专题08含参数的导数问题解题规律

1、专题 含参数的导数问题解题规律一知识点 基本初等函数的导数公式 () 常用函数的导数()=(为常数);()=;()=;'=;()'=() 初等函数的导数公式()=;()'=;()'=; ()=;()=;()'=;()=导数的运算法则()()±()'=;()()()'=;()'=复合函数的导数()对于两个函数=()和=()，如果通过变量，可以表示成的函数，那么称这两个函数(函数=()和=()的复合函数为=().(二) 构造函数 例已知函数 .()讨论的单调性;()当 , 为两个不相等的正数，证明： . 【答案】()时，在区

2、间为增函数;时，在区间为增函数;在区间为减函数;()见解析 .【解析】 () 求出，分两种种情况讨论的围，在定义域，分别令求得的围，可得函数增区间，求得的围，可 得函数的减区间; ()设，原不等式等价于，令，则原不等式也等价于即 . 设，利用导数可得在区间为增函 数，从而可得结论 .【详解】()函数的定义域为， . 若，则在区间为增函数;若，令，得则当时，在区间为增函数；当时，在区间为减函数()当时，不妨设，则原不等式等价于，令，则原不等式也等价于即下面证明当时，恒成立设，则，故在区间为增函数，即，所以【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及不等式的证明，属于难题不等式证明问题是近年高

3、考命题的热点，利用导数证明不等主要方法有两个，一是比较简单的不等式证明，不等式两边作差构造函 数，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值即可；二是较为综合的不等式证明，要观察不等式特点， 结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明练习已知函数()证明：f x有两个零点;()已知1，若x0 R ,使得，试比较与2xq的大小.【答案】()见解析；()见解析【解析】试题分析：()在0,3上单调递减，在3,上单调递增，根据函数的最值情况确定零点个数；()由，可得：-，令t 一，函数h t在1,上单调递增，二fM-fk1 2 Ja-pa a+f又在1,

4、上是增函数， x0 ，即2x02试题解析：()据题知，求导得：令f x 0，有x 3 ;令x 0 ,得0x3，所以f x在0,3上单调递减，在3,上单调递增,令x 1，有fl 10 ;令x e2，有故f x在1,3和3,e各有个零点f x有两个零点（）由，而a-Pa-fiIn +a ct+0令t -,则，<0?函数h t在1, 上单调递增，故1 2 JGC_ Q又在1,上是增函数， x0，即2x02（三）极值点偏移例已知函数（其中是自然对数的底数，）.（）讨论函数的单调性；（）当函数有两个零点时，证明：【答案】（）见解析；（）见解析【解析】本题考查导数与函数单调性的关系以及用导数证明不等

5、式的问题。（）求导数后，根据导函数的符号判断出函数的单调性。（）根据题意将证明的问题转化为证明，即证，构造函数，利用函数的单调性证明即可。试题解析：（）解： 当时，令，解得，当时，单调递减; 当时，单调递增。 当时，恒成立，函数在上单调递增综上，当时，在上单调递减，在上单调递增。当时，在上单调递增（）证明：当时，由（）知函数单调递增，不存在两个零点。所以。设函数的两个零点为，则 ''十2设，解得，所以，要证，只需证，设匚：一-：二：一一 r -:匕：一. -1 L£设单调递增，所以，所以在区间上单调递增，所以，故.练习已知函数（）讨论的单调性；（）已知存在两个极值点，

6、令，若，求的取值围【答案】（）见解析；（）【解析】（）对函数进行求导，讨论导数的正负，求得单调区间（）将变形为，利用韦达将其转化为关于的函数，求得最值，即可得到的取值围【详解】<i）rw = -i-h=> oiX*X卫。（i当/一为0在。+空）上里调連减！<1L）当亦一施>0即X0或心曲h令fm 得三戸或2七军迈 当时，在上，单调递增；在上，单调递减 当时，在和上，单调递减; 在上，单调递增（），则，由（）可知，且则，从而令，则因为，所以，所以在上单调递减，则，即 因为，即，所以，即的取值围为【点睛】本题考查了导数和函数的单调性，极值，最值的关系，以及函数的能成立的问题

7、，培养学生的转化能力，运算能力，属于难题.（四）多变量问题例.已知函数（Ox ）, （ m R）（I）求f x的单调区间；（n）求证：是 g x的唯一极小值点；（川）若存在a , b 0,，满足，求m的取值围（只需写出结论）3 3乞【答案】（）单调递增区间为 0, , f x的单调递减区间为,（）见解析（）m e44 4【解析】试题分析：（I）求出f' x , f ' x 0求得x的围，可得函数f x增区间，f ' x 0求得x的围，可得函数 f x的减区间；（n）先求得（x 0）,可得g' 10 ,又可证明在定义域递增,即可证明1是（）的唯一极小值点；（川）令

8、两函数的值域有交集即可 （I） 因为3因为Ox ，所以x 34当x变化时，f' X , f x的变化情况如下:x0,43434，f ' x0f xZ极大值故f x的单调递增区间为0 L , f x的单调递减区间为'44(n)证明: (x 0), 设，贝U故g' x在0,是单调递增函数, 又Q g' 1 0，故方程g' x 0只有唯一实根x 1 当x变化时，g' x , g x的变化情况如下：x0,11,g' x0g x极小值Z故g x在x 1时取得极小值g 1 m，即是g x的唯一极小值点3_(川)m e4(五) 与三角函数有关的

9、函数问题例已知函数(x 0).()若a 1，求函数f x的极大值;()若x 0,时，恒有f x 0成立，求实数a的取值围.2【答案】()2k 1； ()1,()对f x求导，【解析】试题分析：()当a 1时，对其求导，判断导数与的关系，故而可得其极值;当a 1时，函数单调递增，不等式成立；当a 1时,对其进行二次求导， 可得f”x0恒成立，f'x单调递增，结合零点存在定理可得 f' x有唯一零点xo，进而可得当xO,xo时,f x单调递减，且,即f x 0不恒成立;试题解析：()a 1时，当，k N时，f'x0， f x单调递增，当,N 时，f ' x 0，kN

10、.f x单调递减，所以，当时，f x取得极大值 2k 1/、 /Yx) = acosx-cosc+jcsiiix = (a-l4-xtanr)cost ()当a 10，即a 1时，f' x 0 ,所以f x单调递增，所以;1 /'i) =-1 sirLr+sinx + .xco5x =(2 -£j)siixv+ijCOM： > 0当a 1时寸，f' x 0， f x单调递所以f ' X单调递增所以f ' X有唯一零点，记为x0，当xO,xo时,减，且，即f x0不恒成立；综上所述，a的取值围是1,练习.已知函数的图象在点处的切线方程为y

11、5x .4()求a,b的值()求函数f X在,值域4 2【答案】()3,1 ；()【解析】试题分析:()求得f x的导数，可得切线的斜率和切点，由已知切线的方程可得a, b的方程组,解方程即可得到所求；()求得f x的导数，利用导数研究函数的单调性，禾U用单调性即可得到函数 f x在 一， 值域.4 2综上，由得：b 272当x 0,1时,b/fx I = orcos2jc + 5,二卫+ 2s加2jc(p试题解析：()一-'为)，又jT7T朮-5 JT JTQCOS1424解得a 3,b1.()由()知，函数f x在 一,一上递增， 函数f4 2在一，上的值域为4 2(六)构造函数求

12、参数例设函数()当a 1时，求函数g x的极值;()设，对任意，都有，求实数()无极大值；()b272【解析】试题分析:()1时，定义域为0,结合函数的单调性可得，函数没有极大值()列坷)-門叫)I】<°尸(舛)5 |/3)+弋 =码一兀由已知_ _<0，构造函数，则G x在0,2上单调递减,分类讨论可得:当x 1,2时,272试题解析：? r- (1) 3/7=1 时J g(r)=T-21iDC-l ,定义域宵(0=4瓷)“ gF(x) = l- =当;©2)时，单调递减，当H迂僅十闪)时0少0笛0)单调递増，二£仗)的遲减区间是(CU)邃増区间星Z

13、P).二宅(%覺“亠212无楓大值()由已知F)-戸他)1“巴匕旦匕U设，则G x在0,2上单调递减,当x 1,2时，Gx| =1ilv+' xGr| x'l 二丄一一- 1<0 所以-''整理：设，则在1,2上恒成立,所以h x在1,2上单调递增，所以 h x最大值是.当x 0,1 时，所以G(jc)二-lax+ 十工&(工)- -一r + 1 <0 x+1x (x + 1)整理：b设，则在 0,1上恒成立,所以m x在0,1上单调递增，所以 m x最大值是,综上，由得：b .2练习.已知函数在处的切线斜率为 .()若函数在上单调，求实数的

14、最大值；()当时，若存在不等的使得，求实数的取值围【答案】();()()转化为存在不等的,【解析】()先根据切线的斜率求出，再根据函数单调，得到恒成立，求出的最大值 且使得，进而得到【详解】()函数在处的切线斜率为解得所以，故因为函数在上单调 故或在上恒成立显然即在上不恒成立 所以恒成立即可 .因为可知在上单减，单增故，所以实数的最大值为 .()当时，由()知函数在上单调递增不妨设，使得即为存在不等的，且使得其否定为：任意，都有即：函数在上单调递增 .由()知：即所以若存在不等的使得实数的取值围为 .(七)讨论参数求参数例已知函数，(e为自然对数的底数).(I)当a 1时，求函数f x在点0,

15、 f 0处的切线方程；(n)若函数g x有两个零点，试求 a的取值围；(川)当x 0时，恒成立，求实数 a的取值围.【答案】 () y x 1 () 0,()【解析】 试题分析：()根据导数的几何意义得到 f 01 ， f 01 ，根据这两点可以写出切线方程。()对函数 g x 进行单调性的研究，分 a 0， a 0， a 0, 三种情况讨论单调性，研究函数的图像 变换趋势，得到参数方位。 ()原不等式等价于恒成立，对右侧函数研究单调性得最值即可。解析：(I)当 a 1 时， f 0 1, f 01.所以函数 f x 在点 0, f 0 处的切线方程为 y x 1.(n)函数g x的定义域为R

16、，由已知得 当a 0时，函数只有一个零点； 当a 0，因为ex 2a 0 ,当 x ,0 时,g x 0 ；当 x 0, 时,g x0.所以函数g x在 ,0上单调递减，在 0,上单调递增又g 01, g 1 a ,因为x 0,所以x 10， ex 1所以，所以取，显然X。0且g xg0所以，由零点存在性定理及函数的单调性知，函数有两个零点 当a 0时，由，得x 0，或.i）当a1，则 In 2a20当x变化时,g x , g x变化情况如下表：注意到g01,所以函数g x至多有一个零点，不符合题意 ii）当 a1则 In 2a0, g x 在,单调递增，函数g x至多有一个零点，不符合题意2

17、1若a ，则In 2a0当x变化时，g x , g x变化情况如下表:2注意到当x 0, a0 时，,g 01，所以函数g x至多有一个零点，不符合题意综上，a的取值围是0, （川）当f x 0 时，即，令，则令，则当x0,ln2 时，x 0,x单调递减；当时，x 0,x单调递增又00, 10,所以，当x0,1 时，x 0，即h x 0,所以h x单调递减；当x 1, 时，即h x 0,所以h x单调递增，所以，所以.点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数的最值，考查分离参数法的运用，考查学生分析解决问题的能力，分类讨论的能力，属于较难的题.利用导数证明不等式常见类型及解题策略（）构

18、造差函数根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（）根据条件,寻找目标函数 一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元 函数转化为一元函数练习.设函数f x ex, g x Inx .（i）证明：；（n）若对所有的 x 0,都有，求实数a的取值围.【答案】（i）见解析；（n） a 2.【解析】 试题分析：（i）令，求导得单调性，进而得，从而得证；（n）记求两次导得 h x在0, 递增，又，进而讨论2 a的正负，从而得原函数的单调性，进而可求最值.试题解析：（i）令，由 F x在（0,e递减，在e, 递增， F x 0

19、即成立.（n） 记， h x 0在0,恒成立，, , h x在0, 递增，又，当a 2时，h x 0成立，即h x在0,递增，则,即成立；当 a 2时， hx在0,递增，且，必存在t 0,使得h t0 .则x 0,t时，h t 0,即x 0,t时，与h x 0在0,恒成立矛盾，故a 2舍去.综上，实数a的取值围是a 2 .点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题:()根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题;()若 f x0就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为f X min 0，若f x 0恒成立;()若 恒成立，可转化为(八)利用特值缩小围例.已知，其中a为实常数，

20、曲线y f x在点e, f e处的切线的纵截距为,(其中e是无理数)()求 a ；()不等式f xmx2对x 0, 恒成立，求实数 m的最大值.【答案】()a 1;()实数m的最大值为e.【解析】 试题分析：()根据曲线的切线的几何意义得到切线方程为，由截距已知，可以求出参数值。()不等式恒成立求参变量分离可以转化为函数最值问题,代入特值x 1时，得到m e,现在验证的最大值可以是，即可。再构造函数，研究最值即可。曲线y f x在e, f e处的切线方程为x 0时,I +2总I +-解得a 1.f (工)二它"+ uxlnx,0/(xj > O4-eadux >O>

21、 mx O + elnx > mx(n)当x 1时，得到m e ;下证当m e时，不等式对 x 0恒成立设，则 10占Al -X设，x 0, h 10,h 10, x 0,1 时，x 1, 时,所以x 0,x1时，x 0,1时， x 0, x 1, 时， x 0，所以，结论成立；综述：实数m的最大值为e.点睛：这个题目考查了导数的几何意义，切线的几何意义，也考查了函数恒成立求参的问题。第二问的解 决方法常见的是：变量分离，转化为函数最值问题，或者直接含参讨论，研究函数最值；还有就是这个题 目中用到的方法，先猜后证。练习.已知函数.（）当时，求的单调区间；（）若有两个极值点 x1, x2,

22、且，求a取值围.（其中为自然对数的底数）.11【答案】（）单调递增区间为0,丄 和2,，单调递减区间为丄，2 ;2 2（）【解析】（）求导，利用导数的符号确定函数的单调区间；（）求导，禾U用导函数，将函数存在极值问题转化为导函数对应方程的根的分布情况进行求解.试题解析：（）f x的定义域为0,1 1fx的单调递增区间为%和2，单调递减区间为2,2（）因为，令若f x有两个极值点，则方程（）有两个不等的正根，所以a2 16 >0 ,即a 4 （舍）或a 4时，且，x1x21 .又11乂为，于疋，3 e1 1 1 1（ x ），则恒成立， h x在 ，-单调递减，即，故的取值围为.(九)分参

23、法求参数例已知函数()求f X在上的最小值;1()若存在X。丄,e使得成立，求实数的取值围e11【答案】()t , ；0 t , ； (),1 .ee【解析】()首先求得函数的导函数为，分类讨论可得：11t , ；0 t ,；ee11()原问题等价于x丄(，构造新函数，x 丄(，ee结合函数()的性质可得实数的取值围是,1试题解析:（）f' x 0，函数f x单调递增11令f ' x 0，解得x ,则x -时, eef' x 0，函数f x单调递减1t -时，函数f x在单调递增e因此，函数f x取得极小值即最小值,令，x1-,e ， e0 t1时，et e12，则x

24、时，函数数1ef x取得极小值即最小值,综上，t1，；0 t1ee()存在X。1 ,e使得1 x,eee令，x1-,e ， e则则，可知1-,1时单调增，xe1,e时单调减且，因此令h' x解得x 1，可得x1是函数h x的极大值点，即最大值，h 11 , m 1，实数的取值围,1 .点睛：导数是研究函数的单调性、极值（最值）最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行:（）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系.（）（）利用导数求函数的最值

25、（极值），解决利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数.生活中的优化问题.（）考查数形结合思想的应用.1 x练习已知函数（）,（）.ex（）若函数（）和（）的图象在处的切线平行，求的值;()当,时，不等式（）w（）恒成立，求的取值围.【答案】【解析】1e 3（）（） -2e3试题分析：（）分别求出（），（）的导数，计算得到'()'（），求出的值即可;2 1（）问题转化为-一在,恒成立，令（）x2x ,，根据函数的单调性求出（）的最大值，得到关于的不等式，解出即可.试题解析:()'()-x，'()e(),11,解得：e（）当 ,时，不等式（）W（）

26、恒成立,由题意得:1 ；2e即-一V在,恒成立,2令(), ,则()故()在,递增,故()W故3 ,e练习.已知函数.()3,e解得：w乞卫3()求函数f x的单调区间;()若关于x的不等式恒成立，求整数 a的最小值.【答案】()当a 0时,f x的单调递增区间为 0, ，无减区间,当a 0时，f x的单调递增区间为0,1 ，单调递减区间为；()【解析】试题分析:()首先对函数求导，然后对参数分类讨论可得当a 0时,的单调递增区间为 0,，无减区间,当a 0时，f x的单调递增区间为0,1 ，单调递减区间为()将原问题转化为在0,上恒成立,考查函数的性质可得整数a的最小值是.试题解析:()，函

27、数fx的定义域为0,0时,0,上单调递增,0时,0，则x:或f x为增函数,1 时，f' x0， f x为减函数,当a 0时，f x的单调递增区间为0,，无减区间,当a 0时，f x的单调递增区间为 0, 1 ，单调递减区间为、1 ()解法一：由得，/ x 0,原命题等价于在 0,上恒成立，令，则，令，则h x在0,上单调递增，由 h 110 ,、 1存在唯一 X0,1 ，使 h X00 ,.2当0 x x°时，g' x 0, g x为增函数,当xx0时，g' x 0 , g x为减函数,- xx0 时，1aX。又xg5，则-1,2 ,2X。由aZ ,所以a2

28、.故整数a的最小值为解法二1：得，令，a 0时，g' x 0, g x在0,上单调递减,该情况不成立,、lax* + (2)x 22)(jc+1)g- hr)=aw t西 /0时，当x10,时，g' x 0, g x单调递减；a当时，g' x 0, g x单调递增，g x0恒成立，即令，显然ha为单调递减函数由 a Z，且 h 110,当a 2时，恒有h a 0成立，故整数a的最小值为综合可得，整数 a的最小值为点睛：导数是研究函数的 单调性、极值（最值）最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系.（）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数.（）利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的优化问题.（）考查数