思易学教育寒假专题——平面向量

1、年 级高一学 科数学版 本人教新课标A版课程标题寒假专题平面向量编稿老师王志国一校林卉二校黄楠审核王百玲一、学习目标：1. 平面向量的实际背景及基本概念通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示；2. 向量的线性运算通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义；通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义；了解向量的线性运算性质及其几何意义。3. 平面向量的基本定理及坐标表示了解平面向量的基本定理及其意义；掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算； 理解用坐标表示的平面向量共线的

2、条件。4. 平面向量的数量积通过物理中"功"等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义；体会平面向量的数量积与向量投影的关系；掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。5. 向量的应用经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力。二、重点、难点：重点：平面向量的概念及运算，平面向量的基本定理，平面向量的数量积及其应用。难点：平面向量的数量积及其应用，与平面向量相关的综合问题。三、考点分

3、析：本讲内容属于平面向量的基础性内容，与平面向量的数量积比较，出题量较小。以选择题、填空题的形式考查本章的基本概念和性质，重点考查向量的概念、向量的几何表示、向量的加减法、实数与向量的积、两个向量共线的充要条件、向量的坐标运算，平面向量的数量积的概念及应用。重点体会向量为代数几何的结合体，此类题难度不大，分值为1015分。平面向量的综合问题是“新热点”题型，其形式为与直线、圆锥曲线、三角函数等联系，解决角度、垂直、共线等问题，以解答题为主。知识点一：平面向量的概念及运算例1：设为单位向量，（1）若为平面内的某个向量，则=|·（2）若与平行，则=|·；（3）若与平行且|=1，

4、则=。上述命题中，假命题个数是（ ）个A. 0 B. 1 C. 2 D. 3思路分析：向量是既有大小又有方向的量，因此两方面都要考虑到。解答过程：与|·模相同，但方向不一定相同，故（1）是假命题；若与平行，则与的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时=|，故（2）、（3）也是假命题。综上所述，答案选D。解题后的思考：向量的概念较多，且容易混淆，故在学习中要分清，理解各概念的实质，注意区分共线向量、平行向量、同向向量等概念。例2：已知（1）求；（2）当为何实数时，与共线， 共线时它们是同向还是反向？思路分析：本题主要要用到向量的坐标表示，向量的模，以及向量共线的条件等知识。解答过程

5、：（1）因为，所以，则（2），因为与共线，所以，即得。此时，则，即此时向量与方向相反。解题后的思考：以上两个例子重点解析了平面向量的性质在坐标运算中的体现，重点掌握平面向量的共线的判定及平面向量的模的计算方法。例3：求证：起点相同的三个非零向量，32的终点在同一条直线上。思路分析：先证明向量共线，再证明有公共点。解答过程：证明：设起点为O，=，32，则=2（），=， 共线且有公共点A，因此，A，B，C三点共线，即向量，32的终点在同一条直线上。解题后的思考：（1）利用向量平行证明三点共线，需分两步完成：证明向量平行；说明两个向量有公共点；用向量平行证明两线段平行也需分两步完成：证明向量平行；说

6、明两个向量无公共点。小结：学习本讲主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的运算处理几何问题，特别是处理向量的相关位置关系，正确运用共线向量和平面向量的基本定理，计算向量的模、两点的距离等。由于向量是一个新的数学工具，它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查，是知识的交汇点。（1）向量的加法与减法是互逆运算；（2）相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件；（3）向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线（重合）的情况；（4）向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关。知识点二

7、：平面向量的数量积及应用例4：|=1，|=2，=+，且，则向量与的夹角为（ ）A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°思路分析：要求向量与的夹角，关键是求它们的数量积。解答过程：设所求两向量的夹角为 即：所以，故选C解题后的思考：对于这个公式的变形的应用应做到熟练，解决向量的夹角问题时要借助于公式，另外向量垂直（平行）的充要条件必须掌握。例5：已知。 思路分析：，可以看作向量的模的平方，而则是、的数量积，从而运用数量积的性质证出该不等式。 解答过程：设 则。解题后的思考：在向量这部分内容的学习过程中，我们接触了不少含不等式结构的式子，如

8、等。例6：已知，其中。 （1）求证：与互相垂直； （2）若与（）的长度相等，求。思路分析：本题是向量和三角的综合题。（1）首先化简，再代入坐标计算。（2）利用向量长度相等转化成含的三角关系式，并分析的范围，求出的值。解答过程：（1）因为 所以与互相垂直。 （2）， ， 所以， ， 因为， 所以， 有， 因为，故， 又因为，所以。解题后的思考：平面向量与三角函数在“角”之间存在着密切的联系。如果在平面向量与三角函数的交汇处设计考题，其形式多样，解法灵活，极富思维性和挑战性。若根据所给的三角式的结构及向量间的相互关系进行处理，可使解题过程得到简化，从而提高解题的速度。例7：用向量法证明：直径所对的

9、圆周角是直角。思路分析：对于文字叙述题首先要写出已知和求证，然后再证明。解答过程：已知：如图，AB是O的直径，点P是O上任一点（不与A、B重合），求证：APB90°。证明：连接OP，设向量，则且，即APB90°。解题后的思考：平面向量是一个解决数学问题的很好的工具，它具有良好的运算性质和清晰的几何意义，在数学的各个分支和相关学科中有着广泛的应用。小结：注重数学思想方法的教学数形结合的思想方法。由于向量本身具有代数形式和几何形式的双重身份，所以在向量知识的整个学习过程中，都体现了数形结合的思想方法，在解决问题的过程中要形成见数思形、以形助数的思维习惯，以加深理解知识要点，增强

10、应用意识。化归转化的思想方法。向量的夹角、平行、垂直等关系的研究均可化归为对应向量或向量坐标的运算问题；三角形形状的判定可化归为相应向量的数量积问题；向量的数量积公式，沟通了向量与实数间的转化关系；一些实际问题也可以运用向量知识去解决。分类讨论的思想方法。如向量可分为共线向量与不共线向量；平行向量（共线向量）可分为同向向量和反向向量；向量在方向上的投影随着它们之间的夹角的不同，有正数、负数和零三种情形；定比分点公式中的随分点P的位置不同，可以大于零，也可以小于零。一、预习新知请预习必修5第一章 第一节 正弦定理和余弦定理。在数学发展历史上，受到天文测量、航海测量和地理测量等方面实践活动的推动，

11、解三角形的理论得到不断发展，并被用于解决许多测量问题。在初中，我们已经能够借助于锐角三角函数解决有关直角三角形的一些测量问题。在实际工作中我们还会遇到许多其他的测量问题，这些问题仅用锐角三角函数就不够了，如： 1. 怎样在航行途中测出海上两个岛屿之间的距离？ 2. 怎样测量底部不可到达的建筑物的高度？ 3. 怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拨高度？ 4. 怎样测出海上航行的轮船的航速和航向？这些问题的解决需要我们进一步学习任意三角形中边与角关系的有关知识。在本章中我们要学习正弦定理和余弦定理，并学习应用这两个定理解三角形以及解决实际测量中的一些问题。二、预习点拨根据所预习的内容，请回

12、答下列问题：1. 正弦定理的内容是什么？主要解决哪一类问题？2. 什么叫解三角形？3. 余弦定理的内容是什么？主要解决哪一类问题？（答题时间：60分钟）一、选择题1. 在ABC中，c，b，若点D满足2，则（ ）A. bc B. cb C. bc D. bc2. 已知O、A、M、B为平面上四点，且（1），（1,2），则（ ）A. 点M在线段AB上 B. 点B在线段AM上C. 点A在线段BM上 D. O、A、M、B四点共线3. 已知a（1,3），b（1,1），cab，若a和c的夹角是锐角，则的取值范围是（ ）A. B. C. 0 D. （0，）4. 若|a|，|b|2，且（ab）a，则a与b的夹角

13、是（ ）A. B. C. D. 5. 已知向量a（2,2），b（5，k）若|ab|不超过5，则k的取值范围是（ ）A. 4,6 B. 6,4 C. 6,2 D. 2,66. 在ABC中，AB，BC2，A，如果不等式|t|恒成立，则实数t的取值范围是（ ）A. 1，） B. （，1，） C. ，1 D. （，01，）7. 已知向量a（2,3），b（1,2），若mab与a2b平行，则实数m等于（ ）A. B. C. 2 D. 28. 已知|a|2|b|0，且关于x的方程x2|a|xa·b0有实根，则a与b的夹角的取值范围是（ ）A. ， B. ， C. ， D. ，二、解答题9. 已知a

14、（cos2，sin），b（1,2sin1），（，），a·b，求cos（）的值10. 已知向量a（sinx，1），b（cosx，）（1）当ab时，求cos2x3sin2x的值；（2）求f（x）（ab）·b的最小正周期和单调递增区间11. 设函数f（x）m·n，其中m（2cosx,1），n（cosx，sin2x），xR。（1）求f（x）的最小正周期与单调减区间；（2）在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且f（A）2，求A；若b1，ABC的面积为，求的值。1. A 解析 c（bc）bc，故选A。2. B 解析 （1,2），点M在线段AB的延长线上，即点B在线

15、段AM上3. D 解析 由条件得，c（1，3），从而（0，）4. B 解析 由（ab）a得，（ab）·a0，a2a·b0。|a|，|b|2，2|a|b|cosa，b0。cosa，b。0a，b，a，b。5. C 解析 |ab|（3，k2）|5，（k2）242，6k2。选C。6. B 解析|t|22t·t2|2|2，在ABC中，易知AC1，B30°，故得2t23t10，解得t或t1。故选B。7. B 解析 mab（2m1,3m2），a2b（4，1），若mab与a2b平行，则3m2，即2m112m8，解之得m。8. C 解析 由条件得：|a|24a·

16、b0，即cos，所以a与b的夹角的取值范围是，故选C。9. 解：a·bcos2sin（2sin1）2cos212sin2sin1sin，由a·b得1sin，sin。（，），cos。cos（）cossin×（）×。10. 解：（1）由ab，sinxcosx0，tanx，cos2x3sin2x。（2）a（sinx，1），b（cosx，），ab（sinxcosx，）f（x）（ab）·b（sinxcosx）cosx（sin2xcos2x）sin，最小正周期为，由2k2x2k得kxk，故f（x）的单调递增区间为，kZ。11. 解析 f（x）m·n2