收敛与混沌迭代

1、第三章 收敛与混沌-迭代迭代产生的数列可能是：(1)收敛；(2)周期性变化；(3)分岔；(4)混沌。如：用迭代产生的数列是否收敛？ 答：0.4000 0.7200 0.6048 0.7171 0.6087 0.7146 0.6119 0.7125 0.6146 0.7106 0.6169 0.7090 0.6190 0.7075 0.6208 0.7062 0.6224 0.7050 0.6239 0.7040 0.6252 不收敛。§31 不动点与迭代1什么是迭代定义：任意给定一个输入，由一个函数表达式得到一个输出；再将作为新的输入，由同一个得到下一个输出；重复。这中对某个函数规则

2、反复将输出作为新输入的重复执行过程就称为迭代。一个迭代过程的数学表示为其中，称为迭代函数，产生的数列称为迭代数列，称为迭代初值。迭代函数是关键，迭代数列的变化趋势主要由它决定。例1：，则迭代式为，分别取=0, 0.1, 0.8, 1, 2, 99计算，得下面数列：0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.1, 0.31, 0.56, 0.74, 0.86, 0.93, 0.96, 0.98 0.99 0.99 .0.8 0.89 0.94 0.97 0.98 0.99 0.99 1 1 1 1 1 1 1 .2, 1.41, 1.18, 1.09, 1.04, 1.02,

3、 1.01, 1.00, 1.00, .99, 9.94, 3.15 1.77 1.33 1.15 1.07 1.03 1.01 1.00 1.00 结论：迭代函数对于初值保持不动（称为不动点）；对于其余初值（非1的任何正数）都收敛于1 . 问：时，迭代规律？2不动点定义：若存在点，满足，则称点为迭代函数的一个不动点。对于同一个，其不动点不一定存在、不一定唯一。在某个不动点附近取初值，迭代可能收敛于这个不动点，称它为吸引的（如例1中的不动点1）；也可能远离此不动点，称它为排斥的（如例1中的不动点0）。§32 用图示法体现迭代数列的规律线性迭代：二次函数迭代：一种特殊的二次函数迭代：著

4、名的Logistic函数，其中，参数在0到4之间取值对应的Logistic迭代为 本节就以Logistic迭代为例，讨论揭示迭代数列规律的图形方法。你将会看到某写全新的现象和问题，如分岔、混沌等古怪现象。先求不动点：令，解得两个不动点 与 再分析迭代规律：（1） 若，则因为“总有”，从而，所以，对于任意初值，都收敛于不动点0；（2）若，则对于任意初值，都收敛于不动点； （3）若，则迭代规律很乱，对于不同的分别呈现诸如收敛、周期性震荡、分岔、混沌之类的从有规律到无规律、又从无规律到有规律等等的非常复杂的、有趣的、怪异的现象。 定义：若迭代数列中，当下标n充分大时，每隔k个数就出现周期性重复，则称

5、此迭代为k周期。 下面介绍刻画迭代数列规律的三种图形方法1线性联结图横坐标： 纵坐标： 把向邻的点用折线联结。 看书 P26 图画 图3.1 的程序为：a=3.8;x(1)=0.2;for i=1:20 x(i+1)=a*x(i)*(1-x(i);endplot(0:20,x)画 图3.2 的程序为：a=3.2,3.5,3.5644,3.8284;y =0.2*1,1,1,1;for i=1:10000 y=a.*y.*(1-y);endx(1,:)=y;for i=1:20 x(i+1,:)=a.*x(i,:).*(1-x(i,:);endsubplot(2,2,1),plot(0:20,(

6、x(:,1)')subplot(2,2,2),plot(0:20,(x(:,2)')subplot(2,2,3),plot(0:20,(x(:,3)')subplot(2,2,4),plot(0:20,(x(:,4)')从线性联结图上，看不出当a=3.5644, a=3.8284时，Logistic迭代到底是几-周期的？ 用下面蛛网图就可以看清楚。2蛛网图先计算出，再做下列工作： （1）画曲线和直线；（2） 出发点，过A做竖直线交曲线于点，过B做水平线交直线于新的点；再过新A做竖直线交曲线于新的点，过新B做水平线交直线于新的点；重复多次。画 图3.4中第3个图

7、的程序为：hold onx=0:0.05:1;y=3.5644*x.*(1-x);plot(x,y),plot(0,1,0,1)a=3.5644;x=0.2;for i=1:10000 x=a*x*(1-x);endfor i=1:20 y=3.5644*x.*(1-x); plot(x,x,x,y),plot(x,y,y,y) x=y;endhold off从蛛网图3.4容易看出，周期分别是2、4、8、3.3费根鲍姆图为了研究Logistic函数中参数对迭代的影响，现以参数为横坐标、以为纵坐标作图。（为体现规律，从迭代了10000次以后的点开始）。画 图3.6 的程序为：a=2.9,3.2,

8、3.5,3.5644,3.7,3.8284;x =0.2*1,1,1,1,1,1;for i=1:10000 x=a.*x.*(1-x);endhold onfor i=1:1000 x=a.*x.*(1-x); for j=1:6 plot(a(j),x(j) endendhold off§33 分岔与混沌 上一节内容表明迭代结果很敏感地受到参数的影响，利用费根鲍姆图可以很直观地刻画这种影响。现令从2到4以步长h=0.02逐步取值，对的每个值都画出迭代了10000项后的1000项的费根鲍姆图。见书P30图3.7，借此可分析得到一些结果。 画 图3.7 的程序为：a=2:0.02:4

9、;x =0.2*ones(1,101);for i=1:10000 x=a.*x.*(1-x);endhold onfor i=1:1000 x=a.*x.*(1-x); for j=1:101 plot(a(j),x(j) endendhold off 1倍周期当3时， 为1周期（即收敛）当3.44时， 为2周期当3.54时，为4周期当3.56时，为8周期称这种现象为倍2周期现象。 2分岔随着a的增大，每过一段，图形就会分岔，分岔的本质就是周期扩大2倍。从1周期分裂成2周期的分岔点为a=3；从2周期裂成4周期分岔点记为；从4周期裂成8周期分岔点记为；从8周期裂成16周期分岔点记为； 2周期的区段长为； 4周期的区段长为； 8周期的区段长为；通常，记 周期的区段长为 费根鲍姆发现了下面结果：（此数称为费根鲍姆数） 3混沌当时，迭代无规律，进入混沌。在很狭窄的区段上，迭代呈现出3周期、倍3周期（即6周期、12周期 等）。 在另一个很狭窄的区段上，迭代呈现出5周期、倍5周期（即10周期、20周期 等）。 §34 二元函数迭代 由两个二元函数构造的迭代为此迭代将产生两个数列，可用前面的图形法研究此迭代。 若，则称为二元迭代函数的不动点。 1高斯算术几何平均数列由两个二元函数构造迭代 产生的数列就是著名的高