《非线性电力系统分析讲义》

1、非线性电力系统分析与控制讲义甘德强从本质上讲，电力系统是一个大规模的动态系统。给北美经济带来数百亿美元损失的2003夏季美加大停电就是一个复杂的动态过程。因此，无论是在上个世纪的管制时代，还是在现在的市场运行时代，电力系统稳定都是电力 系统工程师们最关心的主题之一。例如，小干扰稳定，暂态稳定性，电压稳定性，中长期稳定性和频率稳定等等动 态问题都是电力系统运行和规划必需考虑的。这些问题的数学模型和分析方法也是电力系统自动化专业研究生应当 适当了解或者掌握的。除小干扰稳定外，上述稳定性问题都具有非线性的动力学特征。电力系统稳定性分析的传统课程和教材重视稳定性分析的建模和数值分析方法，而较少涉及稳定

2、性问题的非线 性动力学基本特征。本课程旨在向学生介绍这方面的知识，为研究生进一步深入研究电力系统稳定性问题奠定基础。经过本课程学习，学生应当能够理解相关电力系统稳定性分析文献，并运用基本的非线性系统理论分析电力系统稳 定性问题。讲义为大学电力系统专业研究生使用。课程要求学生完成课外练习，阅读相关文献，编写期末综述报告，并通 过期末考试。预修课程包括线性代数，高等数学，电力系统稳定性分析的基础课程（如马大强著，或者王锡凡-方 万良-杜正春著）和现代控制理论（如豹著） 。课程还根据研究课题的需要，灵活的修订教学容比如补充介绍广义系统分析，奇异摄动理论或者混杂系统等 容，以便保持与学科发展同步，为科

3、研创造有利条件。在编选讲义的过程中，我们主要使用了下列参考文献：1. H. K. Khalil, Nonlin ear Systems , seco nd editio n, 19962. S. Sastry, Nonlin ear Systems, Sprin ger-Verlag, New York, 19993. M. Vidyasagar, Non li near Systems An alysis, Second Editi on, Pren tice-Hall, I nc., En glewood Cliffs,NJ, USA, 1993目录一概论 31. 1平面线性系统 31 2

4、非线性系统 5参考文献 7二. 常微分方程基本定理 72. 1数学基础 72. 2解的存在唯一性 102. 3解对初值的连续性 13参考文献 13三. 稳定性理论 133. 1自治系统平衡点稳定性 143. 2自治系统中心流形 213. 3自治系统稳定域 223. 4自治系统全局稳定性和有界性 243. 5非自治系统稳定性 25练习 26四. 微分代数方程 27五. 暂态稳定分析和预防控制 276.1数学模型 276.2仿真法 286.3直接法 286.4暂态稳定预防控制 28参考文献 28符号说明 29研究生课程教学大纲 29概论1. 1平面线性系统考虑下述天然“解耦”的平面系统:1，或者采

5、用矩阵形式:：2 2x210x102x2系统的解为:X(t)X2(t)Xi(0)e 1 x2 (0)e2t或者采用矩阵形式:Xi(t)et 0Xi(0)X2(t)0e2tX2(0)注意解曲线满足关系:Xi2X2为(0)X2(0)Xi,X2组成了所谓 相平面，上述关系可以采用 相图表示，如下图。图线性系统的相图当一个平面线性系统不局部天然“解耦”结构时，其解同样存在一般形式Khalil 1996。下面简单介绍。对平面系统：X Ax 其解x(t)具备如下通用形式：1x(t) T exp(Jt)T x其中T为相似变换矩阵，T可逆；J为约当矩阵。矩阵T, J都是实数的。取决于矩阵 A的特征值分布情况，

6、约当 矩阵J有如下三种通用形式：10k02 '0其中元素都是矩阵 A在不同情况下可能的特征值。下面对三种形式可能出现的情况分别进行介绍。图（a）稳定结点（i 0, 20）; （b）不稳定结点（10,20 )； (c)鞍点(1 20 )矩阵A有两个共扼特征值（）注意由定义 0 ,此时同样可能出现的三种情况，如下图所示。图（a）稳定焦点（0）；（ b）不稳定焦点（0）（ c）中心（0）矩阵A有两个相同的非零实数特征值1 20现在有四种情况可以考虑，如下图所示。图（a）稳定结点（ 0,k0）; （b）不稳定结点（0,k0）图（a）临界稳定结点（0, k 0）; （b）临界不稳定结点（0,k0

7、)四矩阵A有一个或者二个零实数特征值这是退化的情况，详见文献Khalil 1996。最后，我们给出几个定义。定义(汇点Sink )稳定结点和焦点称为汇点。定义(源点Source )不稳定结点和不稳定焦点称为源点。1 2非线性系统现实中绝大部分动态问题都是非线性的，例如如下单机无穷大电力系统:dx1dtXC1c2sin XC3X1其中c, , c2和c3为两个正常数。一个非线性的动态问题由下述常微分方程述：X f (X)(自治系统)或者X f(x,t)(非自治系统)对一般的常微分方程 X f (X)或者X f(X,t)都难以找到解析解，因此非线性系统的分析及具挑战性。定 性分析和数值计算是最常见

8、的研究手段。另外一方面，非线性系统表现出许多引人入胜的特征。f(X)平衡点；满足f (X,t)0的点X称为非定义(平衡点或者奇点)满足 f (X)0的点X称为自治系统自治系统X f (X,t)的平衡点。？ ？假设X 0，令y x X，自治系统f (X)可以变换为:f (y X)这样新坐标体系下原点 y 0就称为上述系统的平衡点。这样的变换总是存在的，并且对非自治系统也成立。为 简化表达，后面我们经常就假设一个非线性系统的原点就是平衡点。如果矩阵A非奇异，则自治系统x 0它平衡点。？ ？引理(孤立平衡点充分条件)Vidiyasagar 1993; Sastry 1996X f(x)的平衡点x 0

9、是孤立平衡点。？证明一因为 A非奇异，所以存在 c 0，满足Ax ex将f(x)在原点进行泰勒展开得到：f (x) f (0) Ax o(x) Ax o(x)其中o(x)是x的平方项，满足:lim 0(x)0x 0f (x) Ax o(x)2x，上式表明，存在“ 、 c0 ,< ,x0(x,2这样,使得:当x 0时，f(x) 0。证毕定义(平面系统闭轨)Sastry 1999一个集合R2称为闭轨，如果不是一个孤立平衡点，且存在T使得：xx(x0,nT)人,n Z在一个平面非线性系统的相图中，闭轨是一条闭合曲线。例如，在线性系统中，围绕中心的一条解曲线在相 平面形成闭轨。定义(平面系统极限

10、环)Sastry 1999孤立的闭轨就是极限环。例子Sastry 1999考虑下述非线性系统*他2 2 2X1(x X2)x?x2 2 2X2 (X1X2 )进行极坐标变换，我们得到新系统:r r( 2 r2)1这个系统存在极限环 X2 y2 r2。参考文献4. 廖晓昕，稳定性的理论，方法和应用，华中科技大学，1999二.常微分方程基本定理2. 1数学基础一.欧氏空间理论分析定理(维尔斯特拉斯)-欧氏空间连续函数在紧致集合上取得极大值。定义(函数序列)一对于每一个X。, lim fn(X0) f(Xo)，称函数序列fn收敛于f。函数f为函数序列fn的极限 n函数，记为 lim fn(x) f(

11、x)。n例 令n 1,2,., fn(x) xn, x 0,1定义了一个函数序列，如下图所示。图函数序列 fn(x) xn,x 0,1(取自Sprecher)令f（x） 0如果X 1,°），显然函数序列fn（x） xn,x 0,1收敛于f 。1x 1注意到f是不连续的。那么，函数序列fn满足什么条件时其极限函数是连续的呢？这个条件为一致收敛。定义（一致收敛）对定义在集合E上的函数序列fn，对任意给定,存在N ,使得只要n N ,则对所有x E , 有fn f称函数序列fn 一致收敛于f。定理（柯西定则）一在集合E上的函数序列fn 一致收敛于f当且仅当：对任意给定，存在N ,使得只要m

12、 N , n N，则对所有x E，有fm fn 。定理一如果在集合E上的函数序列fn 一致收敛于f，则f是连续函数。定义（普希茨条件）假设函数f定义在E Rn上，且存在L 0 ,使得对任意x, y E ,有：f （x） f （y） L x y，则称函数f在e上满足普希茨条件。常数L为普希茨常数。定理陆启韶设在凸集E Rn上，函数f的所有一阶偏导数存在且有界，则f在E上满足普希茨条件（试采用微分中值定理证明）。引理-假设函数f定义在E Rn上，且满足普希茨条件，则f是连续函数。引理a f（s）ds定理（数等效）二.线性空间理论分析定义（线性空间）定义（数）例子连续函数的集合f ： a, bRn，

13、用C a,b表示，形成一个线性空间。如果我们令f max f （t），则建立t a ,b了一个赋线性空间。定义（收敛） 定义（完备性）定义（巴拿赫空间）完备赋线性空间称为巴拿赫空间。定义（压缩映射）设X为一赋线性空间，那么映射T :X X称为压缩映射，如果存在01,使得Tx Tyx, y X定义（不动点）一巴拿赫空间X的一个点x称为映射T :X X的不动点如果Tx x。定理（压缩映射原理）-假设X为一巴拿赫空间的闭集，则压缩映射T : XX有唯一的不动点。证明：令XoX，构造序列Xk 1Txk,k 1,2,.。注意:xk 1XkTXk TXk 1XkXk 1X1XoN，则XrX,Xr 1Xs上

14、式表明,只要极限存在,*Tx这就证明,XrXr 1r 2Xrr 3Xs 1XsX1XoX1xok 0s 1-X1XoN足够大,xs可以任意小。这就证明序列 xk是柯西序列。因为 X是完备空间，所以xk的令其为 x。因为压缩映射是连续映射，则:T lim Xn lim TXnlim Xn 1 xnnnX*为不动点。假设X*也是一个不动点，则* *x x* *Tx Tx* *x x因为1，上式说明x* x*0,即不动点是唯一的。波兰数学家Banach (巴拿赫)于1910年前后证明了上述定理，因此又称巴拿赫不动点定理。压缩映射原理 在更抽象的距离空间也适用2. 2解的存在唯一性建立常微分方程初值问

15、题后关心的第一个问题就是，初值问题解的存在性和唯一性。下面介绍一个常见的结果。定理Hirsch-Smale(解的局部存在唯一性)令ERn R为一闭集，假设存在L 0,使得连续函数f:ERn满足:f (x,t) f(y,t) L x y , x,y E则存在闭集J E , (x0, t0)J，使得下面常微分方程初值问题在J上存在唯一解：x f (x, t), x(t0) x0证明一定理的证明由五个步骤组成。(1) 将常微分方程转化为积分方程假设(t)是初值问题的解，也就是说：| f( ,t) ,(t0)沧。显然，满足下面的积分方程：t(t) X。t f( , s)ds反之，如果(t)是上述积分方

16、程的解，对两端求导得：I f ( ,t)，且(t0) x0。因此，上述积分方程和原初值问题等价。下面我们只要证明等价的积分方程存在唯一解就可以了。(2) 构造毕卡函数序列定义如下函数序列：t0 X0,1 x0 t f( 0, s)ds,t0t，k x°t f ( k 1, s)dst0设J E为一闭集，(x°,t°) J。令Msup f (x, t)，注意 0 j 且:(x,t) Jkx0tt0f(f ( k 1, s) dstMdstM t t0 Ma(3) 证明k 一致收敛首先运用数学归纳法证明：存在常数Z 0 ,使得对所有k0,有:(aL)kZ。假设对kma

17、x ( 10)，这样:r at0f ( 1, s) f( 2,s) ds我们有:f ( k,s)现在我们采用柯西定则证明tLt0(aL)k 7，则:f ( k 1, s) d stLt0k 一致收敛。上式说明，只要a足够小使得aLds aLZ(aL)kZk N1，对任意给定ds(aL)kZ，总存在(足够大)N，使得对任意r s N，总有，即k 一致收敛。(4) 证明(t)是积分方程的解设k一致收敛于连续函数，对积分方程k x0tt0f(k 1, s)ds两端取极限得tX0 lim t f( k 1, s)dskt0现在我们证明：limkf( k 1,s)dst0tt0f ( , s)ds这是显

18、然的因为，给定任意0，总存在足够小0，使得只要，就有:tLt0tds L dst0ttf( k1,s) f( ,s)ds ；|f(k1，s) f( ,s)dst0t0这样我们就证明了函数序列k的极限函数(t)满足积分方程 (t)X。t0,s)ds。x0f( , s)ds的解，令 Ht0ii, s) f ( i, s) ds t L iit00时才成立。这就证明：ii (t)(5) 证明积分方程解的唯一性假设i和ii都是积分方程(t)II (0i(Q H。注意：H | ii (0i(创：|f(t0因为(aL) 1，上式只有在Hsup i ii，且最大值在t t?处，即: t Ji ds LH t

19、 ? (aL)Hi(t)0，即积分方程的解是唯一。证毕上述定理的证明由毕卡(Picard )完成，定理中的函数序列 k又称毕卡序列。 下面我们从抽象空间的高度，运用巴拿赫不动点定理证明常微分方程解的存在唯一性。定理Arnold, 1973(解的局部存在唯一性)令E Rn R为一闭集，假设存在L 0,使得连续函数f:E Rn满足:f (x,t) f (y,t) L x y ,x,y E则存在闭集J E , (x0, t0) J，使得下面常微分方程初值问题在J上存在唯一解：x f (x, t), x(t0) x0证明：首先如前述初值问题等价于积分方程(t)Xotf ( , s)ds的解的存在性和唯

20、一性。定义映射:toXott f( , s)dstosup f (x, t)。现在假设J(x,t) J(Xo, to)J为一闭集，需要证明 TJ。这是显然的，因为:Xott f( , s)dLotof ( ,s) dstoMds M t t0Ma上式中只要a足够小,就有TJ。实际上,T也是压缩映射，注意tof ( 1, s)f ( 2, s) dstLtods(t)c max(t)，上式可以写作:tLtocdLaC只要a足够小，就有La 1，即T是压缩映射。由压缩映射原理，T在闭集J E上存在唯一不动点，即:。也就是说，积分方程(t)Xotf ( , s)ds的解存在和唯一。证毕由于压缩映射原

21、理的高度概括性，采用压缩映射原理后，定理的证明大大简化。解的局部存在唯一性定理断言，在区间to a, to a上初值问题存在唯一解。这个结论具有局部性质。事实上，在点to a处重复使用这个定理，就可能将解的存在区间延拓。但延拓有时是有极限的。例子旳刑1996考虑单变量系统x2 , x(0)1解的存在性。x, yRn , tto ,t1 ,f (x,t) f(y,t)Lx y则常微分方程初值问题在区间to, ti上，对所有ti，存在唯一解：x f(x, t) , x(to) Xo o ? ?x的解是存证明一注意根据前述解的局部存在唯一性定理知道，在区间t0,a上初值问题x f(x,t) , x(

22、t0)在和唯一的。令在区间to, a上这个解为x(t)，考虑如下初值问题：x f(x,t a) , x(to) x(a)上述初值问题同样满足解的局部存在唯一定理的条件，因此问题的解存在且唯一，其存在区间为to a, to 2a o这样我们就证明了在to, to 2a上解存在且唯一。重复这个过程，定理得证。？ ？例子Khalil 1996 假设|A(t) a , g(t) b，则线性时变系统x(t) A(t)x g(t)的解全局存在且唯一。？ ？2. 3解对初值的连续性f (x, t) , x(to) x满足解的存在唯 ，存在(,T)，使得：。设xo, yo定理(解对初值的连续性)Sastry

23、1996假设初值问题x 为两个不同的初值，相应解曲线为x(t), y(t)，则对任意给定xoyox(t) y(t)证明一注意x(t) y(t)|xoyoo f(X,S)f(y,s) dsXotyoL o x(s) y(s)ds由格朗维尔不等式，对t 0,T ,x(t) y(t)|xoyo eLt这样，对任意，总存在方，使得x(t) y(t)。证毕？ ？e参考文献三.稳定性理论定理(线性系统稳定性)Khalil 19963. 1自治系统平衡点稳定性本节考虑如下常微分方程解的稳定性:X f (x)假设在Bh上f C且保证上述初值解的存在唯一性。稳定性和渐进稳定性基本定理定义(局部正定函数)Sast

24、ry,1999连续可微函数V : BhR是局部正定函数如果:V(0)0 , V(x) 0, x Bh定义(K类函数)Sastry,1999连续函数R是K类函数如果其严格增且(0)0 ,记做 K称为K类函数定义(K类函数)Khalil,1996如果 K且lim (x)X许多书中称K类函数为KR类函数。定理对任意局部正定函数V :Bh R，必存在两个函数1, 2 K，使得：1(x) V(x) 2(x) , x Bh0，使得:定义(自治系统局部稳定性)-自治系统平衡点 x 0是稳定的如果给定0，总能够找到x(0)|x(t)|, t 0定义函数V : BhR对常微分方程xf (x)的全导数等于：

25、63;(x)1 n V n V、VVVf2 (x)V*fi(x),JJVi 1xji 1 Xj%X2xfn (x)定理(自治系统稳定性)一令x 0 Bh为常微分方程x f (x)的平衡点，如果存在:(2)全导数V 0, x Bh则平衡点x 0是稳定的。Perko2001，陆启韶 1989证明1取任意 0,满足B Bh。记：c mi nV (x)由V局部正定知c 0。由于V连续且V (0)0，存在 0 ,使得:xV(xJ c由于V 0,所以V(x(x°,t)非增，即:V(x(X0,t) V(X0)c, t 0。证由于c是B上的最小值，因此从 B出发的任何解曲线 x(x0, t)都不会到

26、达B的边界 B，即x(x0 ,t) 明可以到此结束。但如果对此结论有疑问，现在采用反证法证明。假设从x0, x0出发的解曲线在 匕时刻到达 B，即：x(x0,t1)，则因为c mi nV (x)，所以:IxV(x(X0,tJ) c上式矛盾。所以：xx(x0,t), t 0证毕上述定理由俄国数学家亚普诺夫于1892年建立。下图给出了定理的几何意义。八x-i图 亚普诺夫稳定性定理的证明证明2由于V局部正定，存在 K，使得:(x) V(x) , x Bh给定 0，由于V连续且V(0) 0，存在 0,使得x0时：V(Xo)()由于V 0，所以：V(x(x°,t) V(x。)()因为(x) V

27、(x)，所以：(x)(x(X0,t) V(x(x°,t) V(x0)()由于单调增，所以：x(t,x0)。证毕借助于K类函数 ，上述第2种证明方法更简单，思路清晰。这个方法的思想在非自治系统也可以采用，使得自治系统和非自治系统的稳定性证明统一起来。但是，两种证明方法都应当掌握，因为在文献里面，两种证明方法 都常见。定义(自治系统渐进稳定性)自治系统平衡点 x 0是渐进稳定的如果给定0，总能够找到0，使得:(1) x(0)x(t) , t 0(2) lim x(t) 0t注意，上述定义中，第(2)个条件并不隐含第(1)个条件。稳定和渐进稳定的区别如下图所示。图稳定和渐进稳定定理(自治系

28、统渐进稳定性)一令x 0 Bh为常微分方程x f (x)的平衡点，如果存在：(1)连续可微函数V ： BhR满足V(0) 0, V(x) 0 , x Bh (即局部正定函数V )(2)全导数 V 0, x Bh, x 0 则平衡点x 0是稳定的。给定证明1 Brauer-Nohel1969, Khalil1996渐进稳定性的第 (1)个条件已经满足，现在我们用反证法证明：存在，只要Xo，就有：lim V(x(t)0首先注意因为连续函数 V(x(t)严格下降且存在下界，所以极限lim V(x(t)存在。假设存在，使得:V(x(t)0， t 0因为V (x)在原点连续，所以存在 0，使得:x0 V

29、(x)这样满足V(x(t)0的解曲线x(t) 一定满足：x(t)令:max|x|上式成立因为V(x)是连续函数，其在紧致集合上存在最大值。再注意:dV V(x) V(x) V(x。)0V(x)dt V(x。) t dt0但是当t足够大时上式变成：V(x) V(x)t 0显然错误。因此，不存在，使得：V(x(t)0， t 0这就证明lim V(x(t)0不成立，因此:tlim V(x(t)0由此可得lim x(t) 0，证毕t证明 2Miller-Michel 1982, Sastry 1999证明 3Hirsch-Smale 1974; Perko 2001定理的几何意义非常清楚，见下图。因为

30、0 ,图中等高线V(x) c1, V(x) c2最后收缩至原点，意味系统是渐进稳定。Xi定义(稳定矩阵)矩阵A是稳定矩阵如果 A的所有特征值的实部Re()满足Re( ) 0。? ?定理【Kha”1 1996矩阵a是稳定矩阵，当且仅当对任意给定对称正定矩阵q，存在对称正定矩阵 P，满足如下亚普诺夫矩阵方程：PA AtPQ而且，如果矩阵 A是稳定矩阵，则 P是唯一的。？ ？定理(亚普诺夫第一方法)Kha" 1996令f : &Rn，非线性系统X f(x)的平衡点x 0是渐进稳定的如果矩阵 A 是一个稳定矩阵；是不稳定的如果 A的一个特征值的实部大于零。X X 0? ?证明我们将只

31、证明第一个结论，即如果A是稳定矩阵，则x 0是渐进稳定的。由泰勒定理知道，在Bh里面:f(x) Ax g(x)其中g(x)满足：g(x)因此，给定任意0,存在 0,使得:g(x)2X2，即：|g(x) 2 x 2令P为一对称正定矩阵，定义:V xTPx计算全导数：V f T (x) Px xT Pf (x)XTAT gT (x) Px xTP Ax g(x) xt(PA a P)x 2xT Pg(x)xtQx 2 p2 x22min (Q) 2 P2 X2这样，只要0足够小，就有：V 0。因此平衡点是渐进稳定的。证毕？ ？二渐进稳定性的不变性原理前面介绍的渐进稳定性定理要求V 0 ,下面介绍一

32、组只需要 V 0的结果，即尔不变性原理。首先我们给出一组定义。在定义中令 x(t)代表自治系统的解曲线。定义(正极限集)称LRn为自治系统的正极限集，如果对任意5? L，都存在一个序列x(tn)，满足：tnX(tn)在许多文献里，正极限集又称极限集。例子-渐进稳定系统的原点是正极限集；稳定极限环是正极限集。定义(不变集)称 MRn为自治系统的不变集，如果：x(0) Mx(t) M例子-自治系统的平衡点和极限环都是不变集。引理Khalil 1996如果x(t)是有界的，则其正极限集L非空，紧致，不变，并且：tx(t) L尔不变性原理有两种常见表达方式，下面分别介绍。定理(尔不变性原理1) Kha

33、lil 1996假设存在连续可微函数V :BhR，令Bh为一紧致正不变集，而且:V(x) 0，再令M为E中最大不变集，则:当t 时，x(x°,t)收敛到M证明一x Rn :V(x) c 为一闭定理(尔不变性原理2) Sastry 1999假设存在连续可微函数V : Bh R，令 集，而且V(x)0, xc令E xc：V(x)0，再令M为E中最大不变集，贝V:xc当t时，x(x°,t)收敛到M。证明一假设X。c,因为V(x) 0, xc,所以V(x)非增，这样x(x0,t)c。也就是说c为一不变集。尔不变性原理的条件完全满足。证毕尔不变性原理有三个进步Khalil 1996。

34、第一，突破了对一个稳定平衡点的研究，它还提供了一个计算稳定域(上述V不必要(严格)负定，半负定就可以了。定理中 c)的方法。而稳定域是电力系统暂态稳定分析中最关心的课题。第二，有趣的是，在尔不变性原理中，V函数甚至不必要是正定的，只要连续可微就可以了。第三，全导数下述结果是尔不变性原理的一个特例。定理(巴巴欣克拉索夫斯基定理)令x 0为常微分方程X f(x)的平衡点，如果：(1) 存在连续可微函数V : BhR满足V(0) 0 , V(x) 0 , x Bh (即局部正定函数V )(2) 并且全导数V 0, x Bh(3) 集合E x Bh ：V(x) 0不包含整条解曲线则平衡点x 0是渐进稳

35、定的。显然，巴巴欣克拉索夫斯基定理中第(3)个条件可以修改为：集合E x Bh :V(x) 0只包含原点。这样我们有如下常见推论。推论-令x 0 Bh为常微分方程x f (x)的平衡点，如果：(1) 存在连续可微函数V : BhR满足V(0) 0 , V(x) 0 , x Bh (即局部正定函数V )(2) 并且全导数V 0, x Bh(3) 集合E x Bh :V(x) 0只包含原点则平衡点x 0是渐进稳定的。三.指数稳定性定义(指数稳定性)3. 2自治系统中心流形考虑自治系统X f(x)，其平衡点x 0雅可比矩阵A 丄。亚普诺夫第一方法解决了当A有非零实部特征值X x 0时的系统稳定性问题

36、， 下面要介绍的哈特曼-格鲁巴曼定理进一步扩展了这一认识。但是，采用线性化无法解决当 A存在零实部特征值时的系统稳定性问题，中心流形理论给这个问题提供了一个漂亮的答案。双曲平衡点定义(In set ,Outset )Sastry 1999定义(稳定，不稳定流形) 定理(哈特曼格鲁巴曼定理)哈特曼-格鲁巴曼定理指出，当非线性系统具有双曲平衡点时，其线性化系统和原系统存在拓扑等价关系。定理(稳定流形定理)- 二非双曲平衡点当非线性系统存在非双曲平衡点时，其线性化系统与非线性系统不一定存在拓扑等价关系。例子定理(中心流形定理)一将非线性系统:x f(x)f(x)f (x) Ax 得:Ax f (x)

37、AxAxf(x)注意：f (x) 0, f0。x x 0假设A包含k个零实部特征值，U Cu F(u,v)V Bv G(u, v)其中C为包含k个零实部特征值的kl个负实部特征值。这样，采用相似变换后，x f (x)总可以表达为：k方阵，B为包含I个负实部特征值的II个方阵；函数F , G及其一阶导数在(0,0)处都等于零。h(0)中心流形定理断言，存在0和光滑函数h(v)，使得当v 时，v h(u)，且满足边界条件关系式v h(u)定义的曲线称为中心流形。将v h(u)带入V Bv G(u,v)，并注意U Cu F(u,v)，得到中心流形应当满足的条件：h(h(u) Cu F(u,h(u)

38、Bh(u) G(u,h(u) 0uL.h(0)0, 0u u 0将求得的中心流形带入U Cu F(u,v)，得到降阶系统:U Cu F(u,h(u)定理如果降阶系统 u Cu F(u,h(u)的平衡点是稳定(渐进稳定，不稳定)的，则原系统x f(x)是稳定(渐进稳定，不稳定)的。现在的问题是如何求取中心流形v h(u)。对此，我们有如下结果。定理 例子3. 3自治系统稳定域成功的对一类非线性系统的吸引域进行定性刻划是电力系统暂态稳定研究领域的最重要的理论贡献。定义(稳定域)例子一下述两阶系统Khalil 1996:存在二个平衡点：(0, 0), ( . 3, 0), ( . 3, 0),其稳定

39、域包含在穿越平衡点C. 3, 0)和(3, 0)的两条轨线之间，女吓图。42-20斗图例题相图运用尔不变性原理可以对稳定域进行近似估计Khalil 1996。看下面的例子。例子Khalil 1996计算如下两阶系统的稳定域:1X2【2X1 (%22 1)X2解：首先将右端项线性化,得出此矩阵的所有特征值为负,PA得：At P平衡点是渐进稳定的。现在解如下亚普诺夫方程:1.50.50.5取亚普诺夫函数V(x)TX Px ,其全导数为:V(x)(X12 * X；)(X；X2II |2II X2X12 2、2x1 X2)X1X2IIX1 2x2225 x在推导上式过程中我们用到关系式X1X1X212

40、 INI 2 和 X 2x25x2。，如果取:Xi引理（吸引域基本性质）Khalil 1996吸引域是一个开的，连通的不变集 证明一引理（稳定域边界）Hahn 1967稳定域边界由轨迹组成。定理（双曲系统吸引域边界）3. 4自治系统全局稳定性和有界性一全局稳定性定义（全局渐进稳定） 定理（全局渐进稳定） 二有界性定义（有界性）3. 5非自治系统稳定性在这一节，我们考虑下述非自治系统：X f(t,x)假设在Bh上f C且保证上述常微分方程解的存在唯一性。定义(正定函数)V(t,x)定义(无穷小上有界函数)V(t,x)定理(非自治系统稳定性)【廖晓昕1999, Rouche1977 Miller1

41、982】若在区域Bh上存在1) 正定函数V(t,x),2) V 0，则平凡解x 0是稳定的。证明：由V(t,x)正定，知存在 (x) K，使得：V(t,x) (x)。(t0,)，当注意到V(t°,0) 0以及在区域Bh上V(t0,0) 0且连续。对任意，0 h，存在(足够小)x(t°,)时：V(t0,x°)()。因为 dV 0,所以 V(t,x)非增，因此：V(t,x(t,t0,x。)V(t°,x°)( )(t t。)dt由V(t, x)(x)和上面不等式得到：(x(t,t°,x0) V(t,x(t,t°,x0) V(t&#

42、176;,x0)( )(t t° )因为 单调增，所以：x(t,t°,x0)|( t t0)证毕如果比上述定理多要求一个条件，即V(t,x)有无穷小上界，则可以得到一致稳定，如下面的结果所述。定理(非自治系统一致稳定)【Miller1982】若在区域Bh上存在1)正定函数V(t,x),2)dVdt3) V(t,x)有无穷小上界,则平凡解x 0是一致稳定的。证明：由假设知道存在1,2 K使得：1(x)V(t,x)2(x)(t 0, x Bh)注意到2在x0处连续，因此给定0 h，存在(足够小)0满足：2()i()。这样如果 t。0, x0贝V：VC，"2(x。)2(

43、 )i()因为理0,所以V(t,x)非增，因此：dtV(t,x(t,t°,x°) V(t°,x°)2(X0)2( )1( ) (t t°)而且：i(x(t,t°,x0) V(t,x(t,t°,x°) V(t°,x0)2(X0)2( )1( ) (t t°)因为i单调增，所以：X(t,t0,X°)(t t。)证毕定理(非自治系统一致渐近稳定)Miller-Michel1982, Sastry1999定理(非自治系统指数稳定)定理(一致有界)【Miller1982】定理(一致最终有界)【M

44、iller1982】定理(一致最终有界)【Khalil1996】练习练习13.81 Problem (lonaiflrr the, nuionnmofftJi RyflWm of iirnt ordi or- dinwy diffmentin equationsi = /(t)(3.8.2)wkerc / E T.Rt J?11). Assunic that there exists & functxm u 6 CpFR such that致珂印=VvWT/(x) = 0for all j e 於、whwe Vv (dv血、"疋工口卩,LetAfx 丘 E 炉：t(x) =

45、A)6 = (x G JT : v(z) < Arrnd滋=h E胪：巩时> >.制门怙 that each of these may consist of several disjoint rompunent ftete*Piovc tbat che acts Af*Cv and C arc invanant with respect to (3 S.2). Ptovt Dial K»«ib dhyvitit uitupuuent sei 就 these seis is in%<iriant with Expect to (3&”2O练习2

46、-取，计算下述系统稳定域。四微分一代数方程Hill 一Mareels1990五暂态稳定分析和预防控制一个电力系统在遭受大的干扰（如发电机端口发生三相短路故障）后，各个发电机转子会发生相对运动，其1 , 2。运动轨迹由一个常微分方程（所谓摇摆方程）初值问题描述。如果故障切除瞬间系统的状态处于故障后系统的稳 定域，则故障轨迹将收敛到一个稳定平衡点。我们称系统是暂态稳定的；否则，为暂态不稳定6. 1数学模型6. 2仿真法6. 3直接法EEAC TEF等方法及其数学基础6. 4暂态稳定预防控制洛南，甘德强，王建全参考文献1 倪以信，寿，宝霖，动态电力系统的理论和分析，清华大学，2002年5月2 余贻鑫

47、，王成山，电力系统稳定性理论与方法，科学，19993 D. Gan, R. J. Thomas, R. D. Zimmerma n, "Stability-Co nstrai ned Optimal Power Flow",IEEE Trans.On Power Systems, vol. 15, no. 2, May 2000, pp. 535-5404 M. Pavella,D. Ruiz-Vega,“A Comprehensive Approach to TransientStabilityControl,Part I:NearOptimal Preve ntive

48、Con trol, paper submitted to IEEE Trans. On Power Systems, TPWRS-00275-20025 M. Pavella,D. Ruiz-Vega,“A Comprehensive Approach to TransientStabilityControl,Part II:OpenLoop Emerge ncy Con trol, paper submitted to IEEE Trans. On Power Systems, TPWRS-00276-20026 E. De Tuglie, M. Dicorato, M. La Scala,

49、 P. Scarpellini,“ Dynamic Security Dispatch under PracticalConstraints ” , 14 th Power System Computation Conference, Sevilla, Greece, June 20027 H.D. Chia ng, “ Direct stabilityan alysis of electric power systems using en ergy functions: theory,applications, and perspective” , Proceedings of the IEEE , vol. 83, no. 11, 1995, pp. 1497-15298 新林，元章(YangXin lin ，Sun Yua nzha ng),"电力