巧用平面法向量求空间角和空间距离

1、巧用平面法向量求空间角和空间距离平面法向量的定义为：如果,那么向量叫做平面的法向量.除此之外再也没有涉及其他任何知识点，笔者发现巧用平面法向量处理空间角和空间距离等问题,可以化繁为简,迎刃而解.现举例说明:一、 巧用平面法向量求斜线与平面所成的角方法指导：如图1,PA为平面的斜线,PO为平面的垂线，根据定义，斜线PA与平面所成的角,可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角的余角或其补角的余角.即如果与的夹角为锐角,则斜线PA与平面所成的角为；如果与的夹角为钝角，则斜线PA与平面所成的角为. 故斜线与平面所成角的的正弦值等于斜线的方向向量与平面的法向量夹角余弦的绝对值，即，.金题示例1：如图

2、，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是等腰直角三角形，ACB90°，侧棱AA12，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是ABD的重心G求A1B与平面ABD所成角的大小.命题意图：主要考查线面关系和直棱柱等基础知识，同时考查空间想像能力和推理运算能力知识依托：空间向量的坐标运算、平面法向量的应用及数量积公式解法过程：如图所示建立坐标系，坐标原点为O，设CA2a，则 A(2a，0，0)，B(0，2a，0)，D(0，0，1)，A1(2a，0，2)，E(a，a，1)， ， ，解得 a1 ，设平面ABD的法向量，则于是取. ,因为A1B与平面ABD所成角的正弦值，所以A

3、1B与平面ABD所成角是二、 巧用平面法向量求二面角方法指导：因为两个半平面的法向量、的夹角等于二面角的平面角或者其补角.注意结合图形观察二面角的平面角的大小从而决定它与两个法向量夹角的关系：如果是锐角，则，；如果是钝角，则，.金题示例2：如图，在五面体ABCDEF中，FA 平面ABCD, AD/BC/FE，ABAD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=AD .求二面角ACDE和MACB的大小.命题意图：考二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想像能力、运算能力和推理论证能力.知识依托：空间向量的坐标运算、平面法向量的应用解法过程：如图所示，以点为坐标原点，分别以

4、AB、AD、AF为x、y、z轴建立空间直角坐标系Axyz.设依题意得 可取平面ABCD的一个法向量,设平面CDE的法向量，则于是令，可得，所以，结合图形可知二面角ACDE为锐二面角，其大小与两个法向量的夹角相等为.设平面CMA的法向量，则于是令，可得，所以，结合图形可知二面角MACB为钝二面角，其大小与两个法向量的夹角互补，所以二面角MACB的大小为，即.三、巧用平面法向量求点到平面的距离PAMNO方法指导：若点P为平面外一点，点A为平面内任一点，平面的法向量为，设点P在平面内的射影为点O,显然，,，而，所以点P到平面的距离为，即点P到平面的距离为经过点P的平面的任意一个向量在平面的法向量上的投影的绝对值.金题示例3：在金题示例1中求点A1到平面AED的距离解法过程：由例1有A(2，0，0)，A1(2，0，2)，E(1，1，1)，D(0，0，1),设平面AED的法向量，则于是令，可得，又，所以点A1到平面AED的距离.注: 求线面距,面面距,可先转化为点面距,再用此法求解. 利用向量方法求解空间距离问题，可以回避此类问题中大量的作图、证明等步骤，而转化为向量间的计算问题以多面体为载体，在