等差数列及其前n项和

1、等差数列及其前n项和1.等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母_d_表示.2.等差数列的通项公式如果等差数列an的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是ana1(n1)d.3.等差中项如果A，那么A叫做a与b的等差中项.4.等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：anam(nm)d，(n，mN*).(2)若an为等差数列，且klmn，(k，l，m，nN*)，则akalaman.(3)若an是等差数列，公差为d，则a2n也是等差数列，公差为2d.(4)若an，bn是等差数列，则panqbn也

2、是等差数列.(5)若an是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差为md的等差数列.5.等差数列的前n项和公式设等差数列an的公差为d，其前n项和Sn或Snna1d.6.等差数列的前n项和公式与函数的关系Snn2n.数列an是等差数列SnAn2Bn(A、B为常数).7.等差数列的前n项和的最值在等差数列an中，a1>0，d<0，则Sn存在最_大_值；若a1<0，d>0，则Sn存在最_小_值.1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“×”)(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列.()(2)数列

3、an为等差数列的充要条件是对任意nN*，都有2an1anan2. ()(3)等差数列an的单调性是由公差d决定的. ()(4)数列an为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数.()(5)数列an满足an1ann，则数列an是等差数列.()(6)已知数列an的通项公式是anpnq(其中p，q为常数)，则数列an一定是等差数列.()2.设an为等差数列，公差d2，Sn为其前n项和，若S10S11，则a1等于 ()A.18B.20C.22D.243.(2012·辽宁)在等差数列an中，已知a4a816，则该数列前11项和S11等于()A.58B.88C.143D.1764.(2013

4、·课标全国)设等差数列an的前n项和为Sn，Sm12，Sm0，Sm13，则m等于()A.3B.4C.5D.65.(2013·课标全国)等差数列an的前n项和为Sn，已知S100，S1525，则nSn的最小值为_.21·cn·jy·com题型一等差数列的基本运算例1在等差数列an中，a11，a33.(1)求数列an的通项公式；(2)若数列an的前k项和Sk35，求k的值.(1)若等差数列an的前5项和S525，且a23，则a7等于()A.12B.13C.14D.15(2)记等差数列an的前n项和为Sn，若a1，S420，则S6等于()A.16B.

5、24C.36D.48(3)已知等差数列an的前n项和为Sn，且满足1，则数列an的公差是()A.B.1C.2D.3题型二等差数列的性质及应用例2(1)设等差数列an的前n项和为Sn，若S39，S636，则a7a8a9等于 ()A.63B.45C.36D.27(2)若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为 ()A.13B.12C.11D.10(3)已知Sn是等差数列an的前n项和，若a12 014，6，则S2 013等于()A.2 013B.2 013C.4 026D.4 026jy-com(1)设数列an是等差数列，若a3a4a512，则a

6、1a2a7等于()A.14B.21C.28D.35(2)已知等差数列an的前n项和为Sn，且S1010，S2030，则S30_.题型三等差数列的前n项和及其最值例3(1)在等差数列an中，已知a120，前n项和为Sn，且S10S15，求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值；(1)设等差数列an的前n项和为Sn.若a111，a4a66，则当Sn取最小值时，n等于()A.6B.7C.8D.9(2)等差数列an前9项的和等于前4项的和.若aka40，则k_.等差数列的最值问题典例：(15分)(1)等差数列an的前n项和为Sn，已知a5a74，a6a82，则当Sn取最大值时，n的值是()A.

7、5B.6C.7D.8(2)已知等差数列an的首项a120，公差d2，则前n项和Sn的最大值为_.(3)设数列an是公差d<0的等差数列，Sn为前n项和，若S65a110d，则Sn取最大值时，n的值为()A.5B.6C.5或6D.11方法与技巧1.等差数列的判断方法(1)定义法：an1and (d是常数)an是等差数列.(2)等差中项法：2an1anan2 (nN*)an是等差数列.(3)通项公式：anpnq(p，q为常数)an是等差数列.(4)前n项和公式：SnAn2Bn (A、B为常数)an是等差数列.2.方程思想和化归思想：在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a1和d等基本量，通过

8、建立方程(组)获得解.21世纪教育网版权所有3.在遇到三个数成等差数列问题时，可设三个数为(1)a，ad，a2d；(2)ad，a，ad；(3)ad，ad，a3d等，可视具体情况而定.21教育网失误与防范1.当公差d0时，等差数列的通项公式是n的一次函数，当公差d0时，an为常数.2.公差不为0的等差数列的前n项和公式是n的二次函数，且常数项为0.若某数列的前n项和公式是常数项不为0的二次函数，则该数列不是等差数列，它从第二项起成等差数列.A组专项基础训练(时间：40分钟)一、选择题1.(2012·福建)等差数列an中，a1a510，a47，则数列an的公差为()A.1B.2C.3D.

9、42.已知等差数列an满足a1a2a3a1010，则有()A.a1a101>0B.a2a100<0C.a3a990D.a51513.已知等差数列an中，a26，a515，若bna2n，则数列bn的前5项和等于()A.30B.45C.90D.1864.(2013·辽宁)下面是关于公差d0的等差数列an的四个命题：p1：数列an是递增数列；p2：数列nan是递增数列；p3：数列是递增数列；p4：数列an3nd是递增数列.其中的真命题为()A.p1，p2B.p3，p4C.p2，p3D.p1，p45.在等差数列an中，a1>0，a10·a11<0，若此数列的

10、前10项和S1036，前18项和S1812，则数列|an|的前18项和T18的值是()A.24B.48C.60D.84 二、填空题6.(2013·广东)在等差数列an中，已知a3a810，则3a5a7_.7.Sn为等差数列an的前n项和，S2S6，a41，则a5_.8.已知数列an中，a11且(nN*)，则a10_.三、解答题9.已知等差数列an中，a28，前10项和S10185.求数列an的通项公式an.10.设等差数列an的前n项和为Sn，若a1<0，S2 0150.(1)求Sn的最小值及此时n的值；(2)求n的取值集合，使anSn.B组专项能力提升(时间：30分钟)1.已知数列an为等差数列，若<1，且它们的前n项和Sn有最大值，则使Sn>0的n的最大值为 ()A.11B.19C.20D.212.设等差数列an，bn的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意自然数n都有，则的值为_.21*cnjy*com3.九章算术“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为_升.4.