数列中裂项求和的几种常见模型

1、数列中裂项求和的几种常见模型数列问题是高考的一大热点，而且综合性较强，既注重基础知识的掌握，又注重数学思想与方法的运用。而此类问题大多涉及数列求和，所以数列求和方法是学生必须掌握的，主要的求和方法有：公式法、拆项重组法、并项求和法，裂项相消法、错位相加法、倒序相加法等等，而裂项相消法是其中较为基础、较为灵活的一种，也是出现频率最高，形式最多的一种。下面就例举几种裂项求和的常见模型，以供参考。模型一：数列是以d为公差的等差数列，且，则例1已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前n项和为，点均在函数的图像上。（）求数列的通项公式；（）设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数

2、m； （2006年湖北省数学高考理科试题）解：（）设这二次函数f(x)ax2+bx (a0) ,则 f(x)=2ax+b,由于f(x)=6x2,得a=3 , b=2, 所以 f(x)3x22x.又因为点均在函数的图像上，所以3n22n.当n2时，anSnSn1（3n22n）6n5.当n1时，a1S13×1226×15，所以，an6n5 （）（）由（）得知，故Tn（1）.因此，要使（1）<（）成立的m,必须且仅须满足，即m10，所以满足要求的最小正整数m为10.例2在xoy平面上有一系列点 ，（nN*），点Pn在函数的图象上，以点Pn为圆心的圆Pn与x轴都相切，且圆Pn

3、与圆Pn+1又彼此外切. 若.（I）求数列的通项公式；（II）设圆Pn的面积为解：（I）圆Pn与Pn+1彼此外切，令rn为圆Pn的半径，两边平方并化简得由题意得，圆Pn的半径为首项，以2为公差的等差数列，所以（II）， 所以，模型二：分母有理化，如：例3已知，的反函数为，点在曲线上，且(I)证明数列为等差数列；()设,记，求解(I)点An()在曲线y=g(x)上(nN+)，点()在曲线y=f(x)上(nN+),并且an>0，数列为等差数列 ()数列为等差数列，并且首项为=1，公差为4，=1+4（n1），an>0， bn=,Snb1b2+bn=例4设，则不超过的最大整数为。(2008

4、年全国高中数学联合竞赛浙江省预赛试题)解：,不超过的最大整数为。模型三： = 例5设数列的前项的和，n=1,2,3,. （）求首项与通项；（）设，n=1,2,3,，证明：（2006年全国数学高考理科试题）. 解: ()由 Sn=an×2n+1+, n=1,2,3， , 得 a1=S1= a1×4+ 所以a1=2.再由有 Sn1=an1×2n+, n=2,3，4,将和相减得: an=SnSn1= (anan1)×(2n+12n),n=2,3, 整理得: an+2n=4(an1+2n1),n=2,3, , 因而数列 an+2n是首项为a1+2=4,公比为4的

5、等比数列,即an+2n=4×4n1= 4n, n=1,2,3, , 因而an=4n2n, n=1,2,3, ,()将an=4n2n代入得 Sn= ×(4n2n)×2n+1 + = ×(2n+11)(2n+12) = ×(2n+11)(2n1) Tn= = × = ×( )所以, = ) = ×( ) < 模型四：，且，则例6设函数的图象在处的切线平行于直线.记的导函数为.数列满足：,.()求函数的解析式;()试判断数列的增减性,并给出证明;()当时,证明:.解：（）函数的导函数为，由于在处的切线平行于， (),故,所以,所以是单调递增. () ,=,令当时, 例7已知数列满足，满足 ，证明： 。(2006年全国高中数学联合竞赛浙江省预赛试题)证明：记 ，则 。而。因为，所以。从而有 。 （1）又因为，所以，即。从而有 。 （2）由（1）和（2）即得 。 综合得到 。左边不等式的等号成立当且仅当 n=1时成立。以上我们