导数的单调性讲义

1、精选优质文档-倾情为你奉上函数的单调性与导数讲义1函数的单调性与其导函数的正负间的关系设函数yf(x)在区间(a，b)内可导，若f(x)>0则f(x)在（a,b）内单调递增；若f(x)<0则f(x)在（a,b）内单调递减；若f(x)0恒成立，则f(x)为常数函数。2一般地，如果一个函数在某一范围内的导数的绝对值较大，说明函数在这个范围内 ，这时，函数的图象就比较“ ”；反之，函数的图象就比较“ ”3利用导数求函数单调区间的基本步骤(1)确定函数f(x)的定义域； (2)求导函数f(x)；(3)由f(x)>0(或f(x)<0)，解出相应的x的取值范围当f(x)>0时

2、，f(x)在相应的区间上是增函数；当f(x)<0时，f(x)在相应区间上是减函数(4)结合定义域写出单调区间(2)在某个区间内f(x)>0(f(x)<0)是函数f(x)在此区间内为增(减)函数的充分条件，而不是必要条件如果出现个别点使f(x)0，不会影响函数f(x)在包含该点的某个区间内的单调性例如函数f(x)x3在定义域(，)上是增函数，但由f(x)3x2知，f(0)0，即并不是在定义域内的任意一点处都满足f(x)>0.可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是：对任意的x(a，b)，都有f(x)0(f(x)0)，且f(x)在(a，b)的任何子区间内都不

3、恒等于零利用导数求函数的单调区间需注意的问题(1)讨论函数的单调区间时，先要确定函数的定义域； (2)如果一个函数的单调区间不止一个，这些单调区间中间一般不能用“”连接【例1】 求下列函数的单调区间 (1)f(x)x3x；f(x)x2ln x；思路探索 先确定函数的定义域，再对函数求导，然后求解不等式f(x)>0与f(x)<0，并与定义域求交集从而得相应的单调区间 则x(0，)，令y<0，即ex1<0，则x(，0)，yexx1的单调增区间(0，)，单调减区间为(，0)利用导数判断函数的单调性【例2】 证明：函数f(x)在区间(0，e)上是增函数f(x)，又例3已知f(x

4、)是f(x)的导函数，f(x)的图象如图所示，则f(x)的图象只可能是()解析从f(x)的图象可以看出，在区间内，导数递增；在区间内，导数递减.即函数f(x)的图象在内越来越陡峭，在内越来越平缓.题型三已知函数单调性求参数的取值范围【例4】 已知函数f(x)x2(x0，常数aR)若函数f(x)在x2，)上是单调递增的，求a的取值范围根，024×1×3a>0，a>0.a的取值范围为(，0)题型四用单调性与导数关系证不等式【例5】 (12分)当x0时，证明不等式ln xxx2.则f(x)y<0，即y在(，0)内是减函数函数的单调性与导数讲义变式【变式1】 求函

5、数f(x)3x22ln x的单调区间解函数的定义域为(0，)，f (2)f(x)2x(ex1)x2；f(x)；f(x)sin x(1cos x)(0x<2). 【变式2】 试证明：函数f(x)在区间上单调递减证明f(x)，又x，则cos x<0，xcos xsin x<0，f(x)<0，f(x)在上是减函数变式3 f(x)是函数yf(x)的导函数，若yf(x)的图象如图所示，则函数yf(x)的图象可能是() 【变式4】 (1)已知函数f(x)x3bx2cxd的单调减区间为1，2，求b，c的值(2)设f(x)ax3x恰好有三个单调区间，求实数a的取值范围解(1)函数f(x)的导函数f(x)3x22bxc，由题设知1<x<2是不等式3x22bxc<0的解集【变式5】 当0x时，求证：xsin xx3.证明设g(x)xsin xx3，x，g(x)1cos xx22.0，xin xx3.【6】 已知a>0，且a1，证明函数yaxxln a在(，0)内是减函数x，0sin xx，解析由导函数的图象可知，当x<0时，f(x)>0，即函数f(x