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文档简介

第三章 微分中值定理与导数的应用第一节 微分中值定理教学内容和重点：1、 掌握并会应用罗尔定理、拉格朗日中值定理，2、 了解柯西中值定理3、 掌握定理的条件、结论及几何意义； 4、会用定理讨论方程的根或证明不等式等问题一、罗尔定理1、 罗尔定理：设函数同时满足以下三条：、在上连续；、在内可导；、则至少存在一个 图形启发：最值点处导数为0。2、简证：、 费马引理：最值点3、用处： 则罗尔定理可讨论方程根的存在性（讨论方程根的存在性有两个：零点定理、罗尔定理） 区别：4、例题分析例1 不求的导数，讨论的根的情况； 、在上连续；、在内可导；、。 例设，且试证明：至少存在一点，使得 步骤：造函数，选区间 例设是满足的实数，试证：方程在内至少有一实根。 二、拉格朗日中值定理（解除罗尔定理中这个苛刻条件）1、拉格朗日中值定理： 、在上连续；、在内可导；则，至少存在一个2、几何解释：在曲线弧AB上至少有一点，在该点处的切线平行于弦AB。3、简证：用罗尔定理，造函数，验证端点值相同。 4、几点应注意的问题：、罗尔定理是拉格朗日定理的特例；、又称有限增量定理，微分中值定理，精确表达：、推论：若函数在内任意一点导数均为0，则（常数） 、拉格朗日定理的用途可用来证明不等式。 原理：“通过的放缩，使等式变为不等式”函数值的差与导数值关系时，用拉格朗日定理

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