平面向量内积的坐标运算与距离公式

1、平面向量内积的坐标运算与距离公式德清乾元职高 朱见锋【教材分析】：本课是在平面向量坐标运算、内积定义基础上学习的，主要知识是平面向量内积的坐标运算与平面内两点间的距离公式，是后面学习曲线方程的重要公式和推导依据，是进一步学习相关数学知识的重要基础。【教学目标】1. 掌握平面向量内积的坐标表示，会应用平面向量内积的知识解决平面内有关长度、两向量的夹角和垂直的问题2. 能够根据平面向量的坐标，判断两向量是否垂直，求两向量的夹角等。3. 通过学习平面向量的坐标表示，使学生进一步了解数学知识的相同性，培养学生辩证思维能力提高学生数学知识的应用能力。【教学重点】：平面向量内积的坐标公式式，平面向量垂直的

2、充要条件，平面内两点间距离公式的应用【教学难点】：平面向量内积的坐标公式的推导和应用。【教学方法】 本节课采用问题启发式教学和讲练结合的教学方法 【教学过程】环节教学内容师生互动设计意图复习导入前面我们学习了平面向量的平面直角坐标及其运算下面一起来回忆下这些知识：1.在平面直角坐标系中，是基向量，他们的坐标如何表示？任意向量的坐标如何表示？的坐标如何表示？2.上节课我们学习了向量的内积，是怎么定义的呢？· = = 3 有哪些重要性质？ ·= = Û ；| |= · 4.满足哪些运算律(1)交换律：· =·(2)结合律：()·

3、(·)·()；(3)分配律：()··· 5.那么如何用坐标来表示·呢？教师提出问题学生回忆解答师生共同回忆旧知识师：对平面向量的内积的研究不能仅仅停留在几何角度，还要寻求其坐标表示引出探究问题为知识迁移做准备新课知识讲解例题讲解练习巩固例题讲解练习巩固新课已知， 是直角坐标平面上的基向量，如果(a1，a2)，(b1，b2)，你能推导出· 的坐标公式吗？ 探究过程·(a1a2)·(b1b2) a1b1·a1b2·a2b1·a2b2·，又因为 ·1，·

4、;1，·0，所以·a1b1a2b2定理 在直角坐标平面xoy中，如果(a1，a2)，(b1，b2)则·a1b1a2b2 即：两个向量的内积等于它们对应坐标的乘积的和因此可以推出两向量垂直的充要条件为Û a1 b1a2 b20；问题：(1)若已知=(a1，a2) ，你能用上面的定理求出| | 吗？解 因为| |2=·=(a1，a2)·(a1，a2)a12a22，所以| |=这就是根据向量的坐标求向量长度的计算公式因此可推出两非零向量夹角余弦值公式为cos，例1 设(3，1)，(1，2)，求：(1) ·； (2) | |；(3)

5、 | |； (4) ，解 (1) ·3×1(1)×(2)325；(2) | |；(3) |；(4) 因为cos，因为0，所以，配套学生练习：已知(0，2)，(-2，2)，求：(1) ·； (2) | |；(3) | |； (4) ，问题(2)若已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，如何求| ？解 因为A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以(x2x1，y2y1)所以|，这就是根据两点的坐标求两点之间的距离公式例2 已知A(2，4)，B(2，3)，求|解 因为A(2，4)，B(2，3)，所以(2，3) (2，4)(4，7)，所以|学生练习： 已知A(2，

6、1)，B(6，3)，C(5，0)，求：ABC三边的长，并判别ABC是否为等腰三角形例3已知A(1，2)，B(2，3)，C(2，5)，求证：证明 因为(21，32)(1，1)，(21，52)(3，3)，可得·(1，1)·(3，3)0所以 练习快速判别上面的练习中的ABC是否为等腰直角三角形？学生讨论并回答，教师再提出的下列问题：（1）(a1a2)·(b1b2)是怎样进行运算的？（2）·，· ，·的内积是怎样计算的？教师给出向量内积的直角坐标运算公式并引导学生用文字叙述在教师的引导下学生讨论得出教师提出问题，稍加点拨学生讨论解答教师总结得

7、出这就是根据向量的坐标求向量长度的计算公式 教师例题分析讲解学生边学边用学生练习巩固所学知识教师提出问题学生讨论解答教师总结得出这就是根据两点的坐标求两点之间的距离公式学生尝试解答教师针对学生的回答进行点评学生练习，巩固所学知识教师点拨，学生解答教师针对学生的回答进行点评 问题为复习向量的线性运算和向量的内积而设计通过学生的探究给出结论，比直接给出更符合学生的特点，容易被学生接受通过结论的探究，让学生初步感受到无论是向量的线性运算还是向量的内积运算，最终都归结为直角坐标运算从而归纳总结出公式及数学规律通过例1可让学生加深对向量内积的直角坐标运算公式及向量的长度公式的理解和记忆使刚刚学过的知识及

8、时得到应用让学生在边学边用中巩固知识，形成技能采用问题诱导式让学生更易理解和接受通过例2可让学生加深对平面内两点间距离公式的理解和记忆学习新知后紧跟练习，有利于帮助学生更好的梳理和总结本节所学内容有利于教师检验学生的掌握情况小结本节课我们主要学习了平面向量内积的坐标运算与距离公式，常见的题型主要有：(1)直接用两向量的坐标计算平面向量的内积；(2)根据向量的坐标求该向量的模（长度）；(3)根据两点坐标求这两点间的距离；(4)运用平面向量的性质判定平面内两向量是否垂直？学生阅读课本,畅谈本节课的收获，老师引导梳理，总结本节课主要的知识点梳理总结也可针对学生薄弱或易错处进行强调和总结作业教材 P56 练习A 组第 1 题；教材 P57 练习 B