Monte Carlo模拟法与基坑变形的可靠度分析

1、Monte Carlo模拟法与基坑变形的可靠度分析Monte, 基坑, 模拟法, Carlo将Monte Carlo模拟法与有限元技术结合，对基坑变形的稳定性进行可靠度分析，并通过重构响应面来提高Monte Carlo模拟法的计算效率。研究表明该方法可行，计算结果较符合实际。关键词 基坑 ； Monte Carlo模拟 ； 响应面 ； 有限元分类号 TU 433Monte Carlo Simulation and Reliability Analysison the Deformation of Foundation PitYang Linde Xu Chao(Geotechnical Dep

2、artment,Tongji University, Shanghai 200092)Abstract Combining Monte Carlo simulation with finite element method, this paper gives a way to analyze the probability of the deformation stability of foundation pit. Response surface method is employed to improve the calculation efficiency of direct Monte

3、 Carlo simulationtechnique. The application shows that the calculation results could be in accordance with the actual situation.table/tableKey words foundation pit, Monte Carlo simulation, response surface, finite element method1 引言岩土工程问题的可靠度分析通常采用近似概率方法。由于基本变量之间的相关性及功能函数的非线性特征，这类问题常很复杂，而当极限状态方程中个别不

4、确定性变量无法用显式表达时，难度将更大。典型情况有： 极限状态方程表达式中包含多个相关基本变量的非线性函数时，系统失效概率的计算；不存在闭合形式的极限状态方程时可靠度的计算。在这些情况下，Monte Carlo模拟法(或称统计试验法)将有助于给出较好的近似答案。2 Monte Carlo模拟法的基本原理Monte Carlo模拟法可用于分析确定性问题和随机问题。采用这种方法分析随机问题时，工作内容可概括为：产生均匀分布的随机数，并根据基本变量的概型进行随机抽样；进行模拟计算并对结果进行统计，给出问题的解和精度估计。2.1 随机抽样方法先产生(0，1)区间上均匀分布随机数。可采用的方法有乘同余法

5、、混合同余法等2，其中混合同余法的递推公式为式中 ,x0,C和M为选定的常数。公式表示xi-1 C除以M的余数为xi，将其再除以M即得(0，1)上均匀分布随机数ri。将ri转换为(a,b)区间上的均匀分布随机数Ri的计算公式为Ri=a (b-a)ri (2)为将均匀分布随机数ri转换为符合某一指定概率分布的随机数，作者采用了反函数法，其前提是经验分布的反函数存在。设X为具有分布函数FX(x)，且反函数F-1X(x)存在的连续随机变量，r是均匀分布随机变量R(分布函数为FR(r)的值。若给定累积概率FX(x)=r，则有x=F-1X(r) (3)若已得(0，1)上的均匀分布随机数序列ri，则可得到

6、符合FX(x)的随机数序列：xi=FX-1(ri) (i,1,2,n) (4)2.2 Monte Carlo模拟法的基本步骤将Monte Carlo模拟法与有限元法相结合，用以分析不确定性问题的一般步骤为：(1) 建立有限元分析的确定性模型，并编制相应程序。(2) 统计确定与可靠度分析有关的各基本变量(如材料参数、荷载等)的概率分布模型及其分布参数。(3) 对所有基本变量按统计特征进行第一次随机采样，并将采样结果作为有限元分析的已知参数输入确定性计算模型(程序)，获得响应特征量的第一个仿真结果。(4) 重复n次独立随机采样，并进行n次有限元计算，得到响应特征量的一个容量为n的仿真样本。(5)

7、根据已有经验和仿真样本，采用统计推断方法确定响应特征量的分布模型及其分布参数。(6) 将所得的响应特征参数作为基本变量代入相应的极限状态方程式，可采用近似概率方法估算失效概率。2.3 Monte Carlo模拟法的结果与精度在工程可靠度分析中，设极限状态方程式为Z=g(x,，xn)，其失效概率为Pf=P(g(x1,，xn)0) (5)借助随机抽样对基本变量赋值时，计算结果只有g(。)0和g(。)0两种可能，故可定义指标函数：并可将由Monte Carlo模拟法得到的失效概率表达为Pf的估计：table/table式中Nf为N次模拟计算中g(。)0的总次数。Monte Carlo模拟法不仅可按式

8、(7)计算失效概率，还可根据模拟计算结果拟合出功能函数的分布形式，据以估计其一、二阶矩计算可靠度指标:=z/z (8) z和2z,及按下式近似Monte Carlo模拟法的误差一般可用z表示。功能函数值Z越离散，误差将越大。当模拟次数充分大时，已经证明3由模拟结果样本求得的估计值的标准差与模拟次数的平方根成反比。因此，加大模拟次数可望提高模拟精度。根据经验，一般模拟次数N5 000次时，已能基本满足精度要求。3 系统响应面的重构运用Monte Carlo模拟法分析某一失效模式的失效概率时，达到某一精度所需的模拟次数，即Monte Carlo模拟法的计算效率，令人关注。目前，可靠性学科的努力趋势

9、之一，是通过改进随机抽样技术和统计推断技术以提高Monte Carlo模拟法的计算效率。作者拟运用重构响应面(Response Surface,简称RS)的方法，以减少有限元计算次数，其特点是通过对有限元分析的响应特征量进行重构，用重构的RS代替系统的真实响应面，以达到提高计算效率的目的。文中拟采用回归分析方法重建RS4，并采用内插或外推法逼近设计点。 设g(为有限元分析所涉及的基本随机变量向量，系统的真实响应面为()为真实响应面的近似函数。Bucher(1990)5采用多项式函)，而数表示RS，即式中Xi(i=1,2,m)表示X?中的第i个变量，a,bi，ci(i=1,2,m)为可通过回归分

10、析确定的待定系数。多项式的内插或外推系利用基本变量的均值和标准差，通过扩大抽样点的搜索范围以改进息(i和()。具体作法为利用已建立的()和已知基本变量统计信(D)的值后，沿M，即i)对失效模式的设计点D进行估计，得出的均值点到D的直线进行线性内插或外推，得出新的抽样中心点以M为中心在有限的区域内再进行抽样和模拟运算，重新确定式(9)中的待定系数，由此使新的抽样点更靠近真实的响应面。4 计算实例以上海某重力式基坑支护工程为例，采用上述方法分析变形(墙顶位移)稳定性问题。基坑平面形状为多边形，开挖深度为9.71 m，采用深层搅拌桩支护，桩长19.0 m，插入比近似为1.0。墙体宽8.7 m，墙体内

11、外层均插入毛竹加强。有限元分析计算中，围护结构受力变形按二维平面应变问题分析，地层特性用弹塑性模型描述，屈服准则选用Durcker-prager准则。有限元分析的计算域、初始边界条件和荷载等的处理与常规方法相同，并采用ALGOR FEAS(Super SAP91)通用软件进行模拟计算。分析计算中采用的主要参数见表1，其中墙体特性参数取为定值，其余参数均视为服从正态分布的随机变量。表1 有限元分析中主要参数及概率特征Table 1 Principal parameters and theirprobabilistic features used in FEM 土 体 参 数 墙体参数 地表荷 E

12、 kPa CkPa /弧度EkPa载qkPa 平均值 7 710 0.41 8.65 0.213 3 21 000 0.25 10.0 标准差 1 542 0.034 1.21 0.029 9 2.0 变异系数 0.20 0.08 0.14 0.14 0.2 模拟计算中，为全面反映各变量对围护结构变形的影响，引入了正交设计试验方法4。根据模拟计算结果，由回归分析法建立的墙顶位移的响应面()为上式的复相关系数=0.9774297，相对误差为0.1302579。假设基坑围护墙顶水平位移的允许值y0为墙体高度的1%1.5%，得y0=25 cm，则基坑位移控制失效的极限状态方程式为 y0-()=0 (

13、12)table/table以验算点法进行可靠度分析，可得设计点的估计：D=(9.9482,7486.116,0.4054078,8.64718,0.2132715)，与基本变量的均值点(见表1)比较，二者差别不大。由线性内插得下一次模拟抽样的中心点X?M，并以X?M为新的抽样中心点，进行新的模拟运算，通过回归分析重新建立墙顶位移的近似响应面为式(13)的复相关系数为0.97624，相对误差为0.1244737。以式(13)的近似响应面代替基坑支护系统的真实响应面，按Monte Carlo模拟法的原理重复进行抽样和模拟运算6000次。通过对运算结果进行统计分析，可得基坑墙顶不同位移值的保证率(

14、见表2)。表2还有进行1万次抽样与模拟运算的统计分析结果，可见二者已十分接近。实测结果表明，墙顶位移值为25.2 cm，而根据模拟计算结果的统计分析，墙顶位移超过25.0 cm的概率为53.88%，可见与实测值相比计算结果偏大。其原因是模拟计算中尚难考虑具体施工措施和现场条件的影响，如本实例中，坑内土体注浆、基础工程桩的存在、挖土顺序及降水措施的影响等。如能根据工程实际情况适当调整表1所列的参数，采用这一方法可望得出更为合理的结果。 表2 模拟运算6 000次和10 000次的位移保证率统计表Table 2 Statistical table of assurance probability

15、of displacement with6000 and 10000 simulation calculation operations 墙顶位移 /cm 保 证 率 /% 墙 顶 位 移 /cm 保 证 率 /% 6000次 1000次 6000次 1000次 6000次 1000次 5.0 0.217 0.250 30.0 30.0 75.033 75.000 10.0 2.167 2.190 35.0 35.0 93.150 93.200 15.0 8.667 8.690 40.0 40.0 99.117 99.030 20.0 23.550 23.400 45.0 45.0 99.96

16、7 99.950 25.0 46.100 46.120 50.0 50.0 100.00 100.00 5研究表明：可采用Monte Carlo模拟法解决复杂的岩土工程可靠度分析问题；可采用重构响应面的方法提高Monte Carlo模拟法的计算效率。 结束语计算结果与实测值相比偏大，是由于在计算中尚未兼容考虑现场实际条件的影响。在工程实践中借助反分析方法1定量确定现场条件下施工措施对变形的影响，并与本文所述的方法相结合，将是一个新的研究方向。Monte Carlo模拟法与基坑变形的可靠度分析 国家自然科学基金资助课题(批准号： 59478043)。杨林德，男，58岁，教授，博导，长期从事地下结构工程和岩土工程的理论研究与教学。 作者单位：(同济大学地下建筑与工程系，上海 200092)参考文献1 杨林德等. 岩土工程问题的反演理论与实践. 北京：科学出版社，1996. 148155 2 黄克中等