复变函数与积分变换1

1、习题一解答A 类1求下列复数的实部与虚部、共轭复数、模与辐角。（1）； （2）； （3）； （4）解 （1）所以，,， （2）所以，.（3）所以， ，.（4）所以， =2如果等式成立，试求实数x, y为何值。解 由于比较等式两端的实、虚部，得或解得。3求复数（复数）的实部、虚部和模。所以.4求的模。解 5若，试证：。解：然而即6将下列复数化成三角表示式和指数表示式。（1）i； （2）-1； （3）1+i； （4）； （5）； （6）解：（1）；（2）（3）；（4）；（5）=（6）7当时，求的最大值，其中n为正整数，a为复数。解：由于，且当时，有故为所求。8一个复数乘以-i，它的模与辐角有何改变

2、？解：设复数，则，可知复数的模不变，辐角减少。9如果多项式的系数均为实数，证明：。证 事实上10试求下列各式的x与y(x, y都是实数)。（1）(1+2i)x+(3-5i)y=1-3i;（2）;（3）。解 （1）由(1+2i)x+(3-5i)y=1-3i，可得因此（2）由可得因此（3）由可得因此；其中若b>0，取同号，若b<0，取异号。11已知两点与（或已知三点）问下列各点位于何处？（1）（2）（其中为实数）；（3）。解 令，则（1），知点z位于与连线的中点。（2），知点位于与连线上定比处。（3），由几何知识知点z位于的重心处。12求下列各式的值（1）； （2）； （3）； （4）

3、解 （1）（2）。（3）。可知的6个值分别是， ，。（4）。可知的3个值分别是。13指出下列各题中点z的存在范围，并作图。（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）（7）；（8）；（9）；（10）解：（1）以点为心，半径为6的圆周（见下图（a）；（2）以点为心，半径为1的圆周及外部（见下图（b）；（3）由于知点z的范围是双曲线及内部（见下图（c）；yx-2iiO（4），故知点z的范围是直线y=3（见下图（d）；iOyxy3ixO(d)(b)(a)(c)yxO-11（5）知点z的范围是实轴（见下图（e）；（6），即点z的范围是以（-3,0）和（-1,0）为焦点，长半轴为2，短半轴为的一椭圆（

4、见下图（f）；（7），即点z的范围是以原点为心，为半径的圆的外部（见下图（g）；（8）即点z的范围是直线以及为边界的左半平面（见下图（h）；（9）两条以原点为出发点的射线为边界所夹区域，不含边界（见下图（i）；（10）是以i为起点的射线（见下图（j）；(e)yz-iiy5/2xxyx-2x(g)(j)y=x+1iyOy1/3O(f)xy/3-/3OxO(i)(h)14描出下列不等式所确定的区域，并指是有界的还是无界的，闭的还是开的，单连的还是多连的。（1）； （2）； （3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）；（9）； （10）。解 （1）xyO不包含实轴的上半平面，是无界的、开的

5、单连通区域。（2）xy5O1圆的外部（不包括圆周），是无界的、开的多连通区域。（3）yOAxA由直线x = 0与x = 1所围成的带形区域，不包括两直线在内，是无界的、开的单连通区域。（4）yi2i3iOx以3i为中心，1与2分别为内、外半径的圆环域，不包括圆周，是有界的、开的多连通区域。yxDO-1（5）直线x = -1右边的平面区域，不包括直线在内，是无界的、开的单连通的区域。（6）xyargz=1由射线及构成的角形域，不包括两射线在内，即为一半平面，是无界的、开的单连通区域。（7）OxD8/15-17/15y中心在点，半径为的圆周的外部区域（不包括圆周本身在内），是无界的、开的多连通区域

6、。x3/21/2yD（8）是以点为中心，与分别为内、外半径的圆环所围的区域，包括边界在内，是有界的、闭的多连通区域。（9）x1/2-iiy2=1-2xDy是以抛物线为边界的左方区域（不含边界），是无界的、开的单连通区域。xyiD-6（10）是圆及其内部区域，是有界的、闭的单连通区域。15证明：z平面上的直线方程可以写成（a是非零复常数，C是实常数）证 设直角坐标系的平面方程为将代入，得令，则，上式即为。16求下列方程（t是实参数）给出的曲线。（1）； （2）；（3）； （4），解（1）。即直线。（2），即为椭圆；（3），即为双曲线；（4），即为双曲线中位于第一象限中的一支。17试求（1）； （

7、2）。解 （1）（2）由于，从而。18试证不存在。证 设，则，于是显然，k取不同值时，值也不同，故极限不存在。19试证在负实轴上（包括原点）不连续，除此而外在z平面上处处连续。证 设，因为f(0)无定义，所以f(z)在原点z=0处不连续。当z0为负实轴上的点时，即，有所以不存在，即在负实轴上不连续。而argz在z平面上的其它点处的连续性显然。20设函数f(z)在z0处连续，且，证明存在z0的邻域使。证 因为，且。可取，则，当时，有从而，即即点时，则。21如果f(z)在点z0处连续，证明也在点z0处连续。证 设，由f(z)在点处连续，知在点处连续，从而在点处连续。于是函数在点处连续。又，根据幂函

8、数及复合函数的连续性，知在点z0处是连续的。B类1试证：复数z1，z2，z3，z4在同一圆周上或同一直线上的条件是xyz4z3z2z1Oyxz2z1-z2z3-z2z3-z4z1-z4z1Oz4z3证明 设z1，z2，z3，z4四点共圆或共线，由上图可知若记则，于是即=实常数，从而。2如果复数z1，z2，z3满足等式证明，并说明这些等式的几何意义。 由等式得即。又因为又可得，所以知是正三角形，从而。3设z1，z2，z3三点适合条件：,。证明z1，z2，z3是内接于单位圆的一个正三角形的顶点。证 由于，知的三个顶点均在单位圆上。因为所以，又故，同理，知是内接于单位圆的一个正三角形。4设，试证。证

9、 由于及 有5如果，试证明（1）； （2）解 （1）（2）6（1）求方程的所有根（2）求微分方程的一般解。解 （1） k=0,1,2。即原方程有如下三个解： 。（2）原方程的特征方程有根，故其一般形式为7函数将z平面上的下列曲线变成平面上的什么曲线？（1）； （2）；（3）； （4）解 ，可得（1），是平面上一圆周；（2），是平面上一直线；（3）由y = 1，知，从而此为是平面上一圆周；（4），于是，是平面上一平行与v轴的直线。8设有函数，试问它把z平面上的下列曲线分别变成平面上的何种曲线？（1）以原点为心，2为半径，在第一象限里的圆弧。（2）倾角的直线（可以看成两条射线及）。（3）双曲线。解 （1）设，则，从而，所以，圆弧变为平面上的一条圆弧：，。（2）射线变为射线。射线变为射线，可知这两条射线是重合的，所以映射将直线变为射线。（3）=，从而，是一条平行于虚轴的直线。9已知映射，求（1）点，在平面上的像。（2）区域在平面上的像。解 设，则。于是（1）经映射后在平面上的像分别是，（2）因为以原点为顶点