常考问题8平面向量的线性运算及综合应用

1、常考问题8平面向量的线性运算及综合应用真题感悟1(2013·辽宁卷)已知点A(1,3)，B(4，1)，则与向量A同方向的单位向量为()A. B.C. D.解析A(4，1)(1,3)(3，4)，与A同方向的单位向量为.答案A2(2013·福建卷)在四边形ABCD中，(1,2)，(4,2)，则该四边形的面积为()A. B2 C5 D10解析因为·0，所以.故四边形ABCD的面积S|××25.答案C3(2013·湖北卷)已知点A(1,1)，B(1,2)，C(2，1)，D(3,4)，则向量在方向上的投影为()A. B.C. D解析(2,1)，

2、(5,5)，所以在方向上的投影为.答案A4(2013·新课标全国卷)已知两个单位向量a，b的夹角为60°，cta(1t)b.若b·c0，则t_.解析因为向量a，b为单位向量，又向量a，b的夹角为60°，所以a·b，由b·c0，得b·cta·b(1t)·b2t(1t)×12t1t 1t0.t2.答案25(2013·山东卷)已知向量与的夹角为120°，且|3，|2.若A，且，则实数的值为_解析由知·0，即·()·()(1)·A22(1)&#

3、215;3×2××940，解得.答案考题分析题型选择题、填空题难度低档考查平面向量的有关概念(如单位向量)、数量积的运算(求模与夹角等)中档在平面几何中，求边长、夹角及数量积等高档在平面几何中，利用数量积的计算求参数值等.1向量的概念(1)零向量模的大小为0，方向是任意的，它与任意非零向量都共线，记为0.(2)长度等于1个单位长度的向量叫单位向量，a的单位向量为±.(3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量)(4)如果直线l的斜率为k，则a(1，k)是直线l的一个方向向量(5)|b|cosa，b叫做b在向量a方向上的投影2两非零向量平行、垂直的充要条

4、件设a(x1，y1)，b(x2，y2)，(1)若abab(0)；abx1y2x2y10.(2)若aba·b0；abx1x2y1y20.3平面向量的性质(1)若a(x，y)，则|a|.(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|A|.(3)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，为a与b的夹角，则cos .4当向量以几何图形的形式出现时，要把这个几何图形中的一个向量用其余的向量线性表示，就要根据向量加减法的法则进行，特别是减法法则很容易使用错误，向量(其中O为我们所需要的任何一个点)，这个法则就是终点向量减去起点向量5根据平行四边形法则，对于非零向量a，b，当|ab|ab|时，平行四

5、边形的两条对角线长度相等，此时平行四边形是矩形，条件|ab|ab|等价于向量a，b互相垂直，反之也成立6两个向量夹角的范围是0，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不单纯就是其数量积小于零，还要求不能反向共线.热点一平面向量的线性运算【例1】 (2013·江苏卷)设D，E分别是ABC的边AB，BC上的点，ADAB，BEBC.若12(1，2为实数)，则12的值为_解析如图，()，则1，2，12.答案规律方法 在一般向量的线性运算中，只要把其中的向量当作字母，其运算类似于代数中合并同类项的运算，在计算时可以进行类比本例中的第(1)

6、题就是把向量用，表示出来，再与题中已知向量关系式进行对比，得出相等关系式，可求相应的系数【训练1】 (2013·天津卷)在平行四边形ABCD中，AD1，BAD60°，E为CD的中点若·1，则AB的长为_解析在平行四边形ABCD中，取AB的中点F，则，又，·()·()2··2|2|·cos 60°|21×|21.|0，又|0，|.答案热点二平面向量的数量积 【例2】 若两个非零向量a，b满足|ab|ab|2|a|，则向量b与ab的夹角为()A. B. C. D.解析法一由已知|ab|ab|，两边平

7、方，整理可得a·b0.由已知|ab|2|a|，两边平方，整理可得a2b22a·b4a2. 把代入，得b23a2，即|b|a|. 而b·(ab)b·ab2b2，故cosb，ab.又b，ab0，所以b，ab.法二如图，作Oa，Ob，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则Oab，Bab.由|ab|ab|，可知|O|B|，所以平行四边形OACB是矩形又|ab|ab|2|a|，可得|O|B|2|O|，故在RtAOB中，|O|，故tanOBA，所以BOCOBA.而b，abBOC.答案A规律方法 求解向量的夹角，关键是正确求出两向量的数量积与模本例中有两种解法，其

8、一利用已知向量所满足的条件和向量的几何意义求解，其二构造三角形，将所求夹角转化为三角形的内角求解，更为直观形象【训练2】 (2013·湖南卷)已知a，b是单位向量，a·b0.若向量c满足|cab|1，则|c|的取值范围是()A1，1 B1，2C1，1 D1，2解析由a，b为单位向量且a·b0，可设a(1,0)，b(0,1)，又设c(x，y)，代入|cab|1得(x1)2(y1)21，又|c|，故由几何性质得1|c|1，即1|c|1.答案A热点三平面向量与三角函数的综合【例3】 已知向量m(sin x，1)，n(cos x,3)(1)当mn时，求的值；(2)已知在锐

9、角ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，c2asin(AB)，函数f(x)(mn)·m，求f的取值范围解(1)由mn，可得3sin xcos x，于是tan x，.(2)在ABC中ABC，于是 sin(AB)sin C，由正弦定理，得sin C2sin Asin C，sin C0，sin A.又ABC为锐角三角形，A，于是<B<.f(x)(mn)·m(sin xcos x,2)·(sin x，1)sin2 xsin xcos x2sin 2x2sin，fsinsin2B.由<B<得<2B<，0<sin 2B1，&l

10、t;sin 2B，即f(B).规律方法 在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题在解决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题【训练3】 (2013·江苏卷)已知向量a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，0<<<.(1)若|ab|，求证：ab；(2)设c(0,1)，若abc，求，的值(1)证明由|ab|，即(c

11、os cos )2(sin sin )22，整理得cos cos sin sin 0，即a·b0，因此ab.(2)解由已知条件得cos cos cos()，由0<<，得0<<，又0<<，故.则sin sin ()1，即sin ，故或.当时，(舍去)当时，.审题示例(四)突破有关平面向量问题的思维障碍图1解析法一设直角三角形ABC的两腰长都为4，如图1所示，以C为原点，CA，CB所在的直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，则A(4,0)，B(0,4)，因为D为AB的中点，所以D(2,2)因为P为CD的中点，所以P(1,1)故|PC|212122，

12、|PA|2(41)2(01)210，|PB|2(01)2(41)210，所以10.图2法二如图2所示，以C为坐标原点，CA，CB所在的直线分别作为x轴，y轴建立平面直角坐标系设|CA|a，|CB|b，则A(a,0)，B(0，b)，则D，P，|PC|222，|PB|222，|PA|222，所以|PA|2|PB|21010|PC|2，10.法三如图3所示，取相互垂直的两个向量Ca，Cb作为平面向量的基向量，显然a·b0.图3则在ABC中，Bab，因为D为AB的中点，所以C(ab)因为P为CD的中点，所以PC×(ab)(ab)在CBP中，PPC(ab)bab，在CAP中，PPC(

13、ab)aab.所以|P|22(a2b22a·b)(|a|2|b|2)，|P|22a2b2a·b|a|2|b|2，|P|22a2b2a·b|a|2|b|2.故10.答案D方法点评以上根据向量数与形的基本特征，结合题目中的选项以及直角三角形的条件，从三个方面提出了不同的解法，涉及向量的基本运算、坐标运算等相关知识，在寻找解题思路时，应牢牢地把握向量的这两个基本特征针对训练 在ABC中，已知BC2，·1，则ABC的面积SABC最大值是_解析以线段BC所在直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则B(1,0)，C(1,0)设A(x，y)，则(

14、1x，y)，(1x，y)，于是·(1x)(1x)(y)(y)x21y2.由条件·1知x2y22，这表明点A在以原点为圆心，为半径的圆上当OABC时，ABC面积最大，即SABC×2×.(建议用时：60分钟)1(2013·陕西卷)设a，b为向量，则“|a·b|a|b|”是“ab”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析由|a|b|cosa，b|a|b|，则有cosa，b±1.即a，b0或，所以ab.由ab，得向量a与 b同向或反向，所以a，b0或，所以|a·b|a|b|.答案C2已

15、知向量a与b的夹角为120°，|a|3，|ab|则|b| 等于()A5 B4 C3 D1解析向量a与b的夹角为120°，|a|3，|ab|，则a·b|a|b|·cos 120°|b|，|ab|2|a|22a·b|b|2.所以1393|b|b|2，则|b|1(舍去)或|b|4.答案B3(2013·辽宁一模)ABC中D为BC边的中点，已知Aa，Ab则在下列向量中与A同向的向量是()A. B. C. D|b|a|a|b解析A(AA)(ab)，向量与向量A是同向向量答案C4已知非零向量a，b，c满足abc0，向量a与b的夹角为60&

16、#176;，且|a|b|1，则向量a与c的夹角为()A30° B60° C120° D150°解析因为abc0，所以c(ab)所以|c|2(ab)2a2b22a·b22cos 60°3.所以|c|.又c·a(ab)·aa2a·b1cos 60° ，设向量c与a的夹角为，则cos .又0°180°，所以150°.答案D5(2013·安徽卷)在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足|·2，则点集P|，|1，R所表示的区域的面积是()A2 B

17、2 C4 D4解析由|·2，知cosAOB，又0AOB，则AOB，又A，B是两定点，可设A(，1)，B(0,2)，P(x，y)，由，可得因为|1，所以1，当由可行域可得S0×2×，所以由对称性可知点P所表示的区域面积S4S04，故选D.答案D6(2013·新课标全国卷)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则·_.解析由题意知：·()·()()·()2·24022.答案27(2013·江西卷)设e1，e2为单位向量，且e1，e2的夹角为，若ae13e2，b2e1，则向量a在b方向上的射影

18、为_解析a在b方向上的射影为|a|cosa，b.a·b(e13e2)·2e12e6e1·e25.|b|2e1|2.答案8在直角梯形ABCD中，ADBC，ADC90°，AD2，BC1，P是腰DC上的动点，则|P3P|的最小值为_解析建立如图所示的直角坐标系，设DCm，P(0，t)，t0，m，由题意可知，A(2,0)，B(1，m)，P(2，t)，P(1，mt)，P3P(5,3m4t)，|P3P|5，当且仅当tm时取等号，即|P3P|的最小值是5.答案59如图，在平面直角坐标系xOy中，点A 在x轴正半轴上，直线AB的倾斜角为，|OB|2，设AOB，.(1)用

19、表示点B的坐标及|OA|；(2)若tan ，求O·O的值解(1)由题意，可得点B的坐标为(2cos ，2sin )在ABO中，|OB|2，BAO，B.由正弦定理，得，即|OA|2sin.(2)由(1)，得O·O|O|O|cos 4sincos .因为tan ，所以sin ，cos .又sinsincos cossin ××，故O·O4××.10已知ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设向量m(a，b)，n(sin B，sin A)，p(b2，a2)(1)若mn，求证：ABC为等腰三角形；(2)若mp，边长c2，C，求ABC的面积(1)证明因为mn，所