)已知三维线性空间的一组基底为

1、一、填空题1.(1987,)已知三维线性空间的一组基底为,则向量在上述基底下的坐标是 .【考点】向量在基下的坐标.解 方法一:设,得方程组解得.方法二:,解矩阵方程得.【注意】行(列)向量组由行(列)向量组线性表示的矩阵表达式的形式是不同的.2.(1988,)设矩阵,其中均为4维列向量,且已知行列式,则行列式 .【考点】分块矩阵的运算和行列式的性质.解 .【注意】.3.(1988,) .【考点】行列式的计算.方法一: .方法二: .【注】副对角行列式.4.(1988,) .【考点】求逆矩阵.解 方法一:,所以.方法二:利用分块矩阵求逆公式得到.【注】.方法三:利用初等矩阵的性质得到.所讨论的矩

2、阵是将4阶单位矩阵的第一行与第四行交换得到的第一类初等矩阵.【注】.5.(1989,)设矩阵,则逆矩阵 .【考点】分块矩阵求逆.解 .【注】(1) ;(2) .6.(1989)齐次线性方程组只有零解,则应满足的条件是 .【考点】齐次线性方程组解的理论.解 个方程个未知数的齐次线性方程组只有零解,即.7.(1989)行列式 .【考点】行列式的计算.解 8.(1990,)已知向量组,则该向量组的秩是 .【考点】向量组秩的计算.解 9.(1990,)若线性方程组有解,则常数应满足条件 .【考点】非齐次线性方程组解的理论.解 非齐次线性方程组有解.,则.10.(1991,)设4阶方阵,则的逆阵 .【考

3、点】分块矩阵求逆.解 .11.(1991)设和为可逆矩阵,为分块矩阵,则 .【考点】抽象分块矩阵求逆.解 设,由,得,所以.12.(1991)阶行列式 .【考点】行列式的计算.解 把行列式按第1列展开,得.13.(1992,)设,其中,则矩阵的秩 .【考点】矩阵秩的计算.解.14.(1992)设为阶方阵,为阶方阵,且,则 .【考点】行列式的性质.解 .15.(1992)矩阵的非零特征值是 .【考点】特征值的计算.解 方法一:,则为所求.方法二: 为实对称矩阵且,则只有一个非零特征值;又的主对角线元素之和为4,则所求非零特征值为4.【注】(1)若为实对称矩阵,则的非零特征值的个数.事实上,由为实

4、对称矩阵,则存在可逆矩阵,使得,其中为的特征值,所以中非零的个数.(2) 的特征值之和等于的对角线元素之和.16.(1993,)设阶矩阵的各行元素之和均为零,且的秩为,则线性方程组的通解为 .【考点】齐次线性方程组解的结构.解 的秩为,则线性方程组的基础解系所含解向量的个数为.由的各行元素之和均为零,知向量是线性方程组的一个非零解,故线性方程组的通解为为任意常数.【注】对于抽象的齐次(非齐次)线性方程组,求其通解时都是根据其解的结构解决.17.(1993,)设四阶方阵的秩为2,则其伴随矩阵的秩为 .【考点】的秩与其伴随矩阵的秩的关系.解 .【注】18.(1994,)已知,设,其中是的转置,则

5、.【考点】矩阵的基本运算.解 .【注意】为常数,而为方阵.19.(1994,)设,且,则 .【考点】分块矩阵求逆.解 .20.(1995,)设三阶方阵满足关系式,且,则 .【考点】解矩阵方程.解 由得.【注】,其中全不为零.21.(1995,)设,为的伴随矩阵,则 .【考点】逆矩阵的性质.解 由.【注意】当可逆时,.22.(1996,)设是矩阵,且的秩,而,则 .【考点】矩阵秩的性质.解 由知可逆,则.【注】当可逆时,即在矩阵的左边或右边乘以可逆矩阵不改变矩阵的秩.23.(1996)设,其中,则线性方程组的解是 .【考点】求解非齐次线性方程组.解 由范德蒙行列式,得,方程组有惟一解.显然为方程

6、组的解.24.(1996)五阶行列式 .【考点】行列式的计算.解 ,则 .【注意】本题的递推公式为,不是.25.(1997)设,为三阶非零矩阵,且,则 .【考点】矩阵秩的性质(或齐次线性方程组解的理论).解 方法一:由,得;又,得,则.则.或由.方法二:由且,得有非零解,所以.以下同方法一.26.(1997)已知向量组的秩为2,则 .【考点】含参数的矩阵的秩的讨论.解 ,则.27.(1997)若二次型是正定的,则的取值范围是 .【考点】正定二次型(霍尔维茨定理).解 二次型的矩阵为正定.【注意】与具体的二次型的正定性有关的问题,一般都是用霍尔维茨定理直接解决.28.(1997)设阶矩阵,则 .

7、参考1988,.答案:.29.(1998)设为阶矩阵,为的伴随矩阵,为阶单位矩阵.若有特征值,则必有特征值 .【考点】特征值的性质.答案:.【注】(1)若为可逆矩阵的特征值,则为的特征值,且有相同的特征向量.(2)若为矩阵的特征值,则为的特征值,且有相同的特征向量.30.(1998,)设矩阵满足,其中为单位矩阵,为的伴随矩阵,则 .【考点】解矩阵方程.解 由.【注意】如果矩阵方程中含有,利用 及 消去矩阵方程中的,以简化计算量.31.(1998)设均为阶矩阵,则 .【考点】矩阵运算的性质.解 .【注】32.(1999)设阶矩阵的元素全为1,则的个特征值是 .参考1992.答案: 33.(199

8、9,)设,而为正整数,则 .【考点】矩阵幂的计算.解 34.(1999)已知,其中,则 .【考点】解矩阵方程.解 由.35.(2000)已知方程组无解,则 .【考点】非齐次线性方程组解的理论.解 方法一(一般方法):非齐次线性方程组无解.,所以当时,方程组无解.方法二(特殊方法):个方程个未知量的非齐次线性方程组无解或无穷多解.或.当时,方程组无解;当时, 方程组有无穷多解.36.(2000)设为4阶单位矩阵,且,则 .【考点】矩阵运算及其性质.解 37.(2000)若四阶矩阵与相似,的特征值为,则行列式 .【考点】相似矩阵与特征值的性质.解 方法一:与相似,则与有相同的特征值,即的特征值为,

9、的特征值为,的特征值为,所以.方法二:与相似,则与有相同的特征值,即的特征值为,从而可对角化,即存在可逆矩阵,使得,则.38.(2000)设,矩阵为正整数,则 .【考点】矩阵幂的计算.解 方法一:,则.方法二:的特征值为,则的特征值为,所以.【注】若,则的特征值为.39.(2000)已知四阶矩阵相似于,的特征值为,为四阶单位矩阵,则 .参考37.(2000).答案.40.(2001)设矩阵满足,其中为单位矩阵,则 .【考点】抽象矩阵的逆矩阵.解 由【注意】设,其中为的多项式,求的方法是:将化成的形式,从而41.(2001)设方程组有无穷多个解,则 .参考35.(2000).答案:42.(200

10、1,)设矩阵,且秩,则 .【考点】含有参数的矩阵的秩的讨论.解 ,显然时.或或.当时;当时.43.(2001)设行列式,则第四行各元素余子式之和的值为 .【考点】行列式按行(或列)展开定理.解 .【注意】已知行列式,求其余子式(或代数余子式)的线性组合的值时,一般用上面所介绍的方法.44.(2002)已知实二次型经正交变换可化成标准形,则 .【考点】二次型的标准形理论.解 方法一: 二次型的矩阵.由题意知.,显然,当时,.或或.当时;当时.【注意】若二次型的标准形为,则中不为零的个数.方法二:二次型的矩阵.由题意知,的特征值为,则.【注意】二次型经正交变换化成标准形,则为二次型矩阵的特征值;若

11、二次型经可逆变换化成标准形,则不一定是二次型矩阵的特征值.即相似矩阵有相同的特征值,但合同矩阵不一定有相同的特征值.45.(2002)矩阵的非零特征值是 .【考点】特征值的计算.解 .46.(2002)设三阶矩阵,三维列向量.已知与线性相关,则 .【考点】矩阵的乘法和向量组线性相关的概念.解 .【注意】两个向量线性相关的它们对应的分量成比例.47.(2002)设矩阵,则 .【考点】矩阵的运算.解 .48.(2002)设向量组线性无关,则必满足关系式 .【考点】向量组线性无关的判别定理.解 .【注】维向量组线性相关.49.(2003)从的基到基的过渡矩阵为 .【考点】过渡矩阵的概念.解 设为所求

12、的过渡矩阵,则.【注】设由基到基的过渡矩阵,则,即将向量组由线性表示的系数矩阵.50.(2003)设为3维列向量,是的转置,若,则 .【考点】矩阵的乘法.解 设.51.(2003)设三阶方阵满足,其中为三阶单位矩阵,若,则 .【考点】矩阵的运算.解 .52.(2003,)设维向量;为阶单位矩阵,矩阵,其中的逆矩阵为,则 .【考点】可逆矩阵的概念及矩阵运算的性质.解 .53.(2003)设均为三阶方阵,为三阶单位矩阵,已知,则 .【考点】矩阵的运算.解 .54.(2004,)设矩阵,矩阵满足,其中为的伴随矩阵,是单位矩阵,则 .【考点】矩阵的运算.解 55.(2004)二次型的秩为 .【考点】二次型秩的概念.解 方法一:二次