平面解析几何初步

1、平面几何初步课程要求1.直线与方程(1)在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几 何要素.(2)理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.(3)能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.(4)掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），了解斜截式与一次函数的关系.(5)能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.(6)掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.2.圆与方程(1)掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.(2)能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程

2、判断两圆的位置关系.(3)能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.(4)初步了解用代数方法处理几何问题的思想.3.空间直角坐标系(1)了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置.(2)会推导空间两点间的距离公式.考情分析平面解析几何是高中数学的一个基本知识点，我们学习它是为了后面学习空间几何和圆锥曲线打基础。但平面几何作为一个考点，还是会在选择题或填空题中出现一道，而且难度适中。 为了拿到这5分，并且为后面的解答题做准备，我们需要牢牢掌握这部分基础知识。知识梳理1一、 直线与方程1. 直线的倾斜角和斜率：倾斜角： x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别 地，当直线与x轴平行

3、或重合时，我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°<180直线的斜率：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。斜率反映直线与轴的倾斜程度斜率的公式：给定两点，则直线的斜率=平行与垂直：两条直线，他们的斜率分别为2. 直线的方程点斜式：直线过点，且斜率为k,那么直线方程为: 斜截式：直线斜率为k，且与y轴交点为（0，b）, 那么直线方程为: y=kx+b两点式：直线过点，其中，那么直线方程为直线的一般方程：，（A，B不同是为0）3.两点间的距离4.点到直线的距离 点到直线：的距离为：5. 两条平行线间的距离已知两条

4、平行线，则的距离为二、 圆与方程 1.圆的定义（1）在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆.（2）确定一个圆的要素是圆心和半径.2.圆的方程（1）圆的标准方程： ，其中圆心为A(a,b),半径为r；（2）圆的一般方程：注：上述方程配方得：3.求圆的方程的一般步骤为：（1） 根据题意选择标准方程或者一般方程；（2） 根据条件列出关于或者的方程组；（3） 解出或者代入标准方程或者一般方程.4.点与圆的关系：（1）若>则点M在圆外；（2）若，则点M在圆上； （3）若<，则点M在圆内.5.直线：与圆 的位置关系：（1）若圆心A到直线的距离，则直线与圆相离； （2）若圆心A到直线的距

5、离，则直线与圆相交； （3）若圆心A到直线的距离，则直线与圆相切；6.圆与圆的位置关系：设两圆的连心线长为，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：（1）当时，圆与圆相离；（2）当时，圆与圆外切；（3）当时，圆与圆相交；注：当圆与圆相交与A、B两点时，上述方程相减即得直线AB方程.题型分类1. 求直线的方程：例. 如图所示，已知两条直线l1：x3y120，l2：3xy40，过定点P（1，2作一条直线l，分别与直线l1、l2 交于M、N两点，若点P恰好是MN的中点，求直线l的方程。 解析：解法一 设所求直线l的方程为， 由得交点M的横坐标为， 由得交点N的横坐标为， 点P恰好是MN的中点， ，解

6、得。 所求直线l的方程为。 解法二 以确定斜率k，如图所示， 设 ， ， 所求直线l的方程为。 解法三 求M、N中的一点，运用“两点确定一条直线”求l的方程。如图所示，设 即 解得，即M（3，3） 直线MN的斜率为 所求直线l的方程为。 点评：解法一、解法二都是求斜率k，显然解法二中引入中点坐标的增量x、y，建立关于x，y，k的三个方程构成的方程组，消去x、y，很快就求出了k，x、y在此扮演了参数的角色，可以看成是解法三的演变。不同的解题方法就是对同一个题目的不同角度的理解，通过对同一个题目的多种解法的研究，不仅有利于提高解题能力，也有利于提高对数学问题和数学概念、思想的理解深度。从而提高数学

7、素质。2. 求圆的方程 例. 圆与y轴相切，圆心在直线x3y0上，且直线yx截圆所得弦长为，求此圆的方程。 解析：因圆与y轴相切，且圆心在直线上，故设 圆方程为 又因为直线截圆得弦长为 则有 解得b±1。故所求圆方程为 或。 点评：在解决求圆的方程这类问题时，应当注意以下几点： （1）确定圆方程首先明确标准方程还是一般方程。 （2）根据几何关系（如本例的相切、弦长等）建立方程求得 a , b , r 或 D , E , F。 （3）待定系数法的应用，解答中要尽量减少未知量的数。3.直线与圆 例. 已知圆C：，直线l：0（）。 （1）证明：无论m取什么实数，直线l与圆C恒交于两点； （

8、2）求直线l被圆C截得的弦长最小时的方程。 解析：（1）直线l的方程化为：。 因此，直线l过两条直线和的交点，联立这两条直线的方程中解得交点为A（3，1），即直线l恒过定点A（3，1）。 又因， 故点A（3，1）在圆C的内部，直线l与圆C恒交于两点； （2）圆心为C（1，2），当直线l被圆C截得的弦长最小时，有lAC，由可得，因此直线l的方程为 。 点评：本题（1）的常规解法是联立直线与圆的方程，证明方程组一定有解，或证明圆心到直线的距离小于圆的半径；（2）的常规解法是联立方程运用弦长公式讨论何时取得最小值。这些做法的过程都非常复杂。因此，在解直线与圆的位置关系的问题时一定要充分利用圆的几何性

9、质，以便尽快找到简洁的解法，使问题的解决事半功倍。专项训练 例1. 自点 A（3,3）发出的光线l 射到x轴上，被 x 轴反射，其反射光线所在直线与圆x2y24x4y70相切，求光线 l 所在直线的方程。 解析：圆的方程可化为， 由光学原理可知，圆关于x轴的对称圆必与l相切， 对称圆方程为 设l的斜率为k（k必然存在）。 则l的方程， 即 由于l与圆相切，故 解得 故所求直线l的方程为或。 点评：求入射光线的方程可从反射光线的对称入手；反之，将入射光线上的点通过反射面对称后有助于求反射光线的方程。单纯从求反射线（入射线）角度看也可利用入射角等于反射角的方法，确定反射线（入射线）的斜率。由此可以

10、看出确定直线的方程，要充分挖掘所求直线已具备的几何（物理）特性，从而转化到斜率或点上去。 例2. 已知两条直线l1：axby40和l2：（a1）xyb0，求满足下列条件的 a , b 的值。 （1） l1l2，且 l1 过点（3，1）； （2）l1 l2且坐标原点到这两条直线的距离相等。 解析：（1）由已知可得的斜率必存在， 若，则 ，直线的斜率必不存在，即b0 又过（3，1） （不合题意）。 此种情况不存在，即 若，即都存在， ， 又过点（3，1）， 由联立，解得a2，b2。 （2）的斜率也存在， 直线的斜率也存在， 又坐标原点到这两条直线的距离相等且， 在y轴上的截距互为相反数。 即 由联

11、立解得 a、b的值为2和2或和2。 点评： 当所求直线的方程中存在字母系数，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑斜率不存在的特殊情况，对于（1），若用 l1l2A1A2B1B2=0可不用分类讨论。 例3. 已知圆C：(x1)2(y2)22，P点坐标为(2，1)，过点P作圆C的切线，切点为A、B。 （1）求直线PA、PB的方程； （2）求过P点的圆的切线长； （3）求直线 AB 的方程。 解析：（1）如图所示，设过P点的圆的切线方程为， 即 圆心（1，2）到直线的距离为。 即 所求的切线方程为或， 即或； （2）在RtPCA中， 过P点的圆C的切线长为； （3）由得 由 得B（0，1） 直线AB的方程是。 点评：过圆外一点作圆的切线必有两条，在求圆的切线方程时，有时会遇到切线斜率不存在的情况，如过圆x2y2=4外一点（2,3）作圆的切线，切线方程为5x12y26=0，此时要注意斜率不存在的切线不要漏掉。 本例（3）中直线AB的方程是通过求切点A、B的坐标写出来的。事实上，过圆（xa)2(yb)2r2外一点P(x0，y0）作圆的切线，经过两切点的直线方程为（x0a)(xa)(y0b)(yb）=r2。其证明思路有三： 思路一：设切点A