; x=4=4时时, ,y=5; x=-1=-1时时, ,y=0;y=ax2+bx+c解：解：设所求的二次函数为设所求的二次函数为 y=a(x-3)(x+

29、1) 已知一个二次函数的图象过点（已知一个二次函数的图象过点（0, -30, -3） （-1,0-1,0） （3,03,0） 三点，求这个函数的解析式？三点，求这个函数的解析式？所求二次函数为所求二次函数为 y=(x-3)(x+1) 即即 y=x2-2x-3依题意得依题意得 -3=a(0-3)(0+1) 解得解得 a=1解：解：设所求的二次函数为设所求的二次函数为已知抛物线的顶点为（已知抛物线的顶点为（1 1，4 4），），且过点（且过点（0 0，3 3），求抛物线的解析式？），求抛物线的解析式？点点( 0,-3)在抛物线上在抛物线上a-4=-3, 所求的抛物线解析式为所求的抛物线解析式为 y=(x-1)2-4 a=1最低点为（最低点为（