平面及其方程

1、第五节 平面及其方程教学目的：介绍最简单也是非常这样的曲面平面，为下学期学习重积分、线面积分打下基础.教学重点：1.平面的方程2.两平面的夹角教学难点：平面的几种表示及其应用教学内容：一平面的点法式方程1平面的法线向量定义：垂直于一平面的非零向量叫做平面的法线向量.平面内的任一向量均与该平面的法线向量垂直.2平面的点法式方程已知平面上的一点M0(x0,y0,z0)和它的一个法线向量nA,B,C，对平面上的任一点M(x,y,z)，有向量n，即n代入坐标式有：（1）此即平面的点法式方程.1. 例子：求过三点M1（2，1，4）、M2（1，3，2）和M3（0，2，3）的平面方程.解：先找出这平面的法向

2、量n，由点法式方程得平面方程为即：二平面的一般方程任一平面都可以用三元一次方程来表示.平面的一般方程为：几个平面图形特点：二 D0：通过原点的平面.三 A0：法线向量垂直与x轴，表示一个平行于x轴的平面.同理：B0或C0：分别表示一个平行于y轴或z轴的平面.四 AB0：方程为CzD0，法线向量0,0,C，方程表示一个平行于xoy面的平面.同理：AxD0和ByD0分别表示平行于yoz面和xoz面的平面. 五 反之：任何的三元一次方程，例如：5x6y7z110都表示一个平面，该平面的法向量为n5,6,-7三两平面的夹角定义：平行于定直线并沿曲线定曲线C移动的直线L形成的轨迹叫做柱面. 定曲线C：准

3、线动直线L：母线四几个常用的结论设平面1和平面2的法向量依次为n1A1,B1,C1和n2A2,B2,C2两平面垂直：（法向量垂直）两平面平行：（法向量平行）平面外一点到平面的距离公式：设平面外的一点P0（x0，y0，z0），平面的方程为 ，则点到平面的距离为小结：平面是本书非常重要的一节，学生在学习时会各种平面的表示方法，了解平面与其法向量之间的关系等等.§7.7 平面及其方程一 平面的点法式方程若一非零向量垂直于一平面，则称此向量是该平面的法线向量。显然，平面上的任一向量均与平面的法线向量垂直。由于过空间一点可以作而且只能作一个平面垂直于一已知直线。因此，当平面上一点和它的一个法线

4、向量 给定之后，平面的位置就确定下来了。下面，我们来建立这种平面方程。设是上的任一点，那未，即 而 若设 ，故（1）这表明：平面上任一点的坐标满足方程(1)。反过来，若点不在平面上，向量就不垂直于，从而 ，即 亦即：不在平面上的点的坐标不适合方程(1)。故，方程(1)就是平面的方程，而平面便是方程(1)的图形。因为方程(1)是由平面上一点及它的一个法线向量唯一确定的，因此，方程(1)也称之为平面的点法式方程。二平面的一般方程注意到，方程(1)是的一次方程，我们可断言：任一平面都可以用三元一次方程来表示。这是因为任一平面都可以由它的法线向量与它上面的一点唯一决定，而平面的点法式方程本身就是三元一

5、次方程。反过来，若有三元一次方程（2）任取满足该方程的一组数，即两式相减得（3）显然，方程(3)是过点且以为法线向量的平面方程，而方程(2)与方程(3)是同解的，由此可知， 三元一次方程(2)所代表的图形是平面。方程(2)称为平面的一般方程 ，该平面的法向量是由的系数所作成的向量。对于一些特殊的三元一次方程，它们所代表的平面具有一些特殊性。1、当时，(2)式成为，它表示一个通过原点的平面，因为的坐标显然适合该方程。2、当时，(2)式成为，法线向量为，因 ，()，故，从而平面 平行于轴。类似地，方程表示平行于轴的平面；方程 表示平行于轴的平面。3、当时，(2)式成为或，法线向量同时垂直于轴，轴，

6、故方程表示过点，且平行于面的平面。类似地，方程表示过点且平行于面的平面；方程表示过点且平行于面的平面。【例一】画出下列平面的图形(1)、 (2)、 (3)、【例二】求通过轴和点的平面方程。解：平面过轴，则该平面的法线向量垂直于轴，且平面过原点，故设该平面的方程为 由平面过点，有 将此式代入所设方程有 约去非零因子，得平面方程注明：为什么呢?若，那么该平面的法线向量，这与平面法线向量必须为非零向量的规定相矛盾。【例三】设一平面与轴，轴，轴分别交于三点 ，求此平面的方程(其中：)。解：设所求的平面方程为 ，将三点的坐标分别代入得及 代入所设方程有两边同除以有(4)方程(4)称之为平面的截距式方程，

7、而依次称作平面在轴上的截距。三两平面间的夹角两平面的法线向量的夹角称作两平面间的夹角。下面，我们阐述一下用两平面间法线向量的夹角来定义两平面间夹角的合理性。如图所示，设想平面与平面重合在一起的，于是它们的法线向量应平行，即 。将平面的一侧向上提起，与之间产生倾角。与此同时，的法线向量发生转动，与平面的法线向量产生的角度。下面，我们导出计算两平面夹角的公式设有平面和平面则与的法线向量分别为 ，两向量间夹角的余弦为(5)由(5)式，立刻可给出如下结论：1、2、【例四】一平面过两点 和 且垂直于平面，求它的方程。解：设所求平面的法线向量为 显然， 在所求平面上，故 ， ，即又垂直于平面的法线向量，故有解方程组 得：