平面向量的概念与几何运算(1)

1、第一讲平面向量的概念与几何运算（1）【考点梳理】1平面向量的有关概念：（1）向量的定义：_（2）表示方法：代数表示：_几何表示：_坐标表示_;图象表示_（3）模：_（4）零向量：_（5）单位向量：_（6）共线向量：_;平行向量_（7）相等的向量：_2向量的加法与减法 求两个向量的和的运算，叫向量的加法向量加法按法则或法则进行加法满足律和律 求两个向量差的运算，叫向量的减法作法是将两向量的重合，连结两向量的，方向指向3实数与向量的积 实数与向量的积是一个向量，记作它的长度与方向规定如下：| | 当0时，的方向与的方向；当0时，的方向与的方向；当0时， () ()() 共线定理：向量与非零向量共线

2、的充要条件是有且只有一个实数使得4平面向量基本定理：如果、是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数、，使得称1+2为，的线性组合。5.向量的三种线性运算（几何运算）。运 算图形语言几何运算加法与减法实数与向量的乘积两个向量的数量积问题1: 相等向量与平行向量的区别答案：向量平行是向量相等的必要条件。问题2:向量平行（共线）与直线平行（共线）有区别答案：直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线（重合）的情况。问题3：对于两个向量平行的充要条件：aba=b，只有b0才是正确的.而当b=0时，ab是a=b的必要不充分条件.问题4；向量与有向线段的区别：

3、（1）向量是自由向量，只有大小和方向两个要素；与起点无关：只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段考点一： 向量及与向量相关的基本概念题型1. 概念判析例1判断下列各命题是否正确(1)零向量没有方向 (2)若(3)单位向量都相等 (4) 向量就是有向线段(5)两相等向量若共起点,则终点也相同 (6)若，则；(7)若，则 (8)若四边形ABCD是平行四边形,则(9) 的充要条件是且；同步练习 1、是否正确，若不正确，请简述理由.向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；单位向量都相等；任一

4、向量与它的相反向量不相等；四边形ABCD是平行四边形的充要条件是模为0是一个向量方向不确定的充要条件；共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.考点二: 向量的加、减法题型1:考查加加、减法运算及相关运算律例2化简同步练习2、化简=_题型2: 结合图型考查向量加、减法例3在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于一点O,则;同步练习3、所在的平面上有一点，满足，则与的面积之比是( )ABCD考点三: 向量数乘运算及其几何意义题型1: 三点共线问题例4设是不共线的向量,已知向量,若A,B,D三点共线,求k的值例5已知A、B、C、P为平面内四点，求证：A、B、C三点在一条直线上的充要条件是存在一对

5、实数m、n，使=m+n，且m+n=1基础巩固训练1.判断下列命题是否正确，并说明理由：（1）共线向量一定在同一条直线上。（）（2）所有的单位向量都相等。（）（3）向量共线，共线，则共线。（）（4）向量共线，则（）（5）向量，则。（）（6）平行四边形两对边所在的向量一定是相等向量。（）2. (四川省成都市一诊)在四边形ABCD中，“”是“四边形ABCD为梯形”的A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条D、既不充分也不必要条件3D、E、F分别是ABC的BC、CA、AB上的中点，且， ，给出下列命题，其中正确命题的个数是（ ）A、1 B、2 C、3 D、44则向量的关系是（ ）A平行 B重合

6、C垂直 D不确定5 已知分别是的边上的中线,且,则为（ ）A. B. C. D.6已知,则是三点构成三角形的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7下列说法中错误的是（ ）A.向量的长度与向量的长度相等 B.任一非零向量都可以平行移动C.长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量 D.两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同.8已知正方形ABCD的边长为1，则的模等于（ ）A.0 B.3 C. D.29下面给出四个命题：对于实数m和向量，恒有对于实数m、n和向量，恒有若若，则m=n 其中正确的命题个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.410已知，

7、则的取值范围是（ ）A.3，8 B.（3，8） C.3，13 D.（3，13）11、计算：（1） （2）（3）（4）第二讲 平面向量的基本定理与坐标表示知 识 梳理1平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个_向量，那么对于这一平面内的_向量，_一对实数1，2使=1+2(1)我们把不共线向量叫做表示这一平面内所有向量的一组_；(2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量在给出基底的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式惟一1，2是被，唯一确定的数量2平面向量的坐标表示如图，在直角坐标系内，我们分别取与轴、轴方向相同的两个_单位向量_、作为基底任作一个向量，由平面向量基本定理知，

8、有且只有一对实数、，使得，我们把叫做向量的（直角）坐标，记作其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，式叫做向量的坐标表示与相等的向量的坐标也为特别地，特别提醒：设，则向量的坐标就是点的坐标；反过来，点的坐标也就是向量的坐标因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示3平面向量的坐标运算（1） 若，则=_，=_两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差（2） 若，则_一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标（3）若和实数，则_实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标4向量平行的充要条件的坐标表示：设=(x1, y1) ，=(x

9、2, y2) 其中¹ (¹)的充要条件是_5、 中点坐标公式：设点的中点，则（向量形式）的坐标：（坐标形式）问题1：和= (3,4)平行的单位向量是_；1若已知、是平面上的一组基底，则下列各组向量中不能作为基底的一组是 ( )A与 B3与2 C与 D与2二、典型例题1. 平面向量的坐标运算例1 已知向量.(1) 求. (2) 求满足的实数.例2 已知梯形OABC中，OA/BC, 且OA=2CB. 若A（4，1），B(1，3)，(1)求向量及点B的坐标.(2)求对角线OB和AC的交点M的坐标.考点二: 平面向量的坐标表示与运算题型1:向量加、减、数乘的坐标运算例3已知A（2,

10、4）、B（3,1）、C（3,4）且,求点M、N的坐标及向量的坐标.2、若A(0, 1), B(1, 2), C(3, 4) 则-2=3、若M(3, -2) N(-5, -1) 且, 求P点的坐标；考点三:向量平行的充要条件题型1: 平行、共线问题例4（广东省高三月考）已知向量，若，则锐角等于（ ）A BC D4、若向量=(-1,x)与=(-x, 2)共线且方向相同，求x题型2. 平面向量基本定理的应用例5 若向量，则等于（ ）A. B. C. D.同步练习5、平面向量，则（ ）ABCD 6、中，若点满足，则( )ABCD7、已知a=（1，2），b=（3，2），当ka+b与a3b平行，k为何值（

11、 ）A B C D 8、如图,线段与互相平分,则可以表示为 ( )A . B. C. D. 第三讲平面向量的数量积知 识 梳理 1两个非零向量夹角的概念已知非零向量与，作，则_AB（）叫与的夹角.特别提醒：向量与向量要同起点。2平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量|cosq_叫与的数量积，记作×，即有× = |cosq特别提醒：（1） （）.并规定与任何向量的数量积为0（2） 两个向量的数量积的性质：设、为两个非零向量，是与同向的单位向量1) × = × =|cosq；2) Û× = 03) 当与同向

12、时，× = |；当与反向时，× = -| 特别的× = |2或4) cosq = ；5) |×| |3“投影”的概念：如图定义： _|b|cosq_叫做向量b在a方向上的投影特别提醒：投影也是一个数量，不是向量；当q为锐角时投影为正值；当q为钝角时投影为负值；当q为直角时投影为0；当q = 0°时投影为 |b|；当q = 180°时投影为-|b|4平面向量数量积的运算律交换律：× = ×数乘结合律： ()× =(×) = ×()分配律：( + )× = × + &#

13、215;5平面两向量数量积的坐标表示已知两个非零向量，设是轴上的单位向量，是轴上的单位向量，那么， 所以6.平面内两点间的距离公式如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么：7.向量垂直的判定：设，则8.两向量夹角的余弦（） cosq =(1) 向量数量积与向量加、减、数乘运算的区别问题1: 两个向量的数量积是一个实数，向量加、减、数乘运算的运算结果是向量。 若a、b为实数，且 a·b=0，则有a=0或b=0，但·=0却不能得出=或=因为只要就有·=0，而不必=或=考点一：平面向量数量积的运算题型1. 求数量积、求模、求夹角例1；例2在ABC中，=(2

14、, 3)，=(1, k)，且ABC的一个内角为直角，求k值题型2。利用数量积解决垂直问题例2已知，按下列条件求实数的值。（1）；（2）；。同步练习【10朝阳二模2】（2）已知向量，如果与垂直，那么实数的值为（A） （B） （C） （D）3. 平面向量的模长问题例1 已知，求例2 已知,求：(1) 的单位向量； （2）与垂直的单位向量； （3）与平行的单位向量；4. 平面向量的垂直问题例 （1）已知，当=_时，向量与垂直.（2）（2007·北京）已知向量a=(2,4),b=(1,1),若向量b(a+b)，则实数的值是.5. 平面向量的夹角问题例1 （1）已知，求与的夹角.（2）已知非零

15、向量和满足，求与的夹角.例2（2005北京）| |=1，| |=2，= + ，且，则向量与的夹角为（ ）A30°B60°C120°D150°例3 （2007陕西）如图，平面内有三个向量，其中与的夹角为，与的夹角为，且，若，求的值。AOBC6. 与三角形相关的问题例1（09宁夏海南卷理）已知O，N，P在所在平面内，且，且，则点O，N，P依次是的（A）重心 外心 垂心（B）重心 外心 内心（C）外心 重心 垂心（D）外心 重心 内心例2已知是所在平面内一点，且满足，判断的形状.基础练习1已知向量=(cos,sin),=(cos,sin),且，那么与的夹角的大

16、小是。2（09浙江卷文）已知向量，若向量满足，则（ ）A B C D1. 若向量，满足，则向量，的夹角的大小为.2. 若向量的夹角为，则.3. 对于向量和实数，下列命题中真命题是（ ）A若，则或B若，则或C若，则或D若，则4. 在ABC中，C=90°，则k的值是_5. 在中，O为中线AM上一个动点，若AM=2，则的最小值是_6. 已知，向量与垂直，则实数的值为 （ ）（A） （B） （C） （D）7. 已知向量，若向量满足，则（ ）A B C D8.平面向量a与b的夹角为，a(2,0), | b |1，则 | a2b |（ ）（A） （B）2 （C）4 （D）129. 已知向量（ ）A30°B60°C120°D150°10. 设非零向量、满足，则 （ ）（A）150° (B）120° （C）60° （D）30°11. 已知向量a = (2,1)，a