东北师大附属中学高轮复习导学案双曲线A

1、双曲线(教案)A一、知识梳理：1. 双曲线的定义定义的理解：(1) 当 2a=2c 时，; 当 2a>2c 时，当a=0时，; 当 |MFi|-| M F2|=2a 时，表示 _ 当 IMF2H M R|=2a 时，表示 x2 y22. 双曲线的标准方程：焦点在x轴上的标准方程：笃-爲=1(a>0,b>0) 焦点在y轴上a2 b2y2 x2的标准方程：-2- -2 =1(a>0,b>0)a b两种方程可用统一形式表示:Ax2+ By2=1 (AB<0),当A>0,B<0时，焦点在 _轴上，当A<0,B>0时，焦点在 轴上；对双曲线的两

2、种标准方程，都有(a>0,b>0),焦点都在实轴上，且 a、b、c始终满足c2=a2 + b23. 双曲线焦点所在的轴的判定方法：在标准方程中，只要看系数，如果x2为正,y2的系数为负，则双曲线的焦点在 x轴上，反之，焦点在y上.4. 双曲线的几何性质x2 y2对于双曲线2-2 =1(a>0,b>0)22(1) 范围：由标准方程可知，冷-笃=1(a>O,b>O)|x|>a ,说明双曲线位于直线 x= ±玄的a b两侧；2 2 对称性：双曲线 学笃=1(a>0,b>0)关于直线x轴，-轴，及原点对称；a2 b2 顶点：Ai(- a,

3、0), A2(a, 0)是双曲线与x轴的两个交点，Bi(0, - b), B2© b)线段 AA2、BB2分别叫双曲线的实轴与虚轴，它们的长分别是2a, 2b; a, b分别叫双曲线的半实轴长与半虚轴长。 离心率：双曲线的焦距与实轴长的比值e=c叫双曲线的离心率，范围：(1,+8),ac2越接近于1越窄狭，越大开阔，常用计算：e2=1+巧；双曲线上点到焦点和直aa2线x=- 的距离之比等于离心率，由此可以求出双曲线上的点到相应的焦点的距c离(焦半径)p在右支上时,|p F11= e xo+a |p F2F e x° - a ;p在左支上时， |p F11=-( e x0 +

4、 a) |p F2|=-( e x0 - a )( F1, F2为左、右焦点)(5)双曲线的渐近线求法：将方程中的常数变为0特点：与渐近线平行的直线和双曲线只有一个公共点。2 2有共同渐近线的双曲线系：与双曲线有共同渐近线的双曲线可设为02-12 = Xa >0, ?> 0,入工 0)2 25. (选讲内容)双曲线的参数方程：双曲线壬-£ =1(a>0,b>0)的参数方程为:x = sec 0y = ta n 0为参数(0)6二次曲线的弦长公式：整理得到x的方程：整理得到y的方程：7.等轴双曲线：x2 - y2 = X 入工 0)渐近线：y = ±x

5、离心率:e= 2xy=1是等轴双曲线x2 y28.共轭双曲线:a2-= ±1(a>0,b>0) 二、题型探究探究一：双曲线的标准方程(求双曲线方程常用方法：待定系数法)例1:求适合下列条件的双曲线的标准方程(1)、两个焦点坐标分别为(-4 , 0)、(4, 0),双曲线上的点 P到两个焦点的距离之 差为6;2 2 _ _(2) 、与椭圆 补+吕=1共焦点且过点 B(3 2 , 2)2552 2(3) 、求以椭圆才6 =1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线标准方程2 / 10探究二：双曲线的几何性质例2 :根据下列条件，求双曲线的标准方程 与双曲线x2- y2 = 1有共同的

6、渐近线,且过点(-3, 2 3).与双曲线x2- y2 = 1有共同的焦点,且过点(3 2, 2). 双曲线的一条渐近线与x轴夹角为30°,且过点(1,1).探究三：直线与双曲线例3:2(1)、已知双曲线X2 -1，过点P 1,1能否作直线交双曲线于A、B两点，且线2段AB中点为P ?若存在，求出它的方程；若不存在，说明理由.解：这样的直线不存在，可用点差法解AB的斜率为2,这与判别式大于零矛盾2 2、过双曲线 =1的右焦点作直线 L交双曲线于 A B两点，求线段 AB的916中点M的轨迹方程。2 2解：易得右焦点为 F(5,0)M(x, y), A(x,y ),B(b% )，则有：

7、 乞-止=1 ,9162X292 y216=1两式相减:19 X1X2X1 - x116y< y2 % - y2 = 0由题设条件得：x-!x2= 2x, % y2=2y ,出二_0代入得:% x2 x _ 5-2x 2y 土10 =o=.916 x516x21。100100三、方法提升（1） 、熟练掌握双曲线的标准方程，特别是a, b, c, e四个数值的换算关系；（2）、掌握双曲线的定义、几何性质，通过运算得到的双曲线特殊结论要留下深刻印 象；特别是渐近线的重要结论 （3）、为简化运算，处理交点问题时，常采用"设而不求”的办法，一般是设出交点 后，再用韦达定理处理，这种方法

8、在处理直线与双曲线的位置关系中极为重要。四、反思感悟五、课时作业、选择题（每小题6分，共42分）1若方程2x|m|-22ym -1=-1表示焦点在y轴上的双曲线，则它的半焦距c的取值范围是（)A. (0,1)B.(1, 2)答案：Cy2x2解析：yx 1，又焦点在m -1一 =1|m-2|C. （1, +R）D.以上都不对y 轴上，则 m-1>0 且 |m|-2>0,故 m>2 , c=.(m匚 1)|m 匚2 =、2m-3>1.2.（2010江苏南京一模，8）若双曲线的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率e等于（）A. .2答案：C解析：设双曲线方程为2x

9、2a2 y b2b=1,则F( c,0 ) y= x的距离为abc=2a= b=2a,e= = 5a3.（2010湖北重点中学模拟,11）与双曲线2-'=1有共同的渐近线,16且经过点（-3,4.2 ）的双曲线方程是（）2y2 x2yx22 2xy2 24xyA. J- =1B.- =1C.=1D.=11698331694解析：设双曲线为2 x2=入，入=J-3)2"2)2=-1,故选A.91691622xy4.设离心率为e的双曲线C:2亍=1（ a>0,b>0）的右焦点为 F，直线I过点F且ab斜率为k，则直线l与双曲线2 2 2 2A.k -e >1B.

10、k -e <1C在左、右两支都相交的充要条件是2 2C.e -k >1)2 2D.e -k <1解析：双曲线渐近线的斜率为土b，直线I与双曲线左、右两支都相交，则-b<k< -，aa a即k2<岂a22 2c -a=e -1，a即 e2-k2>1.5.下列图中的多边形均为正多边形，M、N是所在边上的中点，双曲线均以图中的 F1、F2为焦点，设图中的双曲线的离心率分别为e1、e2、e3,则（）C.e1=e3<e2A.e1>e2>e3 答案：DB.e1<e2<e3D.e1=e3>e2解析：*奢諸%丨吋2丨IF1F2IW)

11、对于，设正方形边长为2,则|MF2|= .5 , |MF1|=1, IF1F2F22 ,| F1F2 |242vio + v 2"|MF2 |-|MFi5-1 一 2对于设 |MFi|=1 则 IMF2F、3, |FiF2|=2,e3=2CIF1F2 |2a IMF? I - | MFi3 -1=、3 +1.又易知.3+1'匸02,故ei=e3>e2.6.（2013湖北重点中学模拟,11）已知椭圆E的离心率为e,两焦点为Fi、F2,抛物线C以Fi为顶点，F2为焦点，P为两曲线的一个交点，若凹弋则e的值为|PF2 |、.2C.2D解析：设 P( x°,yo)，则

12、 ex°+a=e(xo+3c)= e=7.（2012江苏南通九校模拟，10）已知双曲线2 x 2 a2乂y=1（a>0,b>0）的右焦点为F,右准bA.30 °B.45 °C.60°D.90 °a2 ab)1 ab2 a解析：A （,Sa oaf=22c= a=b,故两条渐近线为y= ± x,夹角为c c2c290° .二、填空题（每小题5分，共15分）2 2222线与一条渐近线交于点 A， OAF的面积为 邑（O为原点），则两条渐近线的夹角为（）2xyxy8.已知椭圆=1与双曲线2 2 =1（m>0,n&

13、gt;0）具有相同的焦点Fi、F2,设两25 16mn曲线的一个交点为 Q，/ QFiF2=90°,则双曲线的离心率为 .22j 22解析： a =25,b =16, a c= . a -b =3.又 |QFi|+|QF2|=2a=10,|QF2|-|QFi|=2m,2 2 2|QF2|=5+m,|QFi|=5-m.又|QF2| =|QFi|+|FiF2| , 即（5+m）2=的）2 心 m=|： e=m 耆552 29.（2012湖北黄冈一模,15）若双曲线x =1的一条准线恰为圆 x2+y2+2x=0的一16 k条切线，则k等于解析:因圆方程为222a(X+1) +y =1,故-

14、一=-2,即C16-.16 k=2,k=48.210. 双曲线X -y2=1（n>1）的两焦点为F1、F2,P在双曲线上，且满足|PF1|+|PF2|=2 . n 2,n则厶pf1f2的面积为.解析：不妨设 |PF1|>|PF2|,则|PF1|-|PF2|=2 . n，故|PF1|= n 2 一 n ,|PF2|. n 2 _劇n.又 |F1F2|2=4 (n+1)=|PF1 2+|PF2|2,PF1F2 为 RtA .故 S ?吋21=|PF1|2 |PF2|=1.2、解答题（11 13题每小题10分，14题13分，共43分）2 211. 若双曲线 令=1（a>0,b>

15、;0）的右支上存在与右焦点和左准线距离相等的点，求a b离心率e的取值范围.解析：如右图，设点 M （X0,y0）在双曲线右支上，依题意，点M到右焦点F2的距离 X0> a,. a(2e) >a.v 1 e > 1,e> 1,. e2-e>0.e -ee -e- 1+e>e2-e. 1-2 < e< 1+、2 .但 e>1,. 1<e< 1+2 .OPi、OP22712. 已知 P1OP2的面积为 ,P为线段P1P2的一个三等分点，求以直线413为渐近线且过点 P而离心率为的双曲线方程.2解析：以O为原点，/ P1OP2的角平分

16、线为x轴建立如右图所示的直角坐标系 ，设双曲x2 y2,2 c2 b 213线方程为 2y =1(a>0,b>0),由 e = 2 =1+()=()a ba a 2两渐近线33OPi、OP2方程分别为y= x和y=- x,22设点Pi3-3(X1,X1),点 P2 (X2,-2X2 ) (xi >0,X2 > 0),则点P分P1P2所成的比P1PPP2=2.得坐标为x1 2x2(h3 x1 -2x2卄 捲 +2x2 x1 2x2),即(1212，又点P在双曲线2X2a2丄=19 2a4上.所以2(X1 2X2)2(X1 2X2)9a29a2=1,即 (X1 +2x2 )

17、2-(X1-2x2)2=9a2.8x1X2=9a29又 IOP1F.X14X1-X1,|OP2|=. X22924X213X2,sin PiOP2=2ta n P1OX1 tan2 ROX2.329 + 4=13 ' s POP2 冷 |OPi|2 |OP2|2 sinPiOP2= 1 2 13 1312 27922X1X22= ，即X1X2=.，由得a2=4,. b2=9,故双曲线方程为13 422丄=1.913. （2012江苏扬州中学模拟，23）已知倾斜角为45°的直线I过点A （1, -2）和点B, 其中B在第一象限，且|AB|=3 2 .（1）求点B的坐标；2（2）

18、 若直线I与双曲线C: -2-y2=1（a>0）相交于不同的两点 E、F,且线段EF的中点a坐标为（4, 1），求实数a的值.解：（1）直线AB方程为y=x-3,设点B（x,y），y = x 3,由22 及 x>0,y>0,得 x=4,y=1, 点 B 的坐标为（4, 1）.l（x-1）2 +（y+2）2 =18,y=x-3,12（2）由 <x22 得（P-1）x+6x-10=0.-y =1. aE (X1,y1),F(X2,y2),则X1 +X2=6a21 -a2=4,得 a=2,此时, >0, a=2.x2-y2=1的左、右焦点，点A的坐标是14如右图,环F2分别是双曲线.a(1)求点B的坐标；(2)求证：/ FiBA= / F2BA.(1)解析：依题意知 F1 (-2,0) ,F2(2,0),A( 2,- 2).2 2设 B (xo,yo),则 F1 A=(2子,AB =(xo-,yo+,2 23