专题：代数式和因式分解

1、上海市2000-2012年中考数学试题分类解析专题2:代数式和因式分解一、选择题1. （上海市2001年3分）下列计算中，正确的是【】3 2 6 2 2A. a a = aB aba-b 二 a2-b2C.（a+ b） 2= a2 + b2 D . a b a-2b 二a2-ab-2b2【答案】B, D.【考点】同底数幕的乘法，平方差和完全平方公式，多项式乘多项式【分析】根据平方差和完全平方公式，同底数幕的乘法和多项式乘多项式法则计 算作出判断：A、应为a3?a2=a5，故本选项错误；B、 a b a-b二a2-b2，故本选项正确；C、应为（a +b $ =a2 +2ab+b2，故本选项错误；

2、D a b a-2b =a2-ab-2b2，故本选项正确.故选B, D.2. （上海市2001年3分）下列多项式中，能在实数范围内分解因式的是【1 .2 2 2 2A. x + 4 B . x - 2 C . x -x 1 D . x + x+ 1【答案】B, C.【考点】实数范围内因式分解，一元二次方程根的判别式.【分析】根据多项式特点结合公式特征选取答案：A. T对于 x2+ 4=0 有 =0 16= 16v0，：x2+ 4=0 无实数根，即 x2 +4在实数范围内不可以分解因式；B. t对于x2 2=0有厶=0+ 8=8>0，Ax2 2=0有实数根，即x2 2在 实数范围内可以分解

3、因式；C. t对于x2 x 仁0有厶=1 + 4=5>0，.°.x2 x 仁0有实数根，即x2 x 1在实数范围内可以分解因式；D. t对于x2 + x +仁0有厶=1 4= 3<0，：x2+ x+ 1=0无实数根，即X2+ x+ 1在实数范围内不可以分解因式故选B, C.3. (上海市2002年3分)在下列各组根式中，是同类二次根式的是【】(A)2 和 12 ；(C) 、4ab 和.ab3 ；(D) a-1 和.a 1 .【答案】B, C.【考点】同类二次根式【分析】首先把各选项中不是最简二次根式的式子化成最简二次根式，然后根据同类二次根式的定义判断：A和 2被开方数不

4、同，不是同类二次根式;B片2 = 1、2和、2被开方数相同，是同类二次根式；C 40b=2 Ob和' ab3=b.0b被开方数相同，是同类二次根式;D被开方数不同，不是同类二次根式.故选B，C.4.(上海市2004年3分)F列运算中，计算结果正确的是【A. a4 a3 =a12B. a6 " a3 = a22 .C. (a3 ) =a5 D.【答案】D.【考点】同底数幕的乘法和除法，幕的乘方和积的乘方.【分析】根据同底数幕相乘，底数不变指数相加；同底数幕相除，底数不变指数 相减；幕的乘方，底数不变指数相乘；积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘 方，再把所得的幕相乘，对各选项分

5、析判断后利用排除法求解:A、应为a4 a3二a7，故本选项错误；B应为a6 a3二a3，故本选项错 故选D.2C应为a3二a6，故本选项错误;333D a b= a b ，正确.5. (上海市2007年4分)在下列二次根式中，与.a是同类二次根式的是【】A 、2aB.、. 3a2C. , a3D. 、a4【答案】C.【考点】同类二次根式.【分析】先将各选项化简，再找到被开方数为 a的选项即可：A、2a与' a被开 方数不同，故二者不是同类二次根式； B、与、a被开方数不同，故 二者不是同类二次根式；C ：孑二a|a与a被开方数相同，故二者是同类二次 根式；D 孑二a2与a被开方数不同，

6、故二者不是同类二次根式.故选C.6. (上海市2008年4分)计算2aL3a的结果是【】2 2A. 5aB. 6a C. 5a2D. 6a2【答案】D.【考点】单项式乘单项式.【分析】根据单项式乘单项式直接得出结果：2a=6a11=6a2.故选D.7. (上海市2009年4分)计算(a3)2的结果是【】A. a5B. a6C. a8D. a9【答案】B.【考点】幕的乘方.【分析】根据幕的乘方运算法则即可求解：(a3)2=a32=a6.故选B.8. (上海市2011年4分)下列二次根式中，最简二次根式是【】0.5 ；(C)5 ；(D)50(A)；(B)【答案】B.【考点】最简二次根式.【分析】&

7、#163;=%，丽=£=孚,750=15=2/5，弋，炉，何 都不是最简二次根式.故选B.9. （上海市2012年4分）在下列代数式中，次数为3的单项式是【】A. xy2B. x 3+y3C . x 3yD . 3xy【答案】A.【考点】单项式的次数.【分析】根据单项式的次数定义可知： A xy2的次数为3,符合题意；B、x3+y3 不是单项式，不符合题意；C x3y的次数为4,不符合题意；D 3xy的次数为2, 不符合题意.故选A.10. （上海市2012年4分）在下列各式中，二次根式的有理化因式是【】A. a+bB.、, a +、bC. abD. . a，$b【答案】C.【考点】

8、有理化因式.-【分析】T a=b , a=b=a-b，二次根式.a-b的有理化因式是：a-b.故选C.二、填空题1. （上海市2000年2分）分解因式:八八宀 =_【答案】（x - y）（x y -1）【考点】因式分解-分组分解法.【分析】当被分解的式子是四项时，应考虑分组分解法进行分解，本题一二项 x2 -y2可组成平方差公式法，三四项有公因式，故一二项为一组，三四项为一 组.22. （上海市2001年2分）如果分式的值为零，那么x =x _2【答案】2.【考点】分式的值为零的条件【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子=0;（ 2）分母工0两个条件需同 时具备，缺一不可据此可以解答本题：由

9、题意可得X -仁0，解得x=2或一2=x=_2.x-20x 23. （上海市2002年2分）如果分式 丄兰无意义，那么x=.x _2【答案】2.【考点】分式有意义的条件【分析】根据分式分母不为0的条件，分式无意义，分母为0.令分母为0,解得x 亠 3.x的值：由 x2=0= x=2，即x=2时，分式无意义x-24. （上海市2003年2分）分解因式：a2-b2-2a" =.【答案】a b-1 a-b -1 .【考点】分组分解法因式分解.【分析】观察原式，一、三、四项可组成完全平方式，然后再与第二项运用平方 差公式进行因式分解即可：a2 -b2 -2a 仁 a2 -2a 1 -b2=

10、a-1 2-b2= a-1 b a-1-b = a b-1 a-b-15. （上海市 2004年 2 分）计算：（a-2b）（a 2b） =_.【答案】a2-4b2.【考点】平方差公式.【分析】本题符合平方差公式的特征：（1）两个二项式相乘；（2）有一项相同， 另一项互为相反数.a是相同的项，互为相反项是 2b与一2b 所以可利用平方 差公式计算：（a-2b）（a 2b）二a2-4b2.26. （上海市2005年3分）计算：（x2） =.【答案】x4.【考点】幕的乘方.【分析】根据幕的乘方，底数不变指数相乘计算即可得：（X2）2=x4.7. （上海市2005年3分）分解因式：a2-2a =.【

11、答案】a（a2）.【考点】提公因式法因式分解.【分析】观察原式，找到公因式a,提出即可得出答案：a2-2a = a（a-2）.1 28. （上海市2006年3分）计算：-=.x x【答案】-.X【考点】分式的加减法.123【分析】因为分母相同，所以分母不变，分子直接相加：'3.XXX9. （上海市2006年3分）分解因式：卡 目二 【答案】X x y .【考点】提公因式法因式分解【分析】因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式一般来说，如果可以提取 公因式的要先提取公因式，再看剩下的因式是否还能分解.本题直接提取公因式x 即可：x2 xy 二 x x y .10. （上海市2007年3分

12、）分解因式：2a2-2ab二.【答案】2a a -b .【考点】提公因式法因式分解.【分析】直接提取公因式2a即可：2a2-2ab=2a a-b .1 i11. （上海市2007年3分）化简：-一_.x x +1【答案】一1.x（x +1 ）【考点】分式的加减法.【分析】分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可；如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式, 然后再相加减所以11X 1X _1 _ X X 1 X X 1 X X 1 X X 112. （上海市2008年4分）分解因式：x2-4二.【答案】X 2 x - 2 .【考点】应用公式法因式分

13、解.【分析】直接应用平方差公式即可：x2-4=x2 x-2.13. （上海市2009年4分）某商品的原价为100元，如果经过两次降价，且每次 降价的百分率都是m，那么该商品现在的价格是 元（结果用含m的代数 式表示）.【答案】100X（ 1- m） 2.【考点】列代数式.【分析】列代数式解题关键是找出等量关系.本题等量关系为：现在的价格=第二次降价后的价格=第一次降价后的价格x（ 1降价的百分率）2=100X（ 1 m ） X（1 m ） =100X（1 m）.14. （上海市2010年4分）计算：a: a2= .【答案】a.【考点】整式的混合运算.【分析】根据同底数幕相除，底数不变指数相减计

14、算即可：a3 “ a2= a .15. （上海市2010年4分）计算：x 1 x-1二 .【答案】x2 -1.【考点】平方差公式.【分析】根据平方差公式计算即可：X 1 x-1=x2-1.16. （上海市2010年4分）分解因式：a2 -ab=【答案】a a -b .【考点】提公因式法因式分解【分析】直接提取公因式a即可：_ab=a a_b .17. （上海市2011年4分）计算：a2.【答案】a5【考点】同底幕乘法运算法则.【分析】根据底数不变，指数相加的同底幕乘法运算法则，得a2 aa2+3 = a5.18. （上海市2011年4分）因式分解：x2 _9y2二 .【答案】x+ 3y x -

15、3y .【考点】应用公式法因式分解，平方差公式.【分析】根据平方差公式，直接应用公式因式分解：2 2 2 2x -9y x - 3y = x+ 3y x -3y .19. （2012上海市4分）因式分解：xy - x= .【答案】x （y- 1）.【考点】提公因式法因式分解.【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式.因此，直接提取公因式x即可：xy - x=x （y- 1）.三、解答题421+1. (2000上海市8分)计算： I 1 2-.【答案】解：原式=4214 2(

16、x2)(X 2)(x+2)(x_2) x + 2 x_2(x + 2)(x_2)4 2x -4 -x -2 x -21(x 2)(x 2) (x 2)(x 2) x 2【考点】分式的混合运算.【分析】首先把括号里的式子进行通分，然后把除法运算转化成乘法运算， 进行 约分化简.解决本题的关键是分式的通分和分式的乘法中的约分，要先 化简后计算.2. （上海市2002年7分）计算： 2 X 2 - 2x 1 _各兰.x-1 x -x-6 x 一9【答案】解：原式二x-2口纽卫二x-1 2二x-3二1.X-1 （x-3“+2） （x+3j（x-3） X-3 x-3 x-3【考点】分式的混合运算.【分析

17、】首先把分式分子分母能分解因式的先分解因式，进行乘法运算，约分后进行减法运算.3. （上海市2003年7分）已知x2-2x = 2，将下式先简化，再求值：2x -1 x 3 x -3 x -3 x -1 .【答案】解:2 t t t 2 2 2 2x -1 x 3 x -3x-3 x -1 =x2-2x 1 x2-9 x2-4x 3=3x2-6x-5当 x2 -2x =2 时，原式=3 x2 -2x -5=2 2-5=-1.【考点】整式的混合运算（化简求值）.【分析】首先将所求代数式化简，然后将x2-2x的值整体代入，从而求得代数式 的值.4.（上海市2006年9分）先化简，再求值:1x2 Tl(V -) ，其中 x=-. 2 .x x【答