平面向量测试题及详解

1、平面向量第卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。)1(文)(2011·北京西城区期末)已知点A(1,1)，点B(2，y)，向量a(1,2)，若a，则实数y的值为()A5B6C7D8答案C解析(3，y1)，a，y7.(理)(2011·福州期末)已知向量a(1,1)，b(2，x)，若ab与4b2a平行，则实数x的值为()A2 B0C1D2答案D解析ab(3，x1)，4b2a(6,4x2)，ab与4b2a平行，x2，故选D.2(2011·蚌埠二中质检)已知点A(1,0)，B(1,3)

2、，向量a(2k1,2)，若a，则实数k的值为()A2 B1 C1 D2答案B解析(2,3)，a，2(2k1)3×20，k1，选B.3(2011·北京丰台期末)如果向量a(k,1)与b(6，k1)共线且方向相反，那么k的值为()A3 B2 C D.答案A解析由条件知，存在实数<0，使ab，(k,1)(6，(k1)，k3，故选A.4(文)(2011·北京朝阳区期末)在ABC中，M是BC的中点，AM1，点P在AM上且满足2，则·()等于()A B C. D.答案A解析由条件知，·()·(2)·|22.(理)(2011

3、3;黄冈期末)在平行四边形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，DE交AF于H，记、分别为a、b，则()A.ab B.abCab Dab答案B解析ba，ab，设，则ab，ab，与共线且a、b不共线，ab.5(2011·山东潍坊一中期末)已知向量a(1,1)，b(2，n)，若|ab|a·b，则n()A3 B1 C1 D3答案D解析ab(3,1n)，|ab|，又a·b2n，|ab|a·b，n2，解之得n3，故选D.6(2011·烟台调研)已知P是边长为2的正ABC边BC上的动点，则·()()A最大值为8 B是定值6C最小值为2 D与P

4、的位置有关答案B解析设BC边中点为D，则·()·(2)2|·|·cosPAD2|26.7(2011·河北冀州期末)设a，b都是非零向量，那么命题“a与b共线”是命题“|ab|a|b|”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D非充分非必要条件答案B解析|ab|a|b|a与b方向相同，或a、b至少有一个为0；而a与b共线包括a与b方向相反的情形，a、b都是非零向量，故选B.8(2011·甘肃天水一中期末)已知向量a(1,2)，b(2，4)，|c|，若(ab)·c，则a与c的夹角为()A30° B60

5、76; C120° D150°答案C解析由条件知|a|，|b|2，ab(1，2)，|ab|，(ab)·c，×·cos，其中为ab与c的夹角，60°.aba，ab与a方向相反，a与c的夹角为120°.9(文)(2011·福建厦门期末)在ABC中，C90°，且ACBC3，点M满足2，则·等于()A2 B3 C4 D6答案B解析解法1：如图以C为原点，CA、CB为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则A(3,0)，B(0,3)，设M(x0，y0)，2，·(2,1)·(0,3)3，故选B.

6、解法2：2，··()|2·9×3×3×3.(理)(2011·安徽百校联考)设O为坐标原点，点A(1,1)，若点B(x，y)满足则·取得最大值时，点B的个数是()A1 B2 C3 D无数答案A解析x2y22x2y10，即(x1)2(y1)21，画出不等式组表示的平面区域如图，·xy，设xyt，则当直线yx平移到经过点C时，t取最大值，故这样的点B有1个，即C点10(2011·宁夏银川一中检测)a，b是不共线的向量，若1ab，a2b(1，2R)，则A、B、C三点共线的充要条件为()A121 B121

7、C1·210 D1210答案D分析由于向量，有公共起点，因此三点A、B、C共线只要，共线即可，根据向量共线的条件可知存在实数使得，然后根据平面向量基本定理得到两个方程，消去即得结论解析A、B、C共线，共线，根据向量共线的条件知存在实数使得，即a2b(1ab)，由于a，b不共线，根据平面向量基本定理得，消去得121.11(文)(2011·北京学普教育中心)设向量a(a1，a2)，b(b1，b2)，定义一种向量运算ab(a1，a2)(b1，b2)(a1b1，a2b2)已知m，n，点P(x，y)在ysinx的图象上运动，点Q在yf(x)的图象上运动，且满足mn(其中O为坐标原点)

8、，则yf(x)的最大值及最小正周期分别为()A2； B2；4C.；4 D.；答案C解析设点Q(x，y)，则(x，y)，由新定义的运算法则可得：(x，y)(x，y)，得，代入ysinx，得ysin，则f(x)sin，故选C.(理)(2011·华安、连城、永安、漳平一中、龙海二中、泉港一中六校联考)如图，在矩形OACB中，E和F分别是边AC和BC的点，满足AC3AE，BC3BF，若其中，R，则是()A. B. C. D1答案B解析，相加得()，.12(2011·辽宁沈阳二中阶段检测)已知非零向量与满足·0，且·，则ABC的形状为()A等腰非等边三角形B等边三

9、角形C三边均不相等的三角形D直角三角形答案A分析根据平面向量的概念与运算知，表示方向上的单位向量，因此向量平行于角A的内角平分线由·0可知，角A的内角平分线垂直于对边，再根据数量积的定义及·可求角A.解析根据·0知，角A的内角平分线与BC边垂直，说明三角形是等腰三角形，根据数量积的定义及·可知A120°.故三角形是等腰非等边的三角形点评解答本题的关键是注意到向量，分别是向量，方向上的单位向量，两个单位向量的和一定与角A的内角平分线共线第卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13(文)

10、(2011·湖南长沙一中月考)设平面向量a(1,2)，b(2，y)，若ab，则|3ab|等于_答案解析3ab(3,6)(2，y)(1,6y)，ab，y4，3ab(1,2)，|3ab|.(理)(2011·北京朝阳区期末)平面向量a与b的夹角为60°，a(2,0)，|b|1，则|a2b|_.答案2解析a·b|a|·|b|cos60°2×1×1，|a2b|2|a|24|b|24a·b444×112，|a2b|2.14(2011·华安、连城、永安、漳平、龙海、泉港六校联考)已知a(2，1)，b

11、(3，)，若a，b为钝角，则的取值范围是_答案<且3解析a，b为钝角，a·b3(2)46<0，<，当a与b方向相反时，3，<且3.15(2011·黄冈市期末)已知二次函数yf(x)的图像为开口向下的抛物线，且对任意xR都有f(1x)f(1x)若向量a(，1)，b(，2)，则满足不等式f(a·b)>f(1)的m的取值范围为_答案0m<1解析由条件知f(x)的图象关于直线x1对称，f(1)f(3)，m0，a·bm22，由f(a·b)>f(1)得f(m2)>f(3)，f(x)在1，)上为减函数，m2&l

12、t;3，m<1，m0，0m<1.16(2011·河北冀州期末)已知向量a，b(cos，1)，c(2，m)满足ab且(ab)c，则实数m_.答案±解析ab，sincos0，sin2，又ab，(ab)c，m(sincos)0，m，(sincos)21sin2，sincos±，m±.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分12分)(2011·甘肃天水期末)已知向量a(cosx，sinx)，b(cosx，cosx)，函数f(x)a·b，x0，(1)求函数f(x)的最大值；(2

13、)当函数f(x)取得最大值时，求向量a与b夹角的大小解析(1)f(x)a·bcos2xsinxcosxsin2xcos2xsin.x0，当x时，f(x)max1.(2)由(1)知x，a，b，设向量a与b夹角为，则cos，.因此，两向量a与b的夹角为.18(本小题满分12分)(2011·呼和浩特模拟)已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，)(1)求双曲线方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证·0.解析(1)解：e，可设双曲线方程为x2y2，过(4，)点，1610，即6，双曲线方程为x2y26.(2)证明：F1(2，0)，F2(

14、2，0)，(32，m)，(32，m)，·3m2，又M点在双曲线上，9m26，即m230，·0，即.19(本小题满分12分)(2011·宁夏银川一中月考，辽宁沈阳二中检测)ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，向量m(2sinB,2cos2B)，n(2sin2()，1)，mn.(1)求角B的大小；(2)若a，b1，求c的值分析根据向量关系式得到角B的三角函数的方程，解这个方程即可求出角B，根据余弦定理列出关于c的方程，解这个方程即可解析(1)mn，m·n0，4sinB·sin2cos2B20，2sinB1coscos2B20，2sinB2

15、sin2B12sin2B20，sinB，0<B<，B或.(2)a，b1，a>b，此时B，方法一：由余弦定理得：b2a2c22accosB，c23c20，c2或c1.方法二：由正弦定理得，sinA，0<A<，A或，若A，因为B，所以角C，边c2；若A，则角C，边cb，c1.综上c2或c1.20(本小题满分12分)(2011·山东济南一中期末)已知向量a，b，且x，(1)求a·b及|ab|；(2)求函数f(x)a·b|ab|的最大值，并求使函数取得最大值时x的值解析(1)a·bcoscossinsincos2x，|ab|2|co

16、sx|，x，cosx<0，|ab|2cosx.(2)f(x)a·b|ab|cos2x2cosx2cos2x2cosx122x，1cosx0，当cosx1，即x时fmax(x)3.21(本小题满分12分)(2011·河南豫南九校联考)已知(2asin2x，a)，(1,2sinxcosx1)，O为坐标原点，a0，设f(x)·b，b>a.(1)若a>0，写出函数yf(x)的单调递增区间；(2)若函数yf(x)的定义域为，值域为2,5，求实数a与b的值解析(1)f(x)2asin2x2asinxcosxab2asinb，a>0，由2k2x2k得，kxk，kZ.函数yf(x)的单调递增区间是k，k(kZ)(2)x，时，2x，sin1，当a>0时，f(x)2ab，ab，得，当a<0时，f(x)ab，2ab，得综上知，或22(本小题满分12分)(2011·北京朝阳区模拟)已知点M(4,0)，N(1,0)，若动点P满足·6|.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)设过点N的直线l交轨迹C于A，B两点，若·，求直线l的斜率的取值范围