KP和广义HS耦合KdV方程的精确解

1、郑州大学硕士学位论文KP和广义H-S耦合KdV方程的精确解姓名：朱晓明申请学位级别：硕士专业：基础数学指导教师：李雪梅20070401摘要孤立子理论是应用数学和数学物理的一个重要组成部分，是非线性科学发展的一个重要方向现在已有许多成熟的求得非线性方程精确解的方法，达布变换和双线性就是两种十分有效获取孤子方程精确解的方法本文从以下两个方面进行对孤子方程精确解的探讨；一是依据达布变换的理论，构造×谱问题屯垂垂吼圣及其相应（）维方程；酊”鲫（矗。一；”）的达布变换，且进行了严格的证明并通过变换（，）（口（毛”，）得到方程的精确解然后以“，口作为种子解，利用此达布变换得到（）维孤子方程的多孤

2、子解并讨论了，时的简单情况，最后适当选择参数做出了单孤子的图像二是运用方法，给出广义耦合方程§（“。一）（）三：的双线性变换一（）。”孚，”，将孤子方程化为双线性形式（；珑一），（），（），并用摄动法求出了孤子方程的一孤子解，最后作出了单孤子解的图形（）关键词；方程；广义耦合方程；达布变换；方法；精确解傺烈锄，；§目言非线性演化方程的求解是在理论与实践中都很重要的研究课题精确解，特别是行波解可以很好的描述各种物理现象，如振动、传播波等但由于非线性方程的复杂性，至今仍有大量的方程无法求出精确解孤立子理论是非线性科学的一个重要方向，它反映了一类非常稳定的自然现象，如江河中某一类

3、水波，光纤中光信号的传播，等离子体中的磁流体流动波等在流体力学，等离子体物理，非线性光学，经典场论和量子场论等诸多学科中孤立子理论都起着重要的作用人们在对非线性科学的研究中提出了孤子的概念，一般说，任何空间中传播的扰动，都称为波在传播中不改变形状，大小和方向的波称为孤波。两个孤波经过相互作用仍不改变形状，大小和方向，称为孤立子（简称孤波）孤立波具有非常奇特的性质，它们在相互作用时保持稳定的波形，这种颇类似于粒子性质的波在自然界中具有一定的普遍性早在年，英国科学家就发现了孤子水波【，】直到年，荷兰著名数学家和他的学生研究了浅水波运动，得到了著名的方程，从而在理论上证实了孤立波的存在性【】许多科学

4、领域如流体力学、等离子体物理、非线性光学、聚态物理、超导物理、经典场论和量子场论等都包含着和孤立子理论密切相关的问题，利用孤立子理论已经成功的解释了物理上长期用经典理论未能得到解答的现象在应用上，如利用孤立波来改进信号传输系统，提高传输率等也取得了可喜的进展另一方面，随着孤立子物理问题的研究，孤立子的数学理论也应运而生，为非线性偏微分方程及非线性科学的研究注入了新的活力，形成了比较完善的理论体系目前，在孤立子理论中，已有一系列方法用来求解非线性偏微分方程的精确解，如反散射方法【，】、变换，】、达布变换方法（），双线性方法【，】、分析方法【，】、对称方法【，】以及代数几何方法【，】，非线性化方法

5、【，】、齐次平衡法【，】等这些方法涉及到经典分析和泛函分析、微分方程和动力系统，群、代数和无穷维代数、微分几何，拓扑学、复分析、椭圆函数、代数几何及计算数学等诸多数学分支它们的发现和使用，不但使过去难以求解的非线性偏微分方程得以成功的求解，而且不断的发现许多非线性方程的有重要意义的新解特别是近年来，随着计算机的发展和符号运算如的出现，使复杂冗长的代数运算可以在计算机上完成，为孤立子方程的求解提供了更有力的工具达布变换方法是求解非线性方程显式解的十分有效的方法之一通常从一个平凡解出发，首次达布变换和连续作达布变换可以分别得到方程的单孤子解和多孤子解，它最初来源于一个世纪以前达布所提供的处理二阶常

6、微分方程（方程）谱问题的一个方法【】经过一个世纪的发展，达布变换已经形成了较为完整的理论它的基本思路是；利用非线性方程的一个解及其对的解，借助于谱问题之间的规范变换，得到达布变换，然后通过代数运算及微分运算得出非线性方程的新解和对相应的解近年来，达布变换方法得到迅速的发展，以成功地应用于一系列求与特征植问题相联系的非线性孤子方程的精确解【，】发展趋势由一维到多维，由单一的孤子演化方程到耦合演化方程组达布变换的优点非常明显，只须作一次完全可积的线性方程组的求解，然后就可以用代数运算来得到非线性孤子方程的新解它的关键是寻找一种保持相应的对不变的规范变换在求解非线性演化方程的限孤子解的方法中，还有一

7、种重要而直接的方法，这就是由日本数学家提出的双线性方法【，方法相对于反散射方法而言被称为直接方法，这种方法的优点在于它是一种代数而不是解析的方法方法是年】为了求出方程的多孤子解而发展起来的，这种方法已从求方程、方程【】、方程【】、非线性薛定鄂方程【的孤立子解而发展成一种求解一大批非线性偏微分方程孤立子解的相当普遍的方法这种方法的关键是相关的变量变换，把非线性方程化成为双线性方程之后通过摄动方法找到非线性方程的精确解从而在孤子方程方面形成了独特的理论和方法体系其基本思路是；首先通过函数变换，诸如有理变换，对数变换，双对数变换等将方程进行双线性化，将其转化成所谓的“双线性形式”，而后借助于算子的特

8、殊性质，通过通常的微扰法将扰动展开式截断成有限项，从而达到求解这些双线性形式的目的，最后导出方程的孤子解本文将分别运用变换方法和双线性方法，研究两个新的非线性演化方程的精确解在文献【】中和导出了一个耦合（）方程譬这就是通常所指的耦合方程，该方程通常描述不同色散关系的两列长拨的相互作用许多与（）相关的研究已经广泛而深入，例如它的孤子解，对，变换，守恒律及其文献中，】的其他性质受文献】的启发，在第三部分中我们考察属于这梯队的广义方程【】隹蔓扣咄运用方法通过变换一（）一。手，将其双线性化，然后采取微扰法，借助一算子的性质，通过求解双线性形式的方程得到非线性方程的一孤子解§（）维孤子方程和（

9、）维方程的达布变换及其精确解达布变换我们考虑（）维孤子方程；毗霹（去。一；”期解，同时证明了若“（为，），（￥，）是耦合方程（）其中露，（以，）。（，）在】中已经用非线性化方法求出了这个方程的拟周（小（拟嘉意意美鬻；鼍篡嵩拙】）仁，（：）。等嘉裔蓄淼二裂端卜，一±（，。一；（，口。】的解，（，”，）（，）是方程（）的解在这一节我们将构造方程（）的变换壶睦挚；俨学。（芷）一”（岛）”圣西，圣（：）（）其中具有下列形式肚和相应的辅谱问题西吼毋（）（）这里；（霉甜一舻（务一）“。“（一器）（”）。：；（”）：“）一仁，订“（軎）一妒和一（务一；）“。一“一（；一静）（”）。一；（”）：耽引

10、，以）以）（）；地潍一“（牡一扣一（）仁，曙儿）一（”）一矗护（芷笋）舻铲（芝軎）扣势）（芷产）由“。”嘉“（孕一口）一刍（一。，“。一耵（口一器）一（删）（口罟）挚【。）。“挚】入（挚）凯（挚）（“。）（挚）一如（挚）一矗¨。（等一目）一刍（一。，。专（一静）口：（）（口等）曙）一（）南护（生軎丑）一丽萨（壁古）一扣势）（望兰軎）一击“。这里，是位势函数，是常谱参数首先引入谱问题的规范变换西圣（）其中由下式确定死（）毛（）噩（）进而对（）（）（）转化为圣。垂（）毛圣（）圣垂（）谱问题的规范变换称为达布变换，若它将相应的谱问题转化为相同形式的谱问题（），其中一一一钆妒，风以仇妒，设妒

11、（如）（妒（），（），），妒（）（妒（），锄（），是（）的两个基本解，通过（）知，存在常数满足（妒（）仇（）一（妒（）忱（），（）（妒（）（）竹（妒（）仍（），进一步，（）可以写成线性系统呀。：。，薹一啦坩一彬。一（）（）（仇仇）砖其中等密筹矧，一，（）当常数，（若）适当选择时，（）的系数非零，因此，如果我们选取趾一”，茬荤矩阵（）表明（）是的一次多项式且（）剩余的如，取，（一）可由线性系统（）唯一确定，而口在下文中给定（）阻（）（）一（）（）另一方面，由（）可知（）（），（）一（）所以玎（）卢（一），这表明（一）是的根（其中卢与无关）命题：设满足一阶微分方程以；。（）由式子足十矿（确定的矩阵

12、疗与矩阵具有相同形式，即驴可以表示为（）疗（莓露“一如（），（、哥”一；一将原来的位势函数“和”映射为新位势面和证明：设（）且已，（：笔：耄），可以得到方程，表示的伴随矩阵，容易验证，和亿是的（）次多项式由已知条件（）知和，是的（一）次多项式当知，¨，一）时，利用（）和（）乃。堡（一“）乃一曰（）利用上述关系通过直接计算，所有，）是厶（，）的根，进而（）可以改写成（死）（）（），（），（）有以下形式跗，（璀扩珊篡趔），其中（，）与无关，所以方程（）等价于疋厂（）（）比较等试（）中，和一的系数，可以得到硝：）一，碴，砖？一，（）（）艘一一。挚（）；（）。（）。一“将（）代入（）一（）有

13、（）（）露，。，奄一一面，硝：芷护，对比（，）和（），即得驴（）（）证毕注当时，假定一占，上述达布变换可以写为豇“一（。），（、口一，若妒（）和妒）也同时满足（），采用与命题类似的方法可以证明在变换（）和（）共同作用下，由（）式确定的蟊与有相同形式命题：设满足一阶微分方程（“一）磊南一；）（¨一，）一（；一丽叁骑）（”一学）一拟”华一“（抒一）。（§一务）（”）。；（“”）（口）一一（）由式子（）确定的矩阵玩与矩阵具有相同形式，在变换（）和（，）作用下，将原位势函数“和”映射为新位势面和证明，设一（）一且咿茗鲫（、州；）仁。，容易验证和是的（）次多项式由已知条件（）知和是入

14、的（）次多项式当如，一）时，利用（）和（）可以得到方程町掣挚轧（乌丑）一警一卜上、且一）（一器）（口）；（一）：勺一（）碍（）通过上述关系，直接计算可以知道沁是。（，）的根，进而（）可以写成（马）（玎）（），（）有以下形式（）叫乳篙搿黼弹趔。般撩趔其中哟（，）与无关所以方程（）等价于蜀（）（）比较（）中，和的系数，可以得到弹一，（，疆拶，拐）一学次幂口：一（）一一（知一）（一毋）（）。；（打付）：（）一（）一）一（）一一（）一摆蠢：一以？（）一一一（口罟）一也：一西一一一“一次幂罐一一：一一？）一一墨了一（一（击一）。（一赤）（口§（礼钟）劲，一一一（锄）一（；）一爷召坚！：半；爹一

15、一（）一一？）一一口一一（）一口一一（南一）（；一面，）（舢（）生学（）捌一一建；一趔一口（）一一口（）一（；）酬一醴字一一出一一建，一一丞一一一建一口？一（）一一印一（素一）毗（§一赤）（删；（跏）劲秭一（；）一坚学一一【上（寺一）“。（一击）（口；（竹）劲一生学另一方面，利用命题，比较方程（）中，一的系数，有一。一血一一。一一一一珊一声。一华一托国一一。）（）一一一面一一。一一一一（）（？一，￥一一（垫）一（！軎）一根据（）和命题中的（），并联立孤子方程（），通过复杂计算，可以得到馥字一一器一陋（蠡一）面。（一击）（。）。；（。）劲）丽一。，学。，攒豇（。§）。玩一争证

16、毕根据命题和命题，达布变换（）和（）将对（）和（）映为相同形式的对（）和（），并且两个对通过相容条件都可以得到相同形式的孤子方程（）我们也称（垂，）（壬，面）是孤子方程（）的达布变换综上所述，有下面定理成立定理：孤子方程（）的一个解（，）在达布变换（）和（）作用下，映射为另一个新解（面，），其中一，由已知条件（）和线性系统（）确定若也满足（）和（），对乒两端关于求导，得五亿西，我们有下列命题：晚（互）（）命题：设满足一阶微分方程一刍伊（至兰軎）南护（学）扣象）（学）南面。界。（、。）豇一葫，（口一争）。一一击（口一争）面一（豇。一）（口争）一（一）（丽一）强一引一（口等）一一佩也】【（口一）（

17、）扣一（）（一一）（）一耐护（争）硒护（华）扣参）（挚）嘉“。”嘉（孕一）一刍（口一争）一嘉（一和）“一（）扣等）由式子（）确定的矩阵蟊与矩阵具有相同形式，在（）和（）作用下，将原位势函数和映射为新位势豇和证明；设一（）一且（）：（）（，（）（）（）容易验证（）和（）是的（）次多项式由已知条件（）知（）和（）是的次多项式当（，）时，利用（）和（）可以得到方程即挚【噶产“学】；护（学）“（争）（上抛）（牛）一如（争）一（”）拶（学）一赤铲（挚）一（叶势）（争）田（一），删一（一“）一（）】通过上述关系，直接计算可以知道，是“（入）（，）的根，进而（）可以写成（正班）（）（）（）有以下形式（）一石

18、。口一葡，（争一口）一护蠡（口一争）地”刍（口一器）（）（口弩）】砌州篇嚣端攫其中喇（、，）与无关“船吣娩矗妒砷肌趱舻，毖、所以方程（）等价于正（）（）令略玎中的系数为喇巧（取或）叫）叫）叫一蕊护（争）驴铲（挚）扣势）（牛）击。口壶”（孕一）“一玉（一。一击（一）“。一（）（口鲁）§口一（一“。）口一（）叫萨（争）凯（挚）（“。）（孚）一（学）击伊（学）一秘铲（挚）一扣格酬血、一硒“。口一壶。（等一）一刍（一。：击（一）“（）（口鲁）比较（）中帕，的系数，可以得到箝一，如爹，泞矗挈，箬一西一。：且（）次幂）一曰（一（钉？）一一扣罟）召（）；日知一）：（一）肋一一矗：攫一爹一罂一一一（

19、”譬）一摆一趟挈一一“次幂：一，一佟一一（一一？一一；拿一（）一一一【（移一）（）】一（口）母一（）叫一一一，）一一一一一管一（一）一一（）一一魄（口蛩）一【（一（罟）】一（）攫）一以：一一箬一一（）一矗爹一一辽爹一（）一一一以一一矗：一一摆）一一矗爹一一以爹一（一口。）一一一（）一一次幂一一（一）一一。（）一）一一一一拿一日口，（一）一一一（一）一一叫一一哦一一（）一一，一哦）一哦一另一方面，利用严格证明的命题，比较方程（）中，一的系数，有一一一一口一（）矗拿一攫一一口一一摆口一一以箩一一爹一（）一口？一一，盘。（如）一一。一一一（）（知一一一一（曼吉盐）一（曼！軎）一根据（）和（），并联立

20、孤子方程（），通过复杂计算，可以得到箝擘学一爹一堙啻一矗）丽一。广￥面学留一毋一蘅矿（学）形俨（学）扣象）（学）矽。口矿面面。（等一。）豇一嘉（。一。，一一而（。一争）面砚”一（面。一。）（。弩）警。一日（一面。归一（）攫；护（里兰軎）面（学）（）（学）一蜘（学）对比（）和（），易得仍（）证毕命题（）一（）表明：达布变换（）（）将对（）（）（）映为对（）（）（）故利用相容条件得到相同形式的孤子方程（），（）换句话说，两个对可以推导出方程（）定理设，口，亩，则由达布变换（）和（）可以从维方程的一个解生成另一个解哥口一；一其中一，一可由线性系统（）唯一确定称变换（以，”）。（事，面面）为（）维方程

21、的一个达布变换（）精确解利用上面给定的达布变换我们可以得到孤子方程（）一系列的精确解以平凡解，的常数作为种子解，代入对（），（）和（）中，可以得到（）、（）和（）的基本解选取两个基本解为一（秘麓砌白）州轳（鼬筹江白），其中白勺！：兰！：堕二（，）】勺、（）根据等式（）有一（）。嘉誊觏嘉由线性系统（），利用克莱姆法则求解，得（）锷，半，一。全，一：节。（）五¨一，其中盯（镌；盯，一眈一争一一一；一一一：名兰一盯盯入口，一眈，一以，一口盯，一一一参一一争眈观口一一一一一一甜一一一盯一眈，一多一仃盯柏盯一观，一，一眈眈田田；哪一沁一盯一一；一一一始一、一从而利用达布变换（）得到方程（），（

22、）的非平凡解，进而在变换（，！，）（口（，”，）之；有：面“一如（），扣旧）酬】（口【】）我们考虑上述达布变换的结果在和时的简单情况；（）（）当时设，口，根据已知条件（）和线性系统（），可以得到（）函了雨。一：妒雨如扣弘如弘（）一）【躺一等篙蒜，）等篙藩】）卜等篙等】（）（）（）（）进而，利用达布变换（），孤子方程（）（）（）的一个解为面鼠（玩）一硼一（）。”嵩，一半一仍（）（）（）】），训等篙蒜口【】（云【）当参数适当选择时，此解是单孤子解（）当，）“，利用已知条件（）和线性系统（），有譬，（）：§以叽以一艇一鸠）一碡叽观田；研】通过直接计算，我们可以得到（），（）（）（）扣）科】

23、护一；（哥【）时我们选择适当参数可以得到下列得孤子图嘣加【】，；撕；（一。（【。：一地。“。通过变换一（，）一”手，”，（）。陋（，）。；。一）。（）。】（笋（，）耐；陋（，）一一（，）：。】碧【学拟学一（学）一舻（学）】笋（。一）产一）一一（，）（；）等叫等一等等阳等等瞄烈咄彤；（，），扛，）（击一寿）（岳一旁）”，），（，）墨，（）（）（）孤子解将，以小参数展开一肌搿脚幽舻“¨一（）将（）代入（）中的第一式合并的同次幂，我们得到一系列的偏微分方程：池岛一；）（，（），（）嘞（）班）（）：（，一；磋）（）（互屹一见现），（）产）一（）（）（）（）（）：（嘲一；磋）（，（），（）互一

24、彬（）（）舻）（）（）水）（）：（啪一：磋）（，（），（）互一）（垆）垆）（）（）舻）（）舻）（）呐（）将（）代入（）中的第三式得：（：）（，（），（）一，（）（）（）（）（）（）合并的同次幂，我们得到一系列的偏微分方程；：（侥磋）（）：（侥磋）（）一（谚）；（，（）：（巩磋）（）一（珑）（，（，（，（）：（侥）（）一（磋）（，（，（，（）（）（）（）（）将（）代入（）中的第二式得（磋）（，（），（），（）（）（）（）（）（）合并的同次幂，我们得到一系列的偏微分方程：慨磋）（）：（瑰霹）（）一（珑）（，（）：（磋）（）一（珑）（，（，（）单孤子解由（）（）可令（），（）一，其中为任意的常数毒，￥：南将（）“，（）代入（）可推得；产）彤虬沙南将，（甜，（）代入（），则（）回到齐次方程：（磋）（）从而（）同理将，（，（）代入（）可推出（）将（）（），（）代入（）式（晚一§碟）（，（，（）（曩上，。一）（），（）一（）（）（）（¨推得，“），如此继续可知（）中的级数可以截断为有限形式（）（）（）（），一故广义耦合