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文档简介

1、常微分方程期中考试试卷(5)计算题 .求下列方程的通解或通积分1. 2. 3. 4. 567证明题8. 在方程中，已知，在上连续，且求证：对任意和，满足初值条件的解的存在区间必为9. 设在区间上连续试证明方程 的所有解的存在区间必为10. 假设方程在全平面上满足解的存在惟一性定理条件，且，是定义在区间I上的两个解求证：若<，则在区间I上必有 <成立答案：1。解 方程化为 令，则，代入上式，得 分量变量，积分，通解为 原方程通解为 2. 解 因为，所以原方程是全微分方程 取，原方程的通积分为 即 3解 当时，分离变量得 等式两端积分得 方程的通积分为 4解 齐次方程的通解为 令非齐次

2、方程的特解为 代入原方程，确定出 原方程的通解为 + 5解 积分因子为 原方程的通积分为 即 6解 由于，所以原方程是全微分方程 取，原方程的通积分为 即 7解 原方程是克来洛方程，通解为 8证明 由已知条件可知，该方程在整个 平面上满足解的存在惟一及延展定理条件，又存在常数解 对平面内任一点，若，则过该点的解是，显然是在上有定义 若,则,记过该点的解为，那么一方面解可以向平面的无穷远无限延展；另一方面在条形区域 内不能上、下穿过解和，否则与解的惟一性矛盾因此解的存在区间必为9. 证明 由已知条件，该方程在整个 平面上满足解的存在唯一及解的延展定理条件 显然 是方程的两个常数解 任取初值，其中,记过该点的解为，由上面分析可知，一方面可以向平面无穷远处无限延展；另一方面又上方不能穿过，下方不能穿过，否则与惟一性矛盾故该解的存在区间必为10. 证明 仅证方向，（反之亦然）假设存在，使得>（=不可能出现，否则与解惟一矛盾令=-，那么 =-< 0， =-> 0 由连续函数介值定理，

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