2025年高考数学复习 解题技巧：函数性质（易错点+七大题型）学生版+解析

秘籍07函数性质

目录

【高考预测】概率预测+题型预测+考向预测

【应试秘籍】总结常考点及应对的策略

【误区点拨】点拨常见的易错点

易错点：对称中心平移和对称轴平移后求值问题

【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略

【题型一】中心对称性质1：几个复杂的奇函数

【题型二】中心对称性质2：与三角函数结合的中心对称

【题型三】轴对称

【题型四】中心对称和轴对称构造出周期性

【题型五】画图：类周期函数

【题型六】恒成立和存在型问题

【题型七】嵌套函数

高考预测

概率预测☆☆☆☆☆

题型预测选择题、填空题☆☆☆☆☆

考向预测函数图像的画法与零点问题

应试秘籍

函数知识无处不在，它可以和任何知识结合起来考察，尤其是由数学语言来判断函数的周期或者对称

轴以及对称中心，再解决相应的问题，所以熟练掌握函数的基本性质是基础，而高考考察的即为延申的代

数问题，包括抽象函数的理解和图像的变化。对于高三的学生，需要把常见的结论以及数学语言的理解熟

练于心，才能保证做题的速度与准确度。

误区点拨

易错点：对称中心平移和对称轴平移后求值问题

若f(x)都可以唯一表示成一个奇函数g(x)与一个偶函数h(x)之和，当h(x)=m时，则f(x)关于

点(0,m)中心对称，即可以理解为将奇函数g(x)向上平移了m个单位，即f(x)+f(-x)=2f(0)=2m；

当h(x)wm时,则有f(x)+f(-x)=2h(x).

推论若f(x)=g(x)+m,则f(x)max+f(x)min=2f(0)=2m.

例(1)已知f(x)=ax+——2,则f(ln3)+f(In-)=~4.

x3

(2)已知f(x)=ax+e—csinx+3,则f(ln3)+f(In-)=6.

x3

(3)已知函数f(x)=ln(Vl+x2-x)+2，则f(lg5)+f(Igj)=4.

(4)已知函数f(x)=ln(71+9X2-3X)+b则f(坨2)+f(lg|)=2.

注意辨别奇函数g(x)和常数项m后直接用f(x)+f(-x)=2f(0)=2m来破解.

变式1:(2024.浙江绍兴.二模)已知定义在R上的函数“力在区间［-1,0］上单调递增,且满足"4-x)="x),

/(2-x)=-/(x),则()

10

A.Xf(k)=0B./(0.9)+/(1.2)<0

k=l

c./(2.5)>f(log280)D.〃sinl)</ln£|

变式2：(2024・广西•二模)已知定义在R上的函数满足〃2+x)-〃2-x)=4x.若/(2x-3)的图象关

于点(2,1)对称，且/(0)=0,则()

A.的图象关于点(1,1)对称

B.函数g(x)=/(x)-2x的图象关于直线x=2对称

C.函数g(x)=/(x)—2x的周期为2

D.f(l)+f(2)+...+/(50)=2499

抢分通关

【题型一】中心对称性质1：几个复杂的奇函数

中心对称的数学语言：

若“X)满足〃a+x)+〃b—x)=2c,则“X)关于［审，，中心对称

特殊的奇函数：（考试难点）：

1小珈luu/gi后人1m-nx1m+nx.〔1-x〔1-kx〔x-1

1、对数与反比例复合：y=log-----,y=log-----,如：loga；—,log——,log--

am+wcam-nx1+xa1+kxax+1

2、指数与反比例复合：y=答,y=U，y=M，丫=瞥

a—1a+1l+〃1—a

2

3、对数与无理式复合：y=loga（J（kx）2+l土kx）,如：y=loga（V（x）+l+x）

三次函数的对称中心的横坐标即为二次求导的零点。

典例精讲

【例1】（2024•陕西西安・三模）己知函数〃同=告+111（行71-目，若/（。一1）+/（2%>2,贝M的取

值范围为.

2

【例2】（多选）（2024・重庆•模拟预测）函数〃x）=2，；2:g（x）=ln（71+9x-3%）,那么（）

A./(x)+g(x)是偶函数B.〃x).g(x)是奇函数

g(x)

C.是奇函数D.g（〃x））是奇函数

【例3】（多选）（2024.湖南娄底•一模）已知函数“X）的定义域和值域均为{XxwO,xeR},对于任意非

零实数元,%尤+y片0,函数/（x）满足：f（x+y）（〃x）+/（y））=〃x）/（y）,且/（%）在（-双。）上单调递减，

/（1）=L则下列结论错误的是（）

2023

B.X/22023一2

/=1

C.y（x）在定义域内单调递减D./（尤）为奇函数

名校模拟

【变式1］（2024.江西上饶.二模）定义在R上的奇函数“X）满足〃2-x）=f（x）,且在［0,1］上单调递减,

若方程〃力=1在（T0］上有实数根，则方程〃力=-1在区间［3,11］上所有实根之和是（）

A.28B.16C.20D.12

【变式2】（2024•全国•模拟预测）函数〃x）=型优萼的部分图象为（）

2+

【变式3]（2024.上海徐汇.二模）已知函数，=/（无），其中〃x）=logi三.

⑴求证：>=/（x）是奇函数；

（2）若关于工的方程/（*）=14工（尤+人）在区间[3,4]上有解，求实数上的取值范围.

2

【题型二】中心对称性质2：与三角函数结合的中心对称

1.三角函数的对称中心（对称轴）有无数个，适当结合条件确定合适。

2.要注意一个隐含性质：一次函数是直线，它上边任何一个点都可以作为对称中心。一般情况下，选择它与

坐标轴交点，或则别的合适的点

«—I

典例精讲

【例0（2024•全国•模拟预测）已知函数"x）=e2--es+sin（]x-£|+l,则不等式〃2x+l）+〃2-x）22

的解集为（）

A.（—oo,2]B.[2,+co）C.[—2,2]D.[―2,+oo）

【例2】（2024.湖南.模拟预测）已知函数/⑺满足/（九+8）=/（尤）,/（x）+/（8-x）=0,当％<0,4）时,

〃x）=ln[l+sin%],则函数*x）=〃3x）-在（0,8）内的零点个数为（）

A.3B.4C.5D.6

।—।

名校模拟

SITIY

【变式1]（多选）（2024・江苏•一模）已知函数/口卜7~,则（）

A.“X）的最小正周期为兀B.“X）的图象关于点（兀,0）对称

C.不等式无解D.的最大值为孝

【变式2]（2024.河南.一模）已知函数〃尤）及其导函数尸（x）的定义域均为R,记g（x）=/'（x）.且

2024

/（l-3x）+/（3x-l）=0,g（l+x）+g（l-x）=0,当/（x）=sin^,贝九工/（.=____.（用数字作

2/=1

答）

【题型三】轴对称

数学语言：

1.函数“X)对于定义域内任意实数X满足+=x),则函数“X)关于直线》=等对称，特另IJ

地当〃x)=〃2a-x)时，函数〃工)关于直线x=a对称；

2.如果函数y=/(X)满足/(“+x)=f(a-x),则函数y=/(x)的图象关于直线*=。对称.

3.y=/(a—x)与y=(九一份关于直线1=巴士2对称。

'2

常见的偶函数：

偶函数:①函数f(x)=±(ax+a-x).

②函数/(X)=bgad+l)-修•

③函数/(恸)类型的一切函数.

典例精讲

【例1】(多选)(23-24高三下.山东荷泽•阶段练习)已知函数/(x)的定义域为R,且

〃x+y)./(x7)=产⑺―_f(y)"(l)=2J(x+l)为偶函数,则()

A.f(3)=2B./(x)为奇函数

2024

C.42)=0D.£/W=0

k=\

【例2】(2024•宁夏银川•二模)定义域为R的函数/(x)满足/(无+2)为偶函数，且当不<2时，

5

"(%)—/&)](9—玉)>。恒成立，若。=/⑴，Z?=/(lnl0),c=y(34),则。，b,。的大小关系为()

A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.c<a<b

【例3】(2024.全国•模拟预测)设〃x)是定义域为R的偶函数，且〃2x+l)为奇函数.若

贝皿贝/20丁23w)/202=3、(/、)

名校模拟

【变式1](2024.全国.模拟预测)若定义在R上的函数〃x)满足了(国)=〃X)，且

/(2+x)+/(2—x)=6J⑶=6,则下列结论错误的是()

A.〃8+x)=/(x)B.的图象关于直线x=4对称

C."201)=3D.y=〃x+2)-3是奇函数

【变式2](多选)(2024•全国•模拟预测)已知函数尸叼^+:!)为偶函数，且〃l-x)=/(x+3),当xe[0,l]

时，/(x)=2-2\贝IJ()

A.〃x)的图象关于点(L0)对称B.的图象关于直线x=2对称

C./⑺的最小正周期为2D./(1)+/(2)+-+/(30)=-1

【变式3](多选)(2024.河北邢台.一模)已知函数“X)和函数g(x)的定义域均为R,若〃2%-2)的图

象关于直线x=l对称，g(x)=/(x+l)+x-l,g(x+l)+/(—力=龙+2,且"0)=0,则下列说法正确的是

()

A.为偶函数

B.g(x+4)=g(x)

C.若/⑺在区间(0,1)上的解析式为/(x)=1吗(x+1),则在区间(2,3)上的解析式为

/(%)=l-log2(x-l)

20

D.Zg«)=210

1=1

【题型四】中心对称和轴对称构造出周期性

基本规律

关于对称中心与对称轴构造周期的经验结论

1.若函数有两个对称中心(a,0)与(b,0)),则函数具有周期性，周期T=2|a-b|。

2.若函数有两条对称轴x=a与x=b,则函数具有周期性，周期T=2|a-b|。

3.若函数有一个对称中心(a,0)与一条对称轴x=b,,则函数具有周期性，周期T=4|a-b|。

I—I

典例精讲

【例1】(2023・浙江•一模)设函数y=/(x)的定义域为R,且〃％+1)为偶函数，/(x-1)为奇函数，当

2023

时，f(x)^l-x2,则£〃%)=.

k=\

【例2】(2024•陕西西安二模)已知函数A©满足/(x+y)=/(x)+〃y)+2q,则/(100)=.

【例3】(多选)(2023•江西•模拟预测)设函数的定义域为R,〃x+l)为奇函数，〃x+2)为偶函

数，当xe[l,2]时，f(x)=a-log2%.则下列结论正确的是()

A./⑴=1B./(8)=-1

206100

c.Z/⑻=TD.2W)=50

k=\k=l

I—1

名校模拟

【变式1](多选)(2024.吉林白山.二模)己知函数/(x)的定义域为R,其图象关于(1,2)中心对称，若

小)一”—J一"则()

4

A.*2—3x)+/(3x)=4B./(%)=/(%—4)

20

C./(2025)^^K)46D.^/(z)=-340

4=1

【变式2](多选)(2024.广东韶关.二模)已知定义在R上的函数/(x),g(x)的导函数分别为了'(x),g'(x),

且/(x)=/(4—x),/(l+x)-g(x)=4/(x)+g"+x)=0,则()

A.8卜)关于直线％=1对称B.g'⑶=1

C.尸(x)的周期为4D.f,(H)-g,(n)=0(neZ)

【变式3](2024.全国.模拟预测)已知定义在R上的函数〃x)的图象关于点(1,0)对称，/(x+l)+/(x+2)=0,

14

且当xe0,-时，/(x)=^-+log2(3x+l).若“M+1)<-日，则实数机的取值范围为()

_N_XI_1N

A.12发+；,2左+||(左eZ)左一g，左一(左eZ)

B.

C.1%-1,左+eZ)2fe-1,2A:+-WeZ)

D.

【题型五】画图：类周期函数

基本规律

“似周期函数”或者“类周期函数”，俗称放大镜函数，要注意以下几点辨析:

1.是从左往右放大，还是从右往左放大。

2.放大(缩小)时，要注意是否函数值有0。

3.放大(缩小)时，是否发生了上下平移。

«—I

典例精讲

【例1】定义：若存在非零常数鼠T,使得函数段)满足於+7)=加)+左对定义域内的任意实数尤恒成立，则

称函数式犬)为*距周期函数”，其中T称为函数的“类周期”.则()

A.一次函数均为常距周期函数”

B.存在某些二次函数为*距周期函数”

C.若“1距周期函数'g)的“类周期''为1,且/⑴=1,则危)=x

D.若g(x)是周期为2函数，且函数yu)=x+g(尤)在[0,2]上的值域为[0,1],则函数五尤)=x+g(无)在区间[2a,

2"+2]上的值域为⑵?，2«+1]

।—।

名校模拟

【变式1】定义“函数y=/(x)是。上的。级类周期函数”如下：函数y=/(x),xeD,对于给定的非零常数

。，总存在非零常数T,使得定义域。内的任意实数x都有4(力=/(彳+7)恒成立，此时T为/(%)的周期.

若y=/(x)是[1，+⑹上的。级类周期函数，且7=1，当xe[l,2)时，/(x)=2x+l,且y=/(x)是[1,+8)上

的单调递增函数，则实数。的取值范围为()

A.B.[2,+co)C.p+cojD.[10,-Ko)

【变式2】(多选)(2023•山东济南•模拟预测)已知函数定义域为R,满足+2)=J"尤)，当-1W%<1

Fx+il

时，/(x)=W.若函数y=/(x)的图象与函数g(x)=112(_2023Vo23)的图象的交点为(孙为)，

(入2，%)，…(乙，％)，(其中［可表示不超过x的最大整数)，贝！1()

A.g(x)是偶函数B.n=2024C.£%=0D.f“=2?°葭2Ttm

i=li=l

【题型六】恒成立和存在型问题

基本规律

常见不等式恒成立转最值问题：

U)YXED,/(x)>mo/(x)111ta>m-

(2)3xeD,f(x)>m<^/(x)max>m；

(3)VxeAf(x)>g(x)<=>(/(%)-g(x))1nhi>0；

(4)Bx&D,/(x)>g(x)o(/(尤)-g(x))111ax>0；

(5)VxjeD,x2eM,/&)>g(尤2)O/(占)1nhi>gGL;

(6)叫&D,X2eM,/(%))>g(x2)o/(%)1mx>g(^2)mi„;

(7)VjqeD,Hx,eM,/(^)>g(x2)O>g(x2)min；

(8)3%!eO,V%2&M,/(%1)>g(x?)o/(王).>g(x2)mnx；

I—I

典例精讲

—x+cue+20~4VxV0

【例1】(2024•上海黄浦・二模)设函数〃尤)=,c沙一,二，若/。)>0恒成立，则实数a的取

[ax--2x+3,0<x<4

值范围是()

【例2】(2024.全国.模拟预测)已知函数“X)对任意x,"R恒有〃x+y)=/(x)+/(y),且当x<0时,

/(^)<0,/(2)=3,若存在xe[-2,2],使得/(x)>疗-2机成立，则实数加的取值范围为()

A.(-3,3)B.(-3,1)C.(-1,1)D.(-1,3)

【例3】(2024•广东深圳•模拟预测)已知函数=一若加eR,使得m+4加成

[log3x,x>3

立，则实数用的取值范围为()

-

911r5n

44jL2_

(9]「1、(51

C.[_3，一]u--,+^ID.Iu[0,+rne)A

1—1

名校模拟

【变式1](多选)(2024.全国.模拟预测)已知定义在R上的函数/(元)满足：对任意尤，yeR,

■4昼｝/[亨)=3[八*+/(>)]恒成立，且"1)=一1‘贝"()

A.函数“X)的图象过点(0,1)

B.函数/(尤)的图象关于原点对称

C.g(x)=[〃x)]2的图象关于点(-“J对称

D."98)+2/(99)+"100)=0

【变式2](2024.上海奉贤•二模)已知定义域为R的函数y=/(x),其图象是连续的曲线，且存在定义域

也为R的导函数y=/'(x).

⑴求函数/(x)=3+0在点(0,/(0))的切线方程；

⑵已知/(x)="cos无+bsinx,当“与b满足什么条件时，存在非零实数%,对任意的实数x使得

/(—x)=—刈⑺恒成立?

⑶若函数y=/(x)是奇函数，且满足〃力+/(2-x)=3.试判断/。+2)=〃2-可对任意的实数X是否恒

成立，请说明理由.

【变式3](21-22高三上•全国•阶段练习)已知函数〃力=|4》+4-川+/|.

(1)若a=2,求不等式〃x)+；x<l的解集；

(2)若去eR,3aG[0,2],使得w能成立，求实数根的取值范围.

【题型七】嵌套函数

在某些情况下，我们可能需要将某函数作为另一函数的参数使用，这一函数就是嵌套函数.在函数里面调用

另外一个函数，就叫做函数嵌套.如果调用自己本身，就叫做递归调用，也叫递归嵌套.

一嵌套函数解析式问题的解题方法：

换元法：将被嵌套的部分换为一个主元3即求出y=f(t)解析式，属于通法.

待定系数法：将被嵌套部分换成一个常数，最后解出这个常数即可.

二不动点与稳定点

不动点：对于函数f(x)(xeD),我们把方程f(x)=x的解x称为函数f(x)的不动点，即y=f(x)-^y=x

图象交点的横坐标.

例如：函数f(x)=2x-l有一个不动点为1,函数g(x)=2x2—1的不动点.有两个不动点一；，1.

稳定点:对于函数f(x)(xeD),我们把方程f[f(x)]=x的解x称为函数f(x)的稳定点，即y=f[f(x)]

与y=x图象交点的横坐标。很显然，若X。为函数y=f(x)的不动点，则X。必为函数y=f(x)的稳定点.

证明：因为f(Xo)=Xo，所以f(f(X。))=f(X。)=Xo,故X。也是函数y=f(x)的稳定点.

I—I

典例精讲

-xe%+1,x<0

【例1】(2。24.全国.模拟预测)已知函数小)=/?(尤)=-2<^(x)+4(aeR),若

4

函数恰有6个零点，则实数。的取值范围是()

A.g+°°]B.IfC.(1,+℃)D.(0,+e)

【例2】(2024•安徽池州•模拟预测)在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定

理，它可应用到有限维空间，并构成了一般不动点定理的基石.简单来说就是对于满足一定条件的连续函

数,存在一个点,使得了小)=尤°,那么我们称f(无)为“不动点”函数.若存在几个点为12,

满足/(%)=%,则称为""型不动点”函数，则下列函数中为“3型不动点”函数的是()

A./(x)=l-lnxB./(x)=5-lnx-ex

Ax—2

C.f(x)=----D.f(x)=2sinx+2cosx

x

【例3】(2023・浙江温州•二模)定义：对于函数〃x),若/(不)=/，则称/为〃力的“不动点”，若

/"(%)]=%,则称与为/⑴的“稳定点”.函数“X)的“不动点”和“稳定点”集合分别记为A和8,即

A=[x\f(x)=x],B={x"[/(%)]=无}.

(1)证明下面两个性质：

性质1：A£B.

性质2：若函数/'(X)单调递增，则A=B；

⑵已知函数/(幻=y,彳>0,若集合8={尤@中恰有1个元素，求。的取值范围.

I—I

名校模拟

【变式1](多选)(2023•全国•模拟预测)取名于荷兰数学家鲁伊兹・布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个

非常重要的不动点定理.该定理表明：对于满足一定条件的图象连续不间断的函数/(元)，在其定义域内存在

一点%,使得/(%)=1，则称为为函数的一个不动点，那么下列函数具有“不动点”的是()

A./(x)=|lnx|B./(x)=x2+2x+l

〃[|2x+l|,x<0“、rc

C.f(x)=vI'D./(x)=ex+2x

[sinx,x>0V7

【变式2](2024.贵州黔西.一模)布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可运用

到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石，得名于荷兰数学家鲁伊兹•布劳威尔(L.E.J.Brouwer).简单地

讲就是:对于满足一定条件的连续函数Ax),存在实数%,使得/(/)=/，我们就称该函数为“不动点”函数，

实数％为该函数的不动点.

⑴求函数/(尤)=2工+%-3的不动点；

(2)若函数g(x)=lnx-万有两个不动点和巧，且不<々，若马-M42,求实数6的取值范围.

【变式3](2024•河北沧州•一模)对于函数>=/(无)，xel,若存在与〃，使得/(不)=/，则称与为函

数/*)的一阶不动点；若存在不©/,使得/(/(%))=%,则称％为函数/(x)的二阶不动点；依此类推，可

以定义函数/(x)的”阶不动点.其中一阶不动点简称为“不动点”，二阶不动点简称为“稳定点”，函数/(X)的

“不动点”和“稳定点”构成的集合分别记为A和8,即4=何/(*)=对，B={x]/(/(%))=%).

⑴若〃x)=e“x>0)，证明：集合A={x|/(x)=x}中有且仅有一个元素；

(2)若，讨论集合的子集的个数.

秘籍07函数性质

目录

【高考预测】概率预测+题型预测+考向预测

【应试秘籍】总结常考点及应对的策略

【误区点拨】点拨常见的易错点

易错点：对称中心平移和对称轴平移后求值问题

【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略

【题型一】中心对称性质1：几个复杂的奇函数

【题型二】中心对称性质2：与三角函数结合的中心对称

【题型三】轴对称

【题型四】中心对称和轴对称构造出周期性

【题型五】画图：类周期函数

【题型六】恒成立和存在型问题

【题型七】嵌套函数

高考预测

概率预测☆☆☆☆☆

题型预测选择题、填空题☆☆☆☆☆

考向预测函数图像的画法与零点问题

应试秘籍

函数知识无处不在，它可以和任何知识结合起来考察，尤其是由数学语言来判断函数的周期或者对称

轴以及对称中心，再解决相应的问题，所以熟练掌握函数的基本性质是基础，而高考考察的即为延申的代

数问题，包括抽象函数的理解和图像的变化。对于高三的学生，需要把常见的结论以及数学语言的理解熟

练于心，才能保证做题的速度与准确度。

误区点拨

易错点：对称中心平移和对称轴平移后求值问题

若f(x)都可以唯一表示成一个奇函数g(x)与一个偶函数h(x)之和，当h(x)=m时，则f(x)关于

点(0,m)中心对称，即可以理解为将奇函数g(x)向上平移了m个单位，即f(x)+f(-x)=2f(0)=2m；

当h(x)wm时，则有f(x)+f(-x)=2h(x).

推论若f(x)=g(x)+m,则f(x)max+f(x)min=2f(0)=2m.

例(1)已知f(x)=ax+——2,则f(ln3)+f(In-)=~4.

x3

(2)已知f(x)=ax+——csinx+3,则f(ln3)+f(In-)=6.

x3

⑶已知函数f(X)=ln(Vl+x2-x)+2,则f(lg5)+fdgj)=4.

(4)已知函数f(x)=ln(71+9X2-3X)+1，则f(g)+f(lg1)=2.

注意辨别奇函数g(x)和常数项m后直接用f(x)+f(-x)=2f(0)=2m来破解.

变式1:(2024•浙江绍兴•二模)已知定义在R上的函数/(x)在区间［T。］上单调递增,且满足/(4-x)=/(x),

/(2-x)=-/(%),贝ij()

10

A.°B.f(O.9)+/(1.2)<O

k=l

c./(2.5)>/(log280)D.

【答案】BCD

【详解】对于函数/(元)有，/(4-x)=/(x),则函数/(X)关于直线x=2对称，

由/(2-同=一/(%)，则函数/⑺关于点(1,0)对称，

所以/(4—x)=-/(2-x),所以得/(2—x)=—/(—x),

则/(4-x)=/(-x),故函数/(x)的周期为4,且/(-x)=/(x),故函数/(尤)为偶函数，

因为函数/(X)在区间［-1,0］上单调递增，则函数/(尤)的大致图象如下图：

由对称性可得〃1)+/(2)+/(3)+〃4)=0,

10

所以£〃%)=[/⑴+/(2)+〃3)+〃4)]X2+〃9)+〃10)=0+〃1)+〃2)=〃2)*。，故A不正确；

左=1

由于〃0.9)+/(11)=0,/(1.1)>/(1.2),所以/(0.9)+/(1.2)<0,故B正确；

42__

又/(logo80)=Z(log216+log25)=/(4+log25)=/(log25),万=log22i=log2夜>log25>2,所以

/(2.5)>/(log280),故C正确；

/[ln^=/(-ln2)=/(ln2),且0<ln2<0.7,

因为，所以sin巴〉sin1>sin乌=立^>0.7,故l>sinl>ln2>0,

34342

所以/(sinl)</1n；j,故D正确.

故选：BCD.

变式2：(2024.广西二模)已知定义在R上的函数满足/'(2+x)-"2-x)=4x.若〃2x-3)的图象关

于点(2,1)对称，且"0)=0,则()

A.〃x)的图象关于点(1,1)对称

B.函数g(x)=〃x)-2x的图象关于直线x=2对称

C.函数g(x)=/(x)-2x的周期为2

D./⑴+/⑵+…+/(50)=2499

【答案】ABD

【详解】对A,因为〃2x-3)的图象关于点(2,1)对称，则“X-3)的图象关于点(4,1)对称，

故的图象关于点(1,1)对称，故A正确；

对B,g(2-x)=/(2-尤)-2(2-%)=/(2-x)+2x-4,

g(2+x)=/(2+x)-2(2+x)=,(2+x)-4-2x,

又〃2+x)-〃2-x)=4x,故g(2+x)-g(2-x)=/(2+x)-/(2-x)-4x=0.

即g(2+x)=g(2-x),故g(x)=〃x)-2x的图象关于直线尤=2对称，故B正确;

对C由A,/(2+x)=2-/(-x),J./(2-x)=2-/(x),

又因为〃2+x)-"2-x)=4x,故[2-〃-切-[2-/(明=4x,

即/(x)—/(—X)=4x,故/(x)—2x=/(—x)—2(—x),即g(x)=g(-x).

由B,g(-x)=g(x+4),故g(x)=g(-x)=g(x+4),故g(x)=/(x)-2x的周期为4,故C错误；

对D,由/（0）=0,/（x）的图象关于点（U）对称,且定义域为R,则="2）=2,

又〃2+力一〃2-x）=4x,代入x=l可得/⑶一/•⑴=4,贝ij〃3）=5,

又g（x）=/（x）—2x,故g⑼="0）=0,g（l）=/⑴—2=-1,g（2）=/（2）-4=-2,g（3）=/（3）-6=-l,

又g（x）的周期为4,g（4）=/（0）=0.

贝ljg（l）+g（2）+…+g（50）=12义[g（l）+g（2）+g（3）+g（4）]+g（l）+g（2）

=12x（-4）_l-2=-5L

BP/（l）-2+/（2）-4+...+/（50）-100=-51,

则/⑴+/⑵+…+〃50）=2+4+,+]00_5]=5Ox（j+lOO）_5]=2499,故D正确.

故选：ABD

抢分通关

【题型一】中心对称性质1:几个复杂的奇函数

中心对称的数学语言：

若“X)满足/(a+x)+〃b-x)=2c,则“X)关于(审,cj中心对称

特殊的奇函数：(考试难点)：

,T跖1华人1m-nx1m+nx..1-x.1-kx,x-1

1、对数与反比例复合：y=loga-----,y=loga------,如：loga；—,loga——,loga--

m+nxm-nx1+x1+kxx+1

2、指数与反比例复合：y=S，y=*，y=H，y=F

a-1a+11+a1-a

22

3^对数与无理式复合：y=loga(V(kx)+l±kx),如：y=loga(7(x)+l+x)

三次函数的对称中心的横坐标即为二次求导的零点。

»—I

典例精讲

【例1】(2024•陕西西安•三模)已知函数〃乃二母+可力^-目，若+贝心的取

值范围为.

【答案】卜』

【详解】由条件知xeR,4^(x)=/(x)-l=-^+ln(777i-xj-l,

则g(-x)=j]+In(J3:+1+x)-1=+\n^]x2+1+x),

易知g(x)+g(-x)=O,即g(x)为奇函数,

21

又"小m

J/+1+X)

21

易知—在x>。时单调递减，

7x+1+x

由复合函数的单调性及奇函数的性质得g(x)="X)-1在R上单调递减,

对于/(a-l)+/(2")>2og(a-l)+g(2")>0og(a-l)>g(-2a2),

所以a-1<—2.ci~=czE-1,—j.

故答案为：［t，；］

(尤)=那么()

【例2】(多选)(2024.重庆.模拟预测)函数2:2,gln(Jl+9x2—3x),

A.〃x)+g(x)是偶函数B./(办g(x)是奇函数

g(x)

c.5H是奇函数D.g(7(x))是奇函数

【答案】BC

2T+VV_i_

【详解】因为y(-x)=二:/(X),所以〃x)=\--为偶函数,

+ln(A/1+9x2-3x)=In(y/l+9x2+3x)(y/l+9x2—3x)

因为g(-x)+g(x)==lnl=0,

即g(-x)=-gO),所以g(x)=ln(Jl+9x2-3x)为奇函数,

所以〃x)+g(x)为非奇非偶函数，A错误；

/(—x>g(—x)=T/(X)・g(x)］,所以/(x)-g(x)为奇函数，B正确；

斗士=可?=一阴，所以阴是奇函数，C正确；

/(-%)/(X)/(X)/(X)

令"(x)=g(/(%)),H(-x)=g(f(-x))=g(f(x))=H(x),”(x)为偶函数，D错误.

故选：BC.

【例3】(多选)(2024•湖南娄底•一模)已知函数“X)的定义域和值域均为{x|xwO,xeR},对于任意非

零实数x,y,x+y/。，函数/(x)满足：f(-x+y)(f(^)+f(y))=f(x)f(y),且/(x)在(-8,0)上单调递减，

/(1)=1,则下列结论错误的是()

2023

2，，23

A.f2B.Z/l7=2-2

IZ=1

c./（X）在定义域内单调递减D.为奇函数

【答案】BC

【详解】对于A,令尤=y=g,则2/⑴/（g）="（；）『，

因/（g）wO,故得〃g）=2/（1）=2,故A正确；

对于B,由『（尤+yX〃x）+/（y））=〃x）f（y）,

令yf则相止羽=?⑴,

则/（1）=f3击）=?（击），即“击）=2/（1）,

故｛/（：）｝是以〃；）=2为首项，2为公比的等比数列,

2023

于是Z/=22024—2，故B错误;

Z=17

对于D,由题意，函数“X）的定义域为（-”,0）U（0,y）,关于原点对称,

令—则〃一说蒿¥高①，

/（尤）/（彳）_/（一尤）

把无，丁都取成-x,可得〃-2元）=

2/（-x）2

〃尤）〃-x）

将②式代入①式，可得/（-彳）=-----2

+

2

化简可得〃-x）=-/⑺,即/（x）为奇函数，故D正确；

对于C,•."（X）在（-8,0）上单调递减，函数为奇函数，可得/（X）在（0,+8）上单调递减,

但是不能判断/'（X）在定义域上的单调性，例如/（x）=：,故C错误.

故选：BC.

名校模拟

【变式1］（2024.江西上饶.二模）定义在R上的奇函数"X）满足"2-x）=f（x）,且在［0』上单调递减,

若方程〃力=1在（T0］上有实数根，则方程〃力=-1在区间［3,11］上所有实根之和是（）

A.28B.16C.20D.12

【答案】A

【详解】由/(2-x)=f(x)知函数/(x)的图象关于直线x=l对称，

■：f(2-x)=f(x),/(x)是R上的奇函数,

/(r)=〃x+2)=_〃x),

•4./(x+4)=/(x),

.♦./(%)的周期为4,

考虑“X)的一个周期，例如［T3］,

由〃x)在［0』上是减函数知/⑺在(1,2］上是增函数，

“X)在上是减函数，〃%)在［2,3)上是增函数，

对于奇函数有"0)=0,/(2)=/(2-2)=/(0)=0,

故当xe(O,l)时，f(x)</(0)=0,当xe(l,2)时，f(x)</(2)=0,

当xe(—l,0)时，/(x)>/(O)=O,当xe(2,3)时，/(x)>〃2)=0,

因为方程“X)=1在(-1,0］上有实数根，

函数/(X)在(-1,0］上是单调函数，则这实数根是唯一的，

所以方程=-1在(0,1］上有唯一的实数根，

则由于"2r)=f(x),函数/(%)的图象关于直线x=l对称,

故方程/(X)=T在(1,2)上有唯一实数根，

因为在(TO)和(2,3)上〃力>0,

则方程/⑺=T在(-1,0］和［2,3)上没有实数根，

从而方程“X)=T在一个周期内有且仅有两个实数根，

当尤《一1,3］,方程/(x)=-1的两实数根之和为x+2—x=2,

当x目3,11］,方程/("=T的所有4个实数根之和为

4+X+4+2—九+%+8+2—x+8=8+2+8+2+8=28.

故选：A.

【变式2】(2024•全国•模拟预测)函数〃x)=.°sx+sinx的部分图象为(

【答案】B

【详解】由题意可知：f(x)的定义域为R,关于原点对称,

-xcos(-x)+sin(-x)—xcosx-sinx

且/(-x)==—f(x)，

l+(f)21+x2

所以f(x)为奇函数，其图象关于原点