第八章点的合成运动

1、第八章点的合成运动§8-1 点的绝对运动 相对运动和牵连运动将一种复杂的运动看成由两种简单运动的组合图8-1例：由南岸向北岸划船，如图8l。由于水流的影响，小船偏向下游。如相对坐标系oxy（顺水流），小船朝北方向行驶则，相对于地面(坐标系0xy)，则朝北偏东方向航行。即：小船相对于地面的运动，可以由小船相对于水流的运动和随同水流的运动组合而成。可以归结为一个动点对于两个不同的坐标系运动的问题。动点：所要研究的点（即研究对象），依问题选取； 动系：和某一运动刚体固连的坐标系；定系：一般和地球（或机架）固连的坐标系（也称静系）； 牵连点： 某瞬时在动坐标系上与动点相重合的点，称为该瞬时动

2、点的牵连点。注意：(1)牵连点和动点是不同刚体上的两个点；(2)牵连点在不断变化着。（因为动点在运动，不同瞬时有不同的牵连点例1 汽车内行走的人。汽车以速度V向前运动，人以速度U相对汽车向前运动，研究人的运动。从车厢观察，人的速度为U，从地面观察，人的速度为VU （图8-2（a）。图8-2（a）图8-2（b）分析这一问题，需注意：一点（动点），二系（动、静系），三运动(绝对、相对、牵连)（牵连点；座位）（图8-2（b）具体表示三种运动的量: 绝对轨迹、绝对位移、绝对速度、绝对加速度相对轨迹、相对位移、相对速度、相对加速度牵连轨迹、牵连位移、牵连速度、牵连加速度三种运动的“关系”： 绝对运动 牵

3、连运动 相对运动 运动合成与分解§8-2点的速度合成定理图8-3设动点：M，静坐标系oxy（如图83）某瞬时，动点M与曲线c上的l点重合，一段时间，曲线c随同动坐标系运动到M相对运动：在动坐标系中沿曲线c运动，牵连运动：曲线c随动坐标系在静系中运动，绝对位移：MM牵连位移：MM1，相对位移：M1M由矢量三角形MM1M可见： MM=MM1+M1M将上式各项同除以t，并取极限，得即： （1）速度合成定理。该式表明：动点的绝对速度等于同一瞬时它的牵连速度与相对速度的矢量和。公式中包含有绝对速度va、牵连速度ve、和相对速度vr的大小和方向共六个未知量，如果知道其中任意四个未知量则另两个量可

4、求。注意：速度合成定理适用于任何形式的牵连运动，应用时一定要先做速度平行四边形，并注意三个速度之间的关系！va一定是平行四边形对角线！复杂运动=简单运动+简单运动绝对运动=牵连运动+相对运动图84例1 图84所示机构中，曲柄0A长12cm，当0A绕轴O以匀角速度7rads转动时，滑套A带动杆OlB“绕轴O1转动，已知00l20cm，求：O1OA900时，杆01B的角速度。分析：绝对运动：滑套A绕轴0的运动，相对运动：在动坐标系中滑套A相对于曲柄的运动，牵连运动：杆OlB绕轴Ol的转动。解：动点：A（滑套上） ，动系：在曲柄oA上，静系：在机构的基座上。 根据速度合成定理可知：va=ve+vr大

5、小？方向垂直于0A垂直于杆OlB沿O1B作如图8-4所示矢量平行四边形，可得牵连速度： 再取O1B杆为研究对象，定袖转动的O1B杆与点A相重合的点的速度求出后，即可求出O1B杆角速度为： 图85例2凸轮机构如图85所示，凸轮的半径为r，偏心距OCe。凸轮以角速度绕固定轴O转动，顶杆沿铅直滑槽运动，O轴位于AB的延长线上。求：OCOA时，顶杆AB的速度。分析：顶扦AB作平动，杆上A点的速度就是顶杆AB作平动的速度。绝对运动：动点A沿滑槽的直线运动，相对运动：沿凸轮的轮廓曲线的圆周运动，牵连运动：凸轮绕固定轴o的定轴转动。解：动点：A（顶杆上），静系：在机构的基础上动系：在凸轮上，（相对轨迹为凸轮

6、的轮廓曲线）根据速度合成定理可知：va=ve+vr大小？方向沿铅直方向垂直转动半径沿凸轮的轮廓曲线的切线方向画出速度矢量图（8-5），即可求出绝对速度（顶杆AB的速度）的大小：注：速度图总为平行四边形，故一般借助几何关系求解（几何法）。解题步骤：（一）选动点、动系（及静系可默认为地面）；（二）分析动点的各种运动，画运动图（速度、加速度图）；（三）求解。§8-3 牵连运动为平动时的加速度合成定理速度合成定理在前面已经得到，这里再系统推一下。图86动点：M，静系：Oxyz，动系：O'x'y'z'。静系中：动系中 ： （i、j、k与i、j、k均为单

7、位矢量）当牵连运动为平动时，则：由于动坐标系作平动，单位矢量方向不变，是常矢量，对时间的导数为零，于是：而牵连平动时： ，各式联立可得： 由此可见；当牵连运动为平动时，在任一瞬时，动点的绝对加速度等于动点的牵连加速度与相对加速度的矢量和。这就是牵连运动为平动时的加速度合成定理。在矢量表达式中，如有一项可以按切线和法线方向分解，则上式可根据不同的情况写成如下形式：或：两式的区别在于究竟是相对运动还是绝对运动的轨迹是曲线。 在以上两个式子的四个分量中，矢量的大小和方向共八个量，只要不超过两个未知数，都能利用解析的方法求出。例3（求速度）图示机构，半圆凸轮半径为R，速度为v，已知。求AB杆的角速度。

8、图87分析：机构运动情况：凸轮平动，杆转动。动点选凸轮圆心O，动系选杆可解牵连速度，AB角速度即知。绝对运动：沿水平直线运动；相对运动：与AB 平行的直线运动；牵连运动：转动。动点、动系有几种选法？为什么不选其它的？解：动点：凸轮圆心O，动系：AB杆，静系：地面根据速度合成定理可画速度图（8-7）。且：由速度图可知：而：图88例4（求加速度）平行四连杆机构（双曲柄机构）。AB = CD = r，BC = AD = l，。均已知，求：小环M的加速度。解： 动点：M，动系：BC杆，静系：地面可画加速度图（图88）。牵连加速度与B点相同：由加速度合成定理：在y轴上投影： 注意：投影时，方程两边应分别

9、投影，不能任意移项。§8-4 牵连运动为转动时的加速度合成定理动点M，静系Oxyz，动系Oxyz（图89）。设动系绕z轴转动，角速度、角加速度 则动点M的牵连速度及牵连加速度可按公式表示为：而：与上一节不同的是，现在动坐标系作转动，单位矢量i、j、k的方向是随时间而变的，不再是常矢量。根据速度合成定理，动点M的绝对速度为： 分别研究这两项：式中：代回前式得：式右边的前三项之和就是相对加速度，而后三项需要加以说明。 可看成是矢径k的一点即k的端点的速度，由随同动坐标系绕z轴作转动，因此k的端点的速度可表示为同理：于是：则：因此：上式中的2×vr，是牵连运动与相对运动

10、相互影响而附加的加速度，称为科氏加速度。设以表示科氏加速度，则有：即：科氏加速度等于牵连运动的角速度与动点的相对速度的乘积的两倍。所以，动点的绝对加速度的表达式为：牵连运动为转动时的加速度合成定理。这式表明：当牵连运动为转动时，在任一瞬时，动点的绝对加速度等于动点的牵连加速度、相对加速度与科氏加速度三者的矢量和。下面来确定科氏加速度的大小和方向(图8-10（a）)：空间问题 方向：（右手法则）平面问题方向：沿转90°两个特殊情况：(1)如果vr，即vr在垂直于z轴的平面内，则vrnvr。此时且三者互相垂直，如图8-10（b）所示。(2)如果vr即vr与z轴平行，则vyn0 此时。例5

11、滑块M在圆盘内沿直槽AB运动，圆盘绕垂直于盘面的轴O转动，如图所示。当M在AB中点时，其沿直槽运动的速度和加速度分别为vr和，而圆盘转动的角速度和角加速度分别为和，求该瞬时M对地面的加速度。分析：绝对运动M对地面的运动，相对运动：M在沿直槽的运动，牵连运动：圆盘转动（图8-11）。解： 动点：滑块M，动系：圆盘，静系：地面。（牵连运动为转动） 牵连加速度有切向和法向两个分量。大小为：方向分别如图所示。相对加速度已知，如图所示。科氏加速度方向如图，大小为：根据加速度合成定理全加速度大小、方向为： 例6（求加速度）凸轮顶杆机构。已知凸轮偏心距OC = e，半径匀角速度。当OC与CA垂直时，求AB的加速度。解：动点：A点（AB上），动系：凸轮，静系：地面。（牵连运动为转动）易知=30°，对速度画加速度图（8-10）两个代数未知量，可解。根据加速度合成定理，在x逆方向投影：而： 由(1)式，得注